2. Потенциал. Энергия системы зарядов

2.1. Базовые соотношения

Определение потенциала в точке М: φ_М = φ(x, y, z) =.

Определение разности потенциалов: Δφ₁₂ = φ(1) − φ(2) =.

Свойство аддитивности потенциала: φ =.

Потенциал поля точечного заряда: φ(r) =,

Потенциальная энергия заряда q в точке с потенциалом φ: W = qφ.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: .

Внесистемная единица энергии – электрон-вольт: 1 эВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж.

2.2. Задачи

2.1. Может ли между двумя противоположно заряженными проводниками отсутствовать разность потенциалов?

2.2. Два нейтральных металлических тела соединили проводом и по нему прошёл импульс тока. В каком случае это может быть?

2.3. Два металлических шарика радиусами R₁ и R₂ находятся далеко друг от друга и имеют потенциалы ₁ и ₂. Шарики соединили тонкой проволокой. Вычислить их потенциалы после соединения.

2.4. Два металлических шарика радиусами R₁ и R₂ находятся далеко друг от друга и имеют заряды q₁ и q₂. Шарики соединили тонкой проволокой. Вычислить их заряды ии потенциалыипосле соединения

2.5. Три заряженных металлических шарика радиусами 1, 2 и 3 см соединили проволокой. Как распределится их общий заряд q между ними?

2.6. N одинаковых шаровых капелек, имеющих потенциалы  каждая, слились в одну. Определить потенциал ₀ этой большой капли.

2.7*. Заряд q₁ = +4q помещён в точке х₁ = 0 оси х, а заряд q₂ = –q в точке х₂ = а. 1) Найти точку х₃, где поле Е = 0, и вычислить потенциал  в этой точке. 2) Найти точку х₄ на оси х, где потенциал  = 0, и вычислить поле Е в этой точке.

2.8*. Два металлических шарика радиусами R₁=1 см и R₂=2 см, находящихся на расстоянии d = 1 м, присоединили к генератору с выходным напряжением U = 3 кВ. Найти кулоновскую силу притяжения шариков.

2.9. Отрезок нити, заряженный с погонной плотностью γ, изогнут в виде полукольца радиусом R. Найти потенциал φ в центре полукольца.

2.10. Вычислить потенциал φ в центре полусферы радиусом R, по поверхности которой равномерно распределён заряд q.

2.11*. Полусфера радиусом R имеет заряд q, равномерно распределённый по её поверхности. Определить потенциал φ поля сферы в точке её экваториальной плоскости на расстоянии R/2 от центра.

2.12. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра незаряженного металлического шара радиусом R (d >R). Найти потенциал шара .

2.13*. Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра заземлённого металлического шара радиусом R (d > R). Какой заряд Q индуцируется на шар с земли?

2.14. В центре проводящей толстостенной сферической оболочки с радиусами R₁ и R₂ помещен точечный заряд q. Найти поля Е₁, Е₂ и потенциалы ₁, ₂ у внутренней и внешней поверхностей оболочки.

2.15*. Имеются две концентрические сферы радиусами R₁ и R₂ (R₂ > R₁). Внешняя сфера несет заряд q₂, а внутренняя не заряжена. Какой заряд q₁ индуцируется на внутренней сфере, если ее заземлить?

2.16. Заряд q равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R. Найти распределение потенциала (х) на оси кольца и изобразить соответствующий график.

2.17. Два одинаковых тонких кольца радиусами R несут заряды +q и –q. Кольца расположены соосно на расстоянии а друг от друга. Найти разность потенциалов Δφ между центрами колец.

2.18. Тонкое проволочное кольцо радиусом r имеет заряд q. Кольцо соосно охватывает заземлённую металлическую сферу радиусом R (R < r) в её экваториальной плоскости. Определить заряд Q, индуцированный на сфере.

