Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

208

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

1.5. ∫(x2 + y2 )		dl, l : x = acost, y = asint,	0 ≤ t ≤ 2π.
l
1.6. ∫(x − y)dl,		где l – участок прямой от A(0,0) до B(4,3).
l
1.7. ∫		где l – первая арка	циклоиды x = a(t − sint),
	2ydl,
l

y = a(1− cost).

Задача 2.
Вычислить криволинейные интегралы II рода:
2.1. ∫ xdy − ydx,		где O(0,0),	A(1,2), если ОА – отрезок прямой линии.
	OA
2.2. ∫ xdy − ydx,		где O(0,0),	A(1,2), если ОА – ломаная, состоящая из
	OA
отрезка ОВ оси ОХ, из отрезка ВА, параллельного оси ОУ.
2.3. ∫(x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy, где l – парабола y = x2 (−1≤ x ≤1).
	l
2.4.	∫ dxsin y + dysin x, где		АВ –	отрезок прямой между точками
	AB
A(0,π) и B(π,0).
2.5.	∫(x − y)2 dx + (x + y)2 dy,		если	l – ломаная ОАВ, где	O(0,0),
	l
A(2,0), B(4,2).
2.6.	∫ 2xydx − x2dy, где ОВА –			ломаная линия, O(0,0),	B(2,0),
	OBA
A(2,1).
2.7.	∫ 2xydx − x2dy, где ОСА – ломаная линия, O(0,0), C(0,1), A(2,1).
	OCA

Задача 3.

Найти функцию U(x, y), если известен ее полный дифференциал

dU = P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

3.1.dU = (x2 + y)dx + (y2 + x)dy

3.2.dU = (2xy − y2 + 3)dx + (x2 − 2xy − 4)dy

3.3.dU = (2x + y)dx + (x − 4)dy

3.4.dU = (x + y2 )dx + 2xydy

3.5.dU = (1− 2xy)dy − y2dx

3.6.dU = (x + 2xy − y2 )dx + (x2 − 2xy − y2 )dy

3.7.dU = e− ydx + (1− xe− y )dy

5. ВИДЫ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Понятие определенного интеграла вводится в предположении, что промежуток интегрирования [a; b] конечен и функция f (x) непрерывна на нем. Такие интегралы называют еще собственными.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то интеграл называется несобственным.

5.1. Интеграл с бесконечными промежутками интегрирования

(несобственный интеграл I рода)

Пусть подынтегральная функция f (x)			непрерывна на промежутках
[a;+∞), (−∞;b]	или на всей числовой оси (−∞;+∞) и если существует ко-
	+∞	A	+∞
нечный предел	∫	f (x)dx = Alim→+∞ ∫ f (x)dx, то	∫ f (x)dx называют несобст-
	a	a	a

венным интегралом I рода. Если указанный предел существует, то несоб-

+∞

ственный интеграл ∫ f (x)dx называется сходящимся. Если же предел не

+∞

существует или бесконечен, то несобственный интеграл ∫ f (x)dx называ-

ется расходящимся.

Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их

+∞

расходимость: 1) ∫

dx ;

2) ∫

+∞

A dx

∫1

dx = lim

∫1

= lim

−

lim 1

−

– интеграл сходится;

A→+∞

+∞

2. ∫

= lim

∫

= lim ln

= ∞ интеграл расходится.

A→+∞

Аналогично определяются несобственные интегралы для непрерыв-

ной функции, заданной на промежутке (−∞;b]			или (−∞;+∞):
b	b	+∞	A
∫ f (x)dx = Blim→−∞ ∫ f (x)dx ;		∫ f (x)dx = Blim→−∞∫ f (x)dx
−∞	B	−∞	A→+∞ B
+∞	C	+∞
Замечания. 1) ∫	f (x)dx = ∫	f (x)dx + ∫	f (x)dx , где С – любая точка
−∞	−∞	C

числовой оси (−∞;+∞). Этот несобственный интеграл является сходящимся, если оба слагаемых справа интеграла сходятся.

2) Для несобственных интегралов сохраняются свойства определенного интеграла: интеграл от четной функции на интервале (−∞;+∞) можно свести к вычислению интеграла на интервале [0;+∞), а интеграл от нечет-

+∞	x2
ной функции на (−∞;+∞) равен нулю. Поэтому, например, ∫ xe−		dx = 0.
ной функции на (−∞;+∞) равен нулю. Поэтому, например, ∫ xe−	2	dx = 0.
−∞
5.2. Интеграл от разрывных функций
(несобственный интеграл II рода)

Пусть область задания функции y = f (x) – промежуток [a,b) или [a,b],

но в точке b предел lim f (x) = ∞ (при x = b функция имеет бесконечный

	x→b
разрыв). При этом	x = b называется особой точкой. Если существует ко-
b	b−ε	b
нечный предел ∫ f (x)dx = limε→0 ∫ f (x)dx, то интеграл		∫ f (x)dx называется
a	a	a

несобственный интеграл II рода. Если предел в правой части существу-

ет, то несобственный интеграл ∫ f (x)dx сходится. Если указанный предел

не существует или бесконечен, то ∫ f (x)dx расходится. Аналогично опре-

деляется несобственный интеграл от функции, заданной на промежутках

[a,b) или [a,b], но при этом lim f (x) = ∞ :	b		b
[a,b) или [a,b], но при этом lim f (x) = ∞ :	∫	f (x)dx = lim	∫	f (x).
x→a	∫	ε→0	∫
	a		a+ε

Наконец, если функция задана на всем отрезке [a,b] за исключением

его внутренней точки c [a,b] , т. е. функция определена на промежутках

[a,c) и (c,b] и lim f (x) = ∞ , то несобственный интеграл определяется так:
x→c
b	c−ε	b
∫ f (x)dx = limε→0	∫	f (x)dx + limδ→0 ∫ f (x)dx
a	a	c+δ

Если хотя бы один из пределов не существует (или равен ∞), то несобственный интеграл расходится. Чтобы несобственный интеграл был сходящимся, требуется сходимость обоих пределов.

