3. Основы векторной алгебры

3.1. Скалярные и векторные величины

Скалярными называются величины, которые могут быть охарактеризованы числами (например, длина, площадь, объем, масса, плотность, работа и др.). Векторными называются величины, для полной характеристики которых требуется указания числа и направления в пространстве (например, скорость, ускорение, сила и др.). Вектором называется направленный отрезок АВ, у которого точки А и В являются соответственно началом и концом. Вектор обозначается АВ = а, его длина (модуль или длина вектора) обозначается Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нуль-вектором. Длина нуль-вектора равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой или если они расположены на параллельных прямых. Следовательно, направления коллинеарных векторов либо совпадают, либо противоположны.

Н а рис. 5 векторы а, в, с и d, е соответственно коллинеарны, причем, а и в одинаково направлены, векторы а, с; в, с; d, е – противоположно направлены.

Рис. 16

Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору. Два (ненулевых) вектора а и в равны, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Это записывается так: а = в.

Если длины двух векторов равны, но они противоположно направлены, то такие векторы называются противоположными. Вектор, противоположный вектору АВ = а, записывается так: ВА = – а.

Если векторы лежат в одной и той же плоскости, то они называются компланарными. Два вектора всегда компланарны. На рис. 16 векторы а, в, с, d, е являются компланарными.

Единичным называется вектор, длина которого равна единице; единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, обозначается а^о и называется ортом этого направления. Орты, имеющие направление прямоугольных координатных осей Ох, Оу, Оz (в сторону их положительного направления) обозначаются i, j, k (рис. 17 и 20).

Р адиус-вектором точки А(х, у, z) называется такой вектор r, начало которого совпадает с началом координат, точкой О, а конец расположен в точке А (рис. 17). Если радиус-вектор r точки А делит отрезок А₁А₂

в отношении , и r₁ и r₂ – радиус-векторы точек А₁ и А₂, то справедлива формула .

Следовательно, координаты точки А можно найти по формулам:

В частности, координаты середины отрезка А₁А₂ соответственно равны:

В

Рис. 18

сякие векторы (в лю-бом числе) можно привести к общему началу, т. е. построить векторы, соответст-венно равные данным и име-ющие общее начало в точ-ке О. Такое приведение изображено на рис. 18.

Итак, в дальнейшем будем иметь дело со свободными векторами, т. е. векторами, определенными с точностью до параллельного переноса.

3.2. Линейные операции над векторами

С уммой векторов а и b называется такой вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b, при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (правило треугольника) (рис. 19, а).

а б в

Рис. 19

Если на векторах а и b, исходящих из одной точки А, построить параллелограмм АВСD (АВ = а; АD = b), то диагональ, исходящая из общего начала векторов а и b, является суммой векторов: АС = а + b (правило параллелограмма) (рис. 19, б).

Разностью векторов а – b называется сумма векторов а и – b. Это другая диагональ параллелограмма: DВ = а – b (рис. 19, б).

Сумма нескольких векторов а, в, с, d, е есть вектор представляющий собой замыкающую ломаной АВСDЕМ, составленной из слагаемых векторов . Сложение векторов может быть выполнено последовательно: конец одного из векторов совпадает с началом другого; коней другого – с началом третьего и т. д., что понятно из рис. 19, в.

Произведением скаляра λ на вектор а называется вектор λа, коллинеарный с вектором а; длина его равна а направление совпадает с направлением а при λ > 0 и противоположно ему при λ < 0.

Линейной комбинацией векторов а, в, …, d со скалярными коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_k называется вектор Любой вектор а может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов р, q, r:

Координаты вектора. Если i, j, k – орты, то любой вектор АВ = а в пространстве может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов i, j, k (они некомпланарны), следующим образом: при этом скаляры , , называются прямоугольными декартовыми координатами вектора а в системе i, j, k.

Свойства линейных операций над векторами

Если а, в, с – векторы, α и β – скаляры, то:

● ● ●

● ● ●