2.19*. Тонкий круглый диск радиусом R имеет заряд q, равномерно распределённый по его поверхности. Определить: 1) распределение потенциала φ(х) на оси диска (на оси х с нулём в центре диска) и построить соответствующий график; 2) потенциал φ₀ в центре диска.

2.20*. Найти потенциал тонкого металлического диска радиусом R, если поверхностная плотность заряда на нём распределена по закону σ(r) =, где σ₀ определяется из условия, что заряд диска равен q.

Замечание. Приведённая зависимость σ(r) − это «естественное» распределение заряда по тонкому металлическому диску.

2.21*.Металлическая сфера радиусом R = 10 см заряжена до потенциала  = 300 кВ. Вычислить давление р, испытываемое сферой из-за взаимного отталкивания всех её заряженных участков. С какой силой расталкиваются две половинки сферы?

2.22. Заряд q равномерно распределён по объёму шара радиусом R. Определить: 1) распределение потенциала φ(r) внутри и вне шара и построить соответствующий график; 2) потенциал φ₀ в центре шара.

2.23*. Два одинаковых точечных заряда q находятся на расстоянии 2а друг от друга. Какой потенциал ₁ может иметь эквипотенциальная поверхность, охватывающая оба заряда? При каком потенциале φ₂ такая поверхность будет выпуклой?

2.24. Вычислить максимальный потенциал, до которого можно зарядить металлический шар радиусом R = 10 см в воздухе, если электрическая прочность воздуха (поле, при котором наступает пробой) Е_пр = 30 кВ/см.

2.25. Между обкладками сферического конденсатора приложено напряжение и = 1 кВ. Определить максимальную напряжённость поля между ними, если R₁ = 0,1 мм, R₂ = 100 мм. Изобразить график Е(r) (0 ≤ r < ∞).

2.26. Какое напряжение может выдержать воздушный сферический конденсатор, если радиусы сфер R₁ = 1 мм, R₂ = 100 мм, а электрическая прочность воздуха (поле, при котором наступает электрический пробой) Е_пр = 30 кВ/см?

2.27. Какое напряжение может выдержать двухпроводная линия в воздухе, если радиусы проводов R = 1 см, а расстояние между ними d = 4 м? Электрическая прочность воздуха (поле, при котором наступает электрический пробой) Е_пр = 30 кВ/см.

2.28. Между проводниками коаксиальной линии приложено напряжение и = 1 кВ. Определить максимальную напряжённость поля Е между ними, если радиусы проводников R₁ = 2 мм, R₂ = 5,4 мм. Изобразить картину линий поля Е в сечении линии.

2.29. Какое напряжение может выдержать коаксиальный кабель, если радиусы проводников R₁ = 1 мм, R₂ = 2,7 мм, а электрическая прочность материала диэлектрика (поле, при котором наступает электрический пробой) Е_пр = 200 кВ/см?

2.30*. Коаксиальный кабель имеет фиксированный внешний радиус R₂ = 5,4 мм. Каким надо выбрать радиус R₁ внутреннего провода, чтобы кабель выдерживал наибольшее напряжение и_max? Чему оно будет равно, если электрическая прочность материала диэлектрика Е_пр = 200 кВ/см ?

Пояснение. Если R₁ взять очень маленьким, чтобы увеличить зазор между проводами, то вблизи него поле Е будет очень большим. Если же R₁ брать слишком большим, близким к R₂, то поле Е также будет очень большим из-за малости промежутка между коаксиальными проводами. Следовательно, существует оптимальное значение R₁.

2.31*. Воздушный сферический конденсатор имеет фиксированный внешний радиус R₂ = 10 см. Каким надо выбрать радиус R₁ внутренней сферы, чтобы конденсатор выдерживал наибольшее напряжение и_max ? Чему оно будет равно, если электрическая прочность воздуха Е_пр = 30 кВ/см?

2.32*. Решить задачу 1.15 на основе принципа минимума потенциальной энергии системы.

