14. Электромагнитные волны. Энергия поля

14.1 Базовые соотношения

Уравнения Максвелла: ,.

Вектор Пойнтинга: П = Е × Н = (Е × В)/μ₀.

Закон сохранения энергии поля: .

Плотность энергии электрического поля: w_Е =.

Плотность энергии магнитного поля w_В =.

Интенсивность плоских синусоидальных волн: I =.

Давление электромагнитных волн: .

Длина волны в вакууме: λ = сТ.

Скорость волны в диэлектрике: υ =.

14.2. Задачи

14.1. При измерениях координат объекта в воздухе или в космосе радиолокатор облучает его и принимает отражённый от него сигнал. Чем дальше объект, тем слабее принимаемый антенной отражённый сигнал. Во сколько раз будет слабее этот сигнал, если расстояние до объекта увеличилось в 2 раза?

14.2. Ёмкость конденсатора в колебательном контуре приёмника может плавно меняться от С₁ = 50 пФ до С₂ = 200 пФ. Какую индуктивность L должна иметь катушка контура, чтобы можно было принимать радиоволны с минимальной длиной ₁ = 25 м? Какова будет максимальная длина волны ₂, принимаемая таким контуром?

14.3. В основе работы радиоизмерителя малых дальностей лежит измерение фазового сдвига между волнами излучаемой и отраженной от объекта. Пусть измеритель работает на частоте f = 3 МГц. Фазовый сдвиг  между сигналами излученным и отраженным оказался равным 0,2. Полагая, что при отражении от объекта фаза волны не меняется, определить дальность l до объекта.

14.4. Антенна корабельного радиолокатора находится на высоте h = 25 м над уровнем моря. На каком наибольшем расстоянии l (зона прямой видимости) такой радиолокатор может обнаружить лодку? С какой максимальной частотой f при этом могут излучаться зондирующие импульсы?

14.5. Радиолокатор работает на волне  = 3 см и излучает радиоимпульсы длительностью  = 1 мкс. Сколько колебаний происходит за время импульса? Какова минимальная дальность l_min обнаружения цели?

14.6*.Антенна телевизора (точка А на рис.14.1) принимает, наряду с сигналом от телецентра (точка С), сигнал, отражённый от металлической стены (точка М). В результате изображение на экране двоится. На сколько сдвинуты два изображения, если ширина экрана l = 40 см, частота кадров f = 25 Гц, а кадр состоит из N = 625 строк? Расстояния: СА = 5 км, МА = 4 км, СМ = 3 км.

14.7. Показать, что при нормальном отражении плоской волны от поверхности металла фаза поля Е меняется на π, а фаза поля Н не меняется.

14.8. Доказать, что стоячая волна не переносит энергию, т. е. что для неё среднее значение вектора Пойнтинга равно нулю.

14.9. Пусть антенна № 1 излучает вдоль оси z х-поляризованную плоскую синусоидальную волну

Е₁ = Е_х(z,t) = Е₀ sin(ωt − kz).

Такая же антенна № 2 сдвинута вдоль оси z на λ/4 и повёрнута на 90º, так что она излучает вдоль оси z у-поляризованную волну

Е₂ = Е_у(z, t) = Е₀ sin(ωt − k(z − λ/4)).

Показать, что результирующая волна будет иметь круговую поляризацию, т. е. вектор Е у такой волны будет иметь постоянную длину и вращаться вокруг оси z с угловой скоростью ω в любой фиксированной плоскости z = const (например, в плоскости z = 0), а в пространстве он образует винтовую линию с шагом λ (например, в момент t = 0). Какая будет поляризация у такой волны – правая или левая?

14.10. Заряженный плоский конденсатор с круглыми обкладками отключён от генератора и разряжается через своё слабопроводящее заполнение. Будет ли поле В внутри конденсатора.

14.11. Заряжается плоский воздушный конденсатор с круглыми обкладками, и в нём возрастает энергия электрического поля. Найти канал её поступления в конденсатор и доказать, что её поток внутрь конденсатора равен скорости её возрастания в объёме конденсатора.

14.12. Заряжается сферический воздушный конденсатор, показанный на рис. 14.2, и в нём возрастает энергия электрического поля . Найти канал её поступления в конденсатор.

14.13. Через соленоид увеличивают ток, и в нём возрастает энергия магнитного поля. Найти канал её поступления в соленоид и доказать, что её поток внутрь равен скорости её возрастания в объёме соленоида.

