3.3. Проекции вектора на ось
Проекцией точки М на ось l будем называть основание А перпендику-
к
уляра
МА
на ось l.
Проекцией вектора
на ось l
называется длина отрезка АВ,
где точка А
– проекция начала, а точка В
– проекция конца вектора а
на ось l.
Обозначение:
.
Основные теоремы о проекциях векторов:
1.
Проекция вектора на какую-либо ось равна
произведению модуля вектора на косинус
угла наклона вектора к оси:
2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту же ось.
3. При умножении вектора на скаляр его проекция умножается на тот же скаляр.
Проекции
точки М
на оси координат Ох,
Оу,
Оz
называются координатами
этой точки
и обозначаются
Прямоугольные декартовы координаты
вектора являются проекциями этого
вектора на оси Ох,
Оу,
Оz.
Это обозначается так:
Если
известны координаты начала
и конца
вектора АВ
= а,
то чтобы
найти проекции
(координаты) вектора,
надо из координат
конца вычесть соответствующие координаты
начала
(рис. 20), т.
е.
Рис. 20
3.4. Направляющие косинусы вектора. Модуль вектора
Направляющие
косинусы вектора
– это косинусы углов α, β, γ, которые
вектор образует с положительными
направлениями осей координат. Пусть
дан вектор
(рис. 21). Тогда направляющие косинусы
вектора а
можно найти по формулам:
где длина (модуль) вектора определя-ется по формуле:
Следствие. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
3.5. Скалярное произведение
С
калярным
произведением вектора а
на вектор b
называется число (скаляр), равное
произведению их модулей на косинус угла
между ними и обозначается ab
или (а,
b):
Следствия.
1)
Если векторы а
и b
ортогональны (перпендикулярны), то
Условие перпендикулярности двух векторов.
Два
вектора
и
в том и только в том случае перпендикулярны,
когда их скалярное произведение равно
нулю.
2)
Заметим, что
значит
3)
Свойства скалярного произведения
1.
2.
3.
называется скалярным квадратом вектора
а
и обозначается а2.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату
его модуля:
Следовательно,
4.
3.6. Векторное произведение
В
екторным
произведением двух векторов а и
b
(обозначается а
b
или [а,
b])
называется такой третий вектор с,
который:
1)
по абсолютной величине численно равен
площади параллелограмма, построенного
на векторах а
и b,
т. е.
2)
перпендикулярен плоскости этого
параллелограмма, т. е.
и
;
3) направлен в ту сторону, чтобы три вектора а, b, с образовали правую тройку, т. е. чтобы кратчайший поворот от а к b с конца вектора с был виден против хода часовой стрелки.
Свойства векторного произведения
1.
2.
3.
4.
5.
если векторы а
и b
коллинеарны. 6.
3.7. Смешанное произведение векторов
Смешанным
(векторно-скалярным) произведением трех
векторов
а,
b,
с
называется скалярное произведение
вектора
и вектора с
и обозначается
или
или
.
Абсолютная величина векторно-
с
калярного
(смешанного) произведения трех векторов
численно равна объему параллелепипеда,
построенного на векторах а,
b,
с
(рис. 22).
Свойства смешанного произведения
1.
2.
3
Рис. 22