Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

208

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

0tg(x +1)

17.−∫1 cos2 (x +1) dx

2sin 2x

19.∫0 1+ cos2 x dx

Примеры.

1. ∫x cos xdx

2π	1− cos x
18. ∫		dx
18. ∫	(x − sin x)2	dx
π

20.∫2 xcos x + sin x dx

π(xsin x)2

2.3. Интегрирование по частям

∫U(x)dυ(x) =U(x) V(x) − ∫V(x)dU(x)

	x =U	dU = dx


=	cos xdx = dV	V = ∫cos xdx = sin x	=

		= xsin x − ∫sin xdx = xsin x + cos x + C

dU =

arctgx = U

2. ∫xarctgxdx =

1+ x2

xdx

= dV

V =

1 x2dx x2

(x2 +1) −1

arctgx −

2 ∫

arctgx −

∫

dx =

1+ x2

x2 +1

arctgx −

x2 +1

dx −

arctgx −

(x − arctgx) + C =

∫ x

			= 1 (x2arctgx − x + arctgx) + C
		2
3.	∫ex sin2xdx =		ex =U	dU = exdx		= −	1	1	∫ex cos2xdx


			sin2xdx = dV		1		2 ex cos2x +	2
			sin2xdx = dV	V = −	2 cos2x
					2 cos2x

Вновь полученный интеграл снова возьмем по частям:

∫ex cos2xdx =

ex =U

dU = exdx

∫ex sin2xdx

cos2xdx = dV V =

1sin2x

2 ex sin2x

−

Пришли к исходному интегралу. Итак,

I = ∫e

sin2xdx = −

cos2x +

sin2x

−

Следовательно, 5 I =

1 ex (2sin2x − cos2x) или

∫ex sin2xdx =

ex (sin2x − 2cos2x) + C

arctgxdx =

arctgx = U dU =

= xarctgx −

xdx

1+ x2

∫

∫1+ x2

dx = dV

= x

2xdx

d 1+ x2

)

= xarctgx −

∫

= xarctgx −

∫

(

= xarctgx −

ln(1+ x2 )+ C

1+ x2

	Задания для самостоятельного решения
	Найти неопределенные интегралы
1.	∫xexdx	2.	∫xcos xdx
3.	∫x2 ln xdx	4.	∫2xarctgxdx
5.	∫(2x + 3)sin xdx	6.	∫arccos xdx
7.	∫(x2 + 5x + 6)cos2xdx	8.	∫x2e3xdx
	0		0
9.	∫(x2 + 4x + 3)cos xdx	10. ∫(x + 2)2 cos3xdx
	−1		−2
	0		1	x
11. ∫(x2 + 6x + 9)sin2xdx		12. ∫x2e−
11. ∫(x2 + 6x + 9)sin2xdx		12. ∫x2e−		2dx
	−3		−1

	3		π
13.	∫xarctgxdx		2		xcos x
		14.	∫π			dx
	0	14.	∫π		sin3 x	dx
			4
	π		π
	4		2		xdx
15.	∫tgxlncos xdx	16.	∫
15.	∫tgxlncos xdx	16.	∫	sin2 x
	0		π
			4

2.4.Дробно-рациональные функции, их интегрирование

•Определение. Дробно рациональной функцией (алгебраической дробью) R(x) называется отношение двух многочленов с действительны-

ми коэффициентами, т. е. R(x) = Pn (x) , где m и n – степени многочленов.

Qm (x)

Алгебраическая дробь называется правильной в том случае, если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, и неправильной, если старшая степень числителя больше или равна старшей степени знаменателя. Всякая неправильная дробь может быть преобразована в сумму некоторого многочлена L(x) – целая часть и пра-

вильной дроби

M(x)

P(x)

= L(x) +

M(x)

Q(x)

N(x)

Например,

3x4 −10x3

+ 22x2 − 24x +10

= 3x2

− 4x + 5−

2x + 5

x2 − 2x + 3

− 2x + 3

так как

3х4 – 10х3 + 22х2 – 24х + 10

х2 – 2х + 3

– 3х4 – 6х3 + 9х2

3х2 – 4х + 5

– 4х3 + 13х2 – 24х + 10

целая часть

–

– 4х3 + 8х2 – 12х

–

5х2 – 12х + 10

5х2 – 10х + 15

– 2х – 5

остаток

Разложение на простейшие дроби. Всякая правильная несократи-

мая алгебраическая дробь P(x) может быть единственным образом преоб-

Q(x)