14.14. По проводу идёт ток i, нагревая его. Найти канал поступления электромагнитной энергии в провод и показать, что она не накапливается в нём, а вся рассеивается в виде тепла, т. е. что .

14.15. От генератора постоянного напряжения u к нагрузке передаётся энергия по идеально проводящей коаксиальной линии. Ток в линии равен i. Внутренний и внешний проводники линии – тонкостенные. Показать, что мощность, потребляемая нагрузкой, равна потоку электромагнитной энергии через поперечное сечение линии.

14.16*. По соленоиду радиусом R = 2,7 см идёт синусоидальный ток частотой f = 50 Гц. Вычислить отношение , гдеW_В и W_Е – максимальные значения энергий магнитного и электрического полей в соленоиде.

14.17*. К плоскому воздушному конденсатору с круглыми обкладками радиусом R = 2,7 см приложено синусоидальное напряжение частотой f = 50 Гц. Найти отношение , гдеW_В и W_Е – максимальные значения энергий магнитного и электрического полей в конденсаторе. При каких частотах величины W_В и W_Е будут одного порядка?

14.18. От генератора переменного напряжения u=к нагрузке передаётся энергия по идеально проводящей коаксиальной линии. Ток в линииi=. Внутренний и внешний проводники линии – тонкостенные. Найти средний по времени поток электромагнитной энергии <Ф>_T (переносимую мощность) через поперечное сечение линии.

14.19. Оценить некоторую усреднённую по всем частотам амплитуду поля Е излучения Солнца на расстоянии орбиты Земли, если интенсивность его излучения на этом расстоянии I = 1,4 кВт/м².

14.20. На рис. 14.3 показаны направления токов на участке двухпроводной линии, а также потенциалы проводов φ₁ и φ₂, причём φ₁ < φ₂. С какой стороны от участка находится генератор, а с какой нагрузка?

14.21. Оценить давление луча лазера на чёрную поверхность. Мощность луча Р = 30 Вт, сечение S = 1 мм²,

14.22. По известным величинам: интенсивности солнечного излучения на расстоянии орбиты Земли I₀ = 1,4 кВт/м², периоду движения Земли вокруг Солнца Т = 365 суток и радиусу орбиты Земли R₀ = 150 млн км – оценить радиус r сферической частицы, при котором сила её притяжения Солнцем при любом расстоянии от него будет уравновешена давлением солнечного излучения. Считать, что весь падающий на частицу свет поглощается ею (хотя из-за дифракции это далеко не так). Плотность частицы ρ = 1 г/см³.

14.23. Волна частотой f = 3 ГГц переходит из вакуума в среду с диэлектрической проницаемостью ε = 4. Как изменится длина волны λ ?

ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ

Скорость света в вакууме Ускорение свободного падения Элементарный заряд Масса электрона Масса протона Удельный заряд электрона Удельный заряд протона Электрическая постоянная Часто встречающаяся комбинация Магнитная постоянная

с = 3·108 м/c g = 9,8 м/с2 е = 1,6·10−19 Кл me = 0,9·10−30 кг mp = 1,67·10−27 кг e/me = 1,76·1011 Кл/кг e/mp = 1,0·108 Кл/кг ε0 = 8,85·10−11 Ф/м м/Ф μ0 = 4π·10−7 Гн/м

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иродов, И. Е. Электромагнетизм / И. Е. Иродов.– М.: Физматлит, 2000.

2. Иродов, И. Е. Волновые процессы / И. Е. Иродов.– М.: Физматлит, 1999.

3. Иродов, И. Е. Задачи по общей физике / И. Е. Иродов.– М.: Физматлит, 2001.

4. Калашников, С. Г. Электричество / С. Г. Калашников. – М. : Наука, 2000.

5. Савельев, И. В. Курс общей физики, т.2 / И. В. Савельев.– М.: Наука, 2008.

6. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике, т.т. 5–7/ Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. – М., Мир, 1977.

7. Шимони, К. Физическая электроника / К. Шимони. – М.: Энергия, 1977.

8. Иванов, И. И. Электротехника / И. И. Иванов, В. С. Равдоник. – М. : Высшая школа, 1984.

9. Михайлов, В. К. Задачи по векторному анализу / В. К. Михайлов, Б. Н. Сипливый, А. М. Афанасьев. – Изд. ВолГУ. Волгоград, 2005.

68