9. Электромагнитная индукция

9.1. Базовые соотношения

Поток магнитного поля через поверхность S: Ф =.

Закон электромагнитной индукции (Фарадея):  = .

ЭДС в проводнике, движущемся в магнитном поле: d = (υ × B)·dl

Закон электромагнитной индукции (Максвелла): .

9.2. Задачи

9.1. Виток провода площадью S и сопротивлением R находится в однородном магнитном поле В, силовые линии которого перпендикулярны плоскости витка. Какой заряд q пройдёт по витку, если его выдернуть из поля?

9.2. В магнитном поле прямого длинного провода с током находится квадратная проволочная рамка ABCD, как показано на рис. 9.1. Рамку переводят в новое положение, показанное на рисунке пунктиром. Это можно сделать двумя способами: 1) поворотом на 180° вокруг стороны CD; 2) параллельным перемещением вдоль стороны ВС. При каком способе в рамке выделится больше тепла, если время перевода рамки в новое положение одинаково?

9.3. Прямоугольную рамку размерами a×b протягивают с постоянной скоростью через область однородного поляВ, линии которого перпендикулярны плоскости рамки (рис. 9.2). Сопротивление рамки равно R. Размеры рамки малы по сравнению с размерами области поля В. Сколько тепла Q выделится в рамке?

9.4. Контур в виде полуокружности с замыкающим диаметром (рис. 9.3) вращается в плоскости рисунка со скоростью f = 10 об/с вокруг оси О, лежащей на границе однородного магнитного поля В = 0,318 Тл. Радиус полуокружности r = 10 см, сопротивление контура R = 0,01 Ом. Определить тепловую мощность Р, выделяющуюся в контуре.

9.5. Тонкая прямоугольная рамка площадью S = 10 см² имеет обмотку из N = 100 витков провода и вращается с частотой f = 10 об/с вокруг своей оси. Рамка находится в однородном поле В = 1 Тл, перпендикулярном оси вращения. Найти амплитуду ЭДС, наводимую в обмотке.

9.6. Медный диск радиусом r = 10 см вращается со скоростью f = 10 об/с в перпендикулярном ему однородном поле В = 1 Тл. Найти ЭДС между центром диска и его периферией.

9.7. На медный диск радиусом r намотана нить, к которой подвешен груз массой m, как показано на рис. 9.4. Через скользящие контакты к диску подключён резистор сопротивлением R. Диск находится в перпендикулярном ему однородном магнитном поле В. Груз освобождают и он начинает опускаться под действием силы тяжести. Найти установившуюся скорость υ опускания груза.

9.8. Около прямого длинного провода с током , гдеI = 100 А, ω = 314 с⁻¹, в одной плоскости с ним находится прямоугольная тонкая рамка с обмоткой из N = 100 витков (рис. 9.5). Определить амплитуду ЭДС, наводимой в обмотке рамки, если а = 10 см, b = 20 см, l = 1 м.

9.9. Тороидальная катушка имеет размеры сечения: R₁ = 2 см, R₂ = 5,4 см, h = 5 см (рис. 9.6). Катушка содержит равномерно уложенную обмотку из N = 1000 витков, по которой течёт ток , гдеI = 10 А, ω = 314 с⁻¹. На катушку наброшен отдельный виток провода. Определить амплитуду ЭДС в витке.

9.10. По оси тороидальной катушки из N = 1000 витков проходит прямой провод с синусоидальным током частотой 50 Гц. Внутренний радиус тора R = 1 см, а его сечение имеет форму квадрата со стороной а = 2 см. Амплитуда ЭДС, наведённой в обмотке тора, = 1,1 В. Определить амплитуду I тока в проводе. (Такой измеритель тока называется трансформатором тока).

9.11. По двум вертикальным параллельным шинам, расстояние между которыми l, может без трения скользить медная перемычка массой т. Вверху шины соединены резистором сопротивлением R (рис. 9.7). Вся система находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном её плоскости. Перемычку отпустили, и она начинает скользить вниз под дей-

ствием силы тяжести. Найти закон изменения скорости перемычки υ(t). Какова установившаяся скорость перемычки?

9.12. По двум вертикальным параллельным шинам, находящимся на расстоянии l друг от друга, может без трения скользить медная перемычка массой т. Вверху шины соединены конденсатором ёмкостью С (рис. 9.8). Вся система находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном её плоскости. Перемычку отпустили, и она начинает скользить вниз под действием силы тяжести. Найти: а) закон изменения скорости перемычки ; б) закон изменения напряжения на конденсаторе u(t).