разована в сумму простейших дробей вида				A	или	Bx + C	, ес-

				(x − α)k		(x2 + px + q)l
	p 2	− q < 0. При этом могут быть следующие четыре случая.
ли
ли
	2
	1.	Знаменатель Q(x) = xn + b	xn−1 + ...+ b x + b (коэффициент				при
		n−1	1		0

старшем члене знаменателя удобно сделать равным 1, деля на него числитель и знаменатель дроби) такой, что уравнение Q(x) = 0 имеет только

действительные однократные (простые) корни α1, α2,

..., αn. В этом слу-

чае разложение ведется по формуле:

P(x)

xm + a

m−1

xm−1

+ ...+ a x + a

+ ...+

Q(x)

(x − α )(x − α

)...(x − α

)

x − α

где А, В, … С – неопределенные коэффициенты.

2. Корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные. Тогда разложение ведется по формуле:

P(x)

+ a

m−1

xm−1 + ...+ a x + a

+ ...+

Q(x)

(x − α )k1 (x − α

)k2

...(x − α

x − α

− α )2

)km

(x − α )k1

+ ...+

(x − α2 )2

(x − α2 )k2

x − αi

(x − αi )2

x − α2

− αi )km

3. Среди корней знаменателя есть комплексные однократные, т. е.

дискриминант

− q < 0

для квадратного трехчлена

+ px + q. В этом

случае разложение ведется следующим образом:

P(x)

xm + a

m−1

xm−1 + ...+ a x + a

Q(x)

(x − α )(x − α

)k (x2 + p x + q )(x2 + p

x + q

)

+ ...+

C1x + D1

C2x + D2

x − α

(x − α

2 + p x + q

x2 + p x + q

4. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные. Разложение ведется по формуле:

P(x)

+ a

m−1

xm−1 + ...+ a x + a

Q(x)

(x − α )(x − α

)k (x2

+ p x + q )(x2

+ p

x + q

+ ...+

Cx + D

x − α

− α

(x − α

x2 + p x + q

E1x + F1

E2x + F2

+ ...+

Es x + Fs

2 + p x + q

(x2 + p x + q )2

(x2 + p

x + q )s

Замечание. Для нахождения неопределенных коэффициентов используют условия равенства двух многочленов:

а) два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х;

б) если многочлены равны, то равны их числовые значения при одинаковых числовых значениях х.

Интегрирование простейших дробей


I ∫		A	dx = Aln		x − a	+ C


	x − a						(x − a)−n+1

		A
II ∫				dx = A∫(x − a)−ndx = A				+ C
		(x − a)n					−n +1

III Интегрирование простейшей дроби III типа рассмотрим на примере:

∫

3x + 5

dx =

+ 2x +10

выделим полный квадрат:

x2 + 2x +10

D < 0

x2 + 2x +10 = (x2 + 2x) +10 = (x +1)2 −1+10 = (x +1)2 + 9

= ∫

3x + 5

введем новую переменную

dx =

x +1= t dx = dt

(x +1)2 + 9

x = t −1

3(t −1) + 5

3t + 2

tdt

= ∫

dt = ∫

dt = 3∫

+ 2∫

t2 + 9

1 d(t2 + 9)

= 3∫

+ 2∫

+ 9

+ 2

arctg

+ C =

t2 + 9

2 + 32

x +1

2x +10

arctg

+ C .

Замечание. Вычисление интегралов от простейших дробей IV типа здесь рассматривать не будем.

Примеры.

∫

3x4

−10x3 + 22x2 − 24x +10

∫

2x + 5

dx =

− 4x + 5

−

dx =

− 2x

+ 3

− 2x + 3

2x2 + 5x − ∫

(2x − 2) + 5

+ 5x − ∫

(2x − 2)dx

= x3 −

dx = x3 −

2x2

−

x2 − 2x + 3

−7∫

d(x2 − 2x + 3) = (2x − 2)dx

x2 − 2x + 3

x2 − 2x + 3 = (x −1)2 + 2

= x3 − 2x2 + 5x − ∫

d(x2 − 2x + 3

− 7∫

d(x −1)

x2 − 2x + 3

(x −1)2 + 2

arctg

x −1

= x3 − 2x2 + 5x − ln

x2 − 2x + 3

−

+ C

6x2 − x +1

A(x −1)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x −1)

6x2 − x +1 =

x(x −1)(x +1)

x −

x +

x3 − x

x(x −1)(x +1)

Если дроби с одинаковыми знаменателями равны, то равны и их чис-

лители: A(x −1)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x −1) = 6x2 − x +1.