2.33. Два одинаковых одноимённых точечных заряда q расположены на некотором расстоянии друг от друга. Третий заряд Q = − q/4 помещён в середине между ними. Вычислить энергию взаимодействия этой системы трех зарядов.

2.34. Вычислить энергию взаимодействия точечных зарядов ± q, расположенных в вершинах квадрата со стороной а в системах, показанных на рис. 2.1.

2.35*. Множество точечных зарядов (например, электронов) образует однородное тонкослойное сферическое облако, общий заряд которого равен q. В центр этого облака помещён точечный заряд Q = − q/2. Вычислить полную энергию взаимодействия всей этой системы зарядов.

2.36. Две большие параллельные металлические пластины находятся во внешнем однородном электрическом поле Е, перпендикулярном пластинам (рис. 2.2). Площадь пластин равна S. Какой заряд будет на каждой из пластин, если их замкнуть проводником накоротко?

2.37. Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии d друг от друга, имеют поверхностные плотности заряда + и –. Между плоскостями параллельно им вдвигается незаряженная металлическая пластина толщиной h<d. Вычислить разность потенциалов между плоскостями.

2.38*.Две большие параллельные незаряженные металлические пластины, соединенные проводящей перемычкой, находятся в однородном внешнем электрическом поле Е₀, линии которого перпендикулярны пластинам (рис. 2.3). Найти величину и направление силы F₀, действующей на единицу площади каждой пластины.

2.39*. Две большие параллельные незаряженные металлические пластины, находящиеся на расстоянии d друг от друга, соединены проводящей перемычкой. Между ними параллельно им поместили третью тонкую пластину, несущую заряд, равномерно распределённый с поверхностной плотностью σ₀ (рис. 2.4). Найти величину и направление силы F₀, действующей на единицу площади средней пластины, как функцию её расстояния х от левой.

2.40*. В нижней части сферической полости диаметром D закреплен заряд Q. В верхнюю точку полости помещён шарик массой m, с зарядом q. Величина закреплённого внизу заряда Q такова, что кулоновская сила отталкивания, действующая на верхний шарик со стороны Q в точности равна весу шарика, т. е. qQ/(4π₀D²) = mg. Но если шарик отпустить, то его равновесие в верхней точке не будет устойчивым и он сползёт по сфере в сторону на некоторый угол  (рис. 2.5). Найти этот угол. Каким должен быть заряд Q, чтобы равновесие шарика в верхней точке сферы было устойчивым? С какой силой F при этом шарик будет давить на верхнюю точку сферы?

2.41*. Энергия, выделяемая при распаде ядра обычно называется «ядерной», но на самом деле это в основном «электрическая» энергия. Она высвобождается, как только кулоновские силы отталкивания протонов в ядре превзойдут ядерные силы их притяжения.

Полагая, что ядро распадается на два осколка с атомными номерами 55 и 37, а ядерные силы практически перестают действовать с расстоянияr = 1,5·10⁻¹⁴ м, оценить: 1) энергию (МэВ), выделяемую при распаде одного ядра урана; 2) тротиловый эквивалент (в килотоннах) ядерной бомбы с 10 кг урана, если тепловой эквивалент тротила q = 4 МДж/кг.

2.42*. Изолированный медный шарик радиусом R = 9 мм, покрытый тонким слоем полония массойm = 3 мг, помещён в вакуум. Из-за вылета α-частиц () он приобретает заряд. Определить нарастание потенциала шарика со временем φ(t) и его предельное значение φ_max, если кинетическая энергия испускаемых α-частиц W = 6 МэВ.

Замечание. Закон радиоактивного распада имеет вид:

,

где N₀ – исходное число ядер радиоактивного вещества в момент t = 0, N(t) – число ещё не распавшихся ядер в момент t, Т – период полураспада, т. е. время, в течение которого распадается половина ядер, имеющихся в данный момент. Для полония период полураспадаТ = 138 суток.