1.4. Коэффициенты относительного рассеяния и относительной асимметрии

Во многих технических при­ложениях функции распре­де­ле­ния характеризуются ко­эф­фициентом относительного рассеяния, коэффициентом от­но­сительной асимметрии и ве­ли­чиной практически пре­дель­ного поля рассеяния.

Положим, что погре­ш­но­сти отклонений размеров изделий от их номинального значения заданы функцией плотности f(х) и величинами параметров M_х , Д_х (рис. 1.8.). При­мем номинальное зна­че­ние за начало координат.

Практически предель­ным полем рассеяния называется расстояние между такими двумя значе­ниями х₁ и х₂ случайной ве­ли­чины, при которых площадь, ограниченная кри­вой, осью абсцисс и отрезком [х₁, х₂], равна 1- b, где b – вероятность риска (брака). Обычно принимают b = 0,0027. По определению можно написать:

.

На практике обычно х₁ и х₂ выбирают так, что:

.

Определенное таким образом практически предельное поле рассеяния принимают за поле допуска, т.е. 2d_т = х₂ -х₁ .

Введем обозначения: - половина поля допуска; - координата середины поля допуска; - коэффициент относительной асимметрии; - коэффициент относительного рассеяния.

Индекс «Т» при D, d, a, K указывает на теоретическое значение этих коэффициентов, для эмпирических распределений эти коэффициенты будут иметь индекс «э».

В тех случаях, когда целью эксперимента является лишь определение или уточнение значений коэффициентов a и K относительно заданного конструктором поля допуска, не подлежащего пересмотру, коэффициенты a_э и K_э определяются по формулам:

и .

При этом может оказаться, что заданное конструктором поле допуска не соответствует практически предельному полю рассеяния, т.е. вероятность риска (брака) b  0,0027.

Практически предельное поле рассеяния оказывается не равным полю допуска даже в тех случаях, когда за величину поля допуска принимается вся зона рассеяния R.

1.5. Квантили распределения

Пусть Х – непрерывный количественный случайный признак с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х). Квантилью порядка Р или Р-квантилью распределения F(x) называется величина x_p, являющаяся решением уравнения:

F(x_P) = P, 0 ≤ P ≤ 1 (1.20)

Поскольку для непрерывного признака ее функция распределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, решение уравнения (1.20) единственно (рис. 1.9).

Квантиль порядка Р = 0,5 называется медианой распределения (рис. 1.10.). Ордината медианы рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам. Для непрерывного признака ее функция распределения имеет вид:

,

где f(х) - плотность распределения.

Поэтому квантиль x_P удовлетворяет соотношению:

.

На рис. 1.11. площадь под заштрихо­ван­ной фигурой равна Р, а оставшаяся площадь под фигурой равна 1 - Р.

1.6. Интервальные оценки истинного значения

Рассмотренные ранее оценки результата измерения (), выраженного одним числом, называютсяточечными оценками.

Точечная оценка погрешности измерения не полная, поскольку S указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение x, но ничего не говорит о вероятности попадания x в этот интервал.

Более полным и надежным способом оценки случайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы x₁, x₂ называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность появления случайной погрешности – доверительной вероятностью α:

α = Р(х_н ≤ х ≤ х_в) = 1– β, (1.21)

где х_н =–х₁, х_в =+х₂ – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х;  – уровень значимости (β = Р(х_н > х > х_в) = 1– α).

Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероятность того, что х выйдет за пределы . Выбираемое значение β должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение β может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 £ β £ 0,1 .

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01.

Доверительный интервал обычно выражают через относительную величину α в долях среднеквадратической погрешности, т.е. α = x / s. Например, при доверительном интервале x = s доверительная вероятность α = 0,68. Это значит, что 68% случайных погрешностей не будут превышать значения s. При x = 2s α = 0,95 , при x = 2,5s α = 0,988 , а при x = 3s α = 0,997. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью α = 0,95.

При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3s до –3s, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше 3s.

Определение доверительных границ случайных погрешностей производится на основе вычисленного значения s с учетом заданной доверительной вероятности и числа наблюдений N. При этом предполагается, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону.

Доверительные границы х определяются по уравнениям:

–нижняя граница, (1.22)

–верхняя граница, (1.23)

где  квантиль распределения Стьюдента для вероятности  или уровня значимости  = 1 –  и числа степеней свободы f = N – 1; величина находится по табл. П1.

В случае двустороннего определения доверительных границ

₁ = ₂ = (1 – )/2.

Доверительные границы  определяются неравенством:

, (1.24)

где  квантиль хи-квадрат распределения при вероятности Р = 1–/2 и числе степеней свободы f = N – 1; – то же для вероятности P = /2.

Значения находятся по табл. П2.