Далее зададим х значения корней знаменателя данной дроби: x = ±1;

x = 0 и подставим в последнее равенство:

x =1,	2B = 6,	B = 3,

x = −1,
	2C = 8, C = 4,
x = 0.	− A =1
		A = −1.

Найденные значения А, В, С запишем в простейшие дроби и получим:

6x2 − x +1		= −	1	+	3	+	4	.
x3	− x		x		x −1		x +1

6x2 − x +1

Итак, заданный интеграл ∫

x3 − x

dx = −∫

+ 3∫

+ 4∫

x −1

x +1

= −ln

+ 3ln

x −1

+ 4ln

x +1

+ C = ln

C(x −1)3(x +1)4

= ln

C(x −1)3 (x +1)4

3. ∫

dx =

(x + 2)2 (x +1)

x +1

x + 2

(x + 2)2

(x + 2)−2+1

∫

−4∫

=∫

− 4∫(x + 2)2 dx = ln

x +1

− 4

+ C =

x +1

(x + 2)2

x +1

−2 +1

= ln

x +1

+ C

x +

Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители данной и полученной дробей: x2 = A(x + 2)2 + B(x +1)(x + 2) + C(x +1).

x = 0,

0 = 4A + 2B + C,

B = 0,

−

x = −2,

4 = −C,

C = −4,

Итак,

(x + 2)2 (x +1)

x +1

(x +

2)2

x = −1.

1= A

A =1.

x3 + 4x2 + 6		=	A		+	B	+	Cx + D		.
(x +1)2 (x2	+ 2)		x +	1		(x +1)2		x2	+ 2

4. ∫

x3 + 4x + 6

(x +1)2 (x2 + 2)

Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем чис-

лители: x3 + 4x2 + 6 = A(x +1)(x2 + 2) + B(x2 + 2) + (Cx + D)(x +1)2.

Задаем х значение действительного

корня

знаменателя данной дроби

x = −1, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

x = −1

9 = 3B,

1= A + C,

A =

;

B = 3; C =

; D = −

4 = A + B + 2C + D,

6 = 2A + 2B + D

Итак,

+ 4x2

+ 6

2(x −1)

(x +1)2 (x2 + 2)

3(x +1)

(x +

1)2

3(x2

+ 2)

x −1

xdx

∫

+ 3∫

+ 3

∫

dx =

3ln

x +1

−

3 ∫

−

x +1

(x +1)2

x2 + 2

x +1

x2 + 2

∫

−

x +1

−

+ 2

−

arctg

+ C =

x2 + 2

x +1

arctg

+ C

= ln 3 (x +1)(x2 + 2) −

−

x +1

x4 + x = x(x3 +1) =

5. ∫

x3 + 4x2 − 2x +1

dx =

= x(x +1)(x2 − x +1)

x4 + x

+ D

A(x +1)(x2 − x +1) + Bx(x2 − x +1) + (C

+ D)× (x +1)

x +1

x2 − x +1

x(x +1)(x2 − x +1)

Запишем равенство числителей данной и полученной дробей:

x3 + 4x2 − 2x +1= A(x +1)(x2 − x +1) + Bx(x2 − x +1) + (C

+ D)x(x +1).

Для нахождения неопределенных коэффициентов сначала в обе части последнего равенства зададим х значения действительных корней знаменателя данной дроби, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

x = 0	1= A		A =1
x = 0	1= A		A =1
x = −1	6 = −3B		B = −2
x3	1= A + B + C		C = 2
x3	1= A + B + C		C = 2
x2	4 = C + D − B	D = 0.