9.13*. По двум вертикальным параллельным шинам, расстояние между которыми l, может без трения скользить медная перемычка массой т. Вверху шины соединены генератором с ЭДС  и внутренним сопротивлением (рис. 9.9). Система находится в однородном магнитном полеВ, перпендикулярном её плоскости. Перемычку отпустили, и она начинает скользить по шинам под действием силы тяжести. Найти её установившуюся скорость. При каком поле В скорость перемычки будет направлена вверх?

9.14*. По двум вертикальным параллельным шинам, расстояние между которыми l, может без трения скользить медная перемычка массой т. Вверху шины соединены идеальной катушкой индуктивностью L (рис. 9.10). Вся система находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном её плоскости. Перемычку отпустили, и она скользит вниз под действием силы тяжести. Определить характер движения перемычки x(t), полагая x(0) = 0, υ(0) = 0. Найти аппроксимации движения x(t) при L→0 и при L→∞. Какое расстояние s перемычка пройдёт до первой остановки?

9.15. Медная перемычка может скользить без трения по двум параллельным горизонтальным шинам, расстояние между которыми равно l. Шины соединены резистором сопротивлением R (рис. 9.11). Вся система находится в однородном магнитном поле B, перпендикулярном её плоскости. Какую силу F надо приложить к перемычке, чтобы тащить ее равномерно со скоростью υ ?

9.16. На горизонтальных параллельных шинах, расстояние между которыми равно l, лежит медная перемычка массой т (рис. 9.12). Коэффициент трения между перемычкой и шинами равен k. Шины соединены резистором сопротивлением R. Вся система находится в однородном вертикальном магнитном поле, которое начинает расти по закону В = αt. Перемычка лежит на расстоянии h от резистора. Определить момент времени, когда перемычка начнёт двигаться по шинам.

9.17*. Медная перемычка массой т = 100 г может скользить с коэффициентом трения k = 0,1 по двум параллельным горизонтальным шинам, расстояние между которыми l = 0,1 м. Шины подключены к генератору с ЭДС  =12 В и внутренним сопротивлением =1 Ом (рис. 9.13). Вся система находится в однородном поле В = 0,1 Тл, перпендикулярном её плоскости. Определить: а) установившуюся скорость перемычки; б) соответствующий ток i через перемычку; в) механическую мощность такого линейного двигателя; г) КПД этого двигателя.

9.18*. На горизонтальных параллельных шинах (рельсах), расстояние между которыми равно l, лежат две медные перемычки. Масса правой (рис. 9.14) не существенна, масса левой равна m, а её коэффициент трения о шины равен k. Общее сопротивление в контактах между перемычками и шинами равно R. Вся система находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном её плоскости. Правая перемычка (назовём её локомотивом) движется вправо со скоростью υ. Какова установившаяся скорость u левой перемычки (вагона)? Найти силу тяги F такого локомотива и его мощность Р. Построить графики F(υ) и Р(υ).

9.19*. Медная перемычка массой m может легко скользить по двум проводящим параллельным горизонтальным шинам, расстояние между которыми равно l. Шины соединены резистором сопротивлением R (рис. 9.15). Вся система находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном её плоскости. Перемычку толкнули вправо со скоростью υ₀. Найти: 1) расстояние s, пройденное перемычкой до остановки; 2) теплоту Q, выделившуюся при этом на резисторе.

9.20. Непроводящее тонкое кольцо массой m, имеет заряд q и может свободно вращаться вокруг своей оси. Сначала кольцо покоилось, а магнитное поле отсутствовало. Затем поле В, перпендикулярное плоскости кольца, стало нарастать по некоторому закону В(t). Найти угловую скорость ω кольца в зависимости от величины поля В.

9.21. Самолёт с размахом крыльев l = 50 м летит горизонтально над Землёй со скоростью υ = 300 м/с. Вертикальная составляющая магнитного поля Земли над местом полёта В = 70 мкТл. Следовательно, между концами крыльев наводится ЭДС  = υВl = 1,05 В, что вполне достаточно, чтобы светилась маленькая лампочка. Однако, если такую лампочку в самолёте подключить к концам крыльев, то она светиться не будет. Почему?