Подставляя найденные коэффициенты, сначала разложим подынтегральную функцию, а затем представим данный интеграл U в виде суммы интегралов:

U = ∫

− 2∫

+ 2∫

xdx

= ln

− 2ln

x +1

+ 2∫

xdx

x +1

x2 − x +1

Последний интеграл U1 рассмотрим отдельно, выделяя полный квад-

рат в знаменателе x									2										1		2		+		3	и полагая					x −		1	= t dx = dt :
рат в знаменателе x										− x +1 x −									2				+		4	и полагая					x −		2	= t dx = dt :
																			2						4								2
				1																										2	+	3
	t +			2		dt			1				2tdt					1								1		d t			+	4			1
				2					1				2tdt					1						dt		1						4			1		dt
U = ∫							=				∫						+			∫						= 2	∫							+	2 ∫							=
						3			2						3			2							3						3										2
		t	2	+		3			2			t	2	+	3			2				t	2	+	3			t	2		3									3	2
		t		+		4						t		+	4							t		+	4			t		+ 4						t2	+			3
						4									4										4					+ 4						t2	+			2
																																								2
=		1 ln			t	2 +	3	+			1			2		arctg					2t			=	1 ln(x2 − x +1) +								1		arctg		2x	−	1.
							3				1			2							2t												1
							4				2
														3							3													3
		2												3							3				2									3			3

Подставляя в предыдущее равенство, находим исходный интеграл

∫

+ 4x2 − 2x +1

+ ln(x2 − x +1) +

2x −1

dx = ln

− 2ln

x +1

arctg

+ C =

+ x

(x2 − x +1)

−

= ln

+ 2

3arctg 2x

1 + C

(x +1)2

Задания для самостоятельного решения

1. ∫

2x −1

2. ∫

3x − 7

(x −1)(x −

− 5x +

3. ∫

xdx

4. ∫

x3 − 3x2 −12

x3 − 4x

(x − 2)(x − 3)(x − 4)

x − 8

5. ∫

6. ∫

x3 − 4x2 + 4x

x3 −1

7. ∫

(2x +1)2

8. ∫

x2dx

x3 +1

(x + 2)2(x + 4)2

9. ∫

x3 − 6

10. ∫

2x − 5

x2 − 5x + 8

x4 + 6x2 + 8

11.

∫

(x − 4)3

12.

∫

x3 + 5x2 +12x + 4

x2 −8x + 7

(x + 2)2 (x2 + 4)

∫

x3 + 6x2 +14x +10

3x2 + 2x − 3

13.

14.

∫

(x +1)(x + 2)3

x3 − x

(2x + 3)

15.

∫

16.

∫

(x − 2)3

(x +1)(x3 + 4)

2.5. Интегрирование тригонометрических функций

Так

как

tgx =

sin x

и ctgx =

cos x

то любую функцию

cos x

sin x

f (tgx, ctgx,

sin x,

cos x) можно рассматривать как функцию, зависящую

от sin x и cos x , т. е. функцию R(sin x,cos x). Интегралы от таких функций мы и рассмотрим.

Универсальная тригонометрическая подстановка tg

= t .

2tg

1− tg

Зная формулы sin x =

; cos x =

, получим sin x =

;

1+ tg

+ t2

cosx = 1− t2 и dx = 2

. Следовательно, интеграл ∫R(sin x,cos x)dx сво-

1+ t

+ t

дится к интегралам от рациональных функций аргумента t.

Примеры.

2dt

1. ∫

= ∫

1+ t2

= 2∫

9 + 8cos x + sin x

1− t2

t2 + 2t +17

(t +1)2 + 42

9 + 8

1+ t2

t +1

1 arctg

= 2

+ C =

+ C

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.202553 Кб1осн законодательства.docx
#
16.09.20197 Мб87Основная часть.docx
#
01.07.202595 Кб1Основные денежные реформы.doc
#
01.07.2025101 Кб0Основные понятия.doc
#
14.03.20162 Мб154Основы выездки и езды.pdf
#
14.03.20163 Мб208Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл.pdf
#
16.08.2019113 Кб39Основы налогов. Лекция 8.doc
#
26.08.2019293 Кб49Основы теории транспортных процессов и систем.doc
#
01.04.2025545 Кб4Основы экономики.doc
#
14.03.20162 Мб48ОсновыКомпПроект_ИвановЕрещенко.pdf
#
24.09.2019271 Кб29ОсновыПолитСоциологии_для всех специальн.doc