Пример. Вычислить ∫

Решение. x = 0 – особая точка подынтегральной функции

)

= 4 4

∫

= lim

∫

= lim2 x

= lim

4 − 2

– сходится.

ε→0

ε→0 (

∫

Формула Ньютона–Лейбница: ∫ f (x)dx = F(x)

, где F′(x) = f (x) .

• При исследовании несобственных интегралов от разрывной функции на сходимость можно применять формулу Ньютона–Лейбница только

тогда, когда первообразная функция от f (x)		в особой точке непрерывна.
	8	dx		1	dx
Пример. Сходится ли интеграл 1)	−∫1		; 2)	−∞∫		?
					1+ x2
		3 x

Решение. 1) x = 0 – особая точка функции	1	. Первообразная


	3 x

F(x) = 32 3x2 – непрерывна в особой точке x = 0 можно применять фор-

								8	dx		3			8		3	2						9
								8	dx		3		2	8		3	2						9
мулу Ньютона–Лейбница								−∫1		=		3 x	2		=		83 −1				=					данный не-
											2			−1		2							2
									3 x
									3 x

собственный интеграл сходится.
	2) f (x) =				1		– всюду непрерывна
	2) f (x) =			1+ x2			– всюду непрерывна
				1+ x2
1	dx				1								π			π		π		π				3
−∞∫	dx		= arctg	x	1	= arctg1		− arctg(−∞) =					π	−	−	π	=	π	+	π		=		3	π сходится.

	1+ x	2			−∞								4			2		4		2				4
	1+ x				−∞								4			2		4		2				4

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить или установить расходимость несоответственного интеграла:

+∞

xdx

∞

x4dx

∫0

2. ∫0

3. ∫1

4. ∫0

x −1

x2 + x

x2 +1

1− x5

+∞

∞

xdx

∫

6. ∫

7. ∫

8. ∫

xln x

x x

4 + x2

4 − x2

∞ ln x

∞ arctgx

−∫2

10.

∫0

11.

∫1

x dx

12.

∫1

(x + 2)2

1+ x2

∞

xdx

+∞ ln3 x

13. ∫3

14.

∫0

15.

∫0

16.

∫2

x2 − 4

x3 x

25 − x2

∞

xdx

+∞

17. ∫

18.

∫

19.

∫

20.

∫

x4 +1

1+ x2

2x −1

(x −1)3

−∞

−1

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Задание

1.	∫		+	1
		1					dx
				cos	2
						4x

2. ∫4sin2xdx

3.	∫	2x +	3
				dx

			2x

4.∫(x dx+ 2)2

5.∫cos2 xdx

6.∫ x −x 3dx

Вариант № 1

Укажите правильный ответ

x + 4cos3 4x + C

x − sin3 4x + C

x + 1 tg4x + C

4) 1−

cos2 4x + C

5) 1+ sin2 4x + C

6) правильного ответа нет

8cos2x + C

C − 2cos2x

C − 8sin 2x

C + 2cos2x

4cos2x + C

6) правильного ответа нет

2x2 + 3ln

+ C

x2 + 3 x + C

2x +

+ C

x +1,5ln

+ C

2x2

x2 +1,5ln

+ C

6) правильного ответа нет

1) ln

x + 2

2 + C

2) C + ln

x + 2

(x + 2)2

+ C

(x + 2)

+ C

C −

6) правильного ответа нет

x + 2

0,5x + 0,25sin2x + C

0,5+ 0,25cos2x + C

0,5x − 0,25sin2x + C

0,5− 0,25sin2x + C

0,5x − 0,25cos2x + C

6) правильного ответа нет

(x − 3)2 + C

x − 3ln

+ C

(x −3)2 ln

+ C

− 3ln

+ C

x −1,5x2 + C

6) правильного ответа нет

7. ∫(2x − 3)sin xdx 1)	(2x − 3)cos x − 2sin x + C	2)	3sin x + 3cos x + C
3)	(2x − 3)sin x − 2cos x + C	4)	(3 − 2x)cos x + 2sin x + C
5)	(3 − 2x)sin x − 2sin x + C	6) правильного ответа нет

8.∫ln(x −1)dx

9.∫x3+ x2 dx

10.∫e2x x−1dx

	π
24				2dx
11. ∫				2dx

		sin	2		2x	+	π
0			2				π
0							4
							4

1) C − x + (x −1)ln x −1

3) xln x −1 − ln x −1 + C

5) ln2 x −1 + C

1) 13 3 + x2 (3 + x2 ) + C

3) 23+ x2 + C

5)	2	+ C


	(3 + x2 )2
	(3 + x2 )2

1) e2x + lnex + C

3) ex + e−x + C

5) ex + lnex + C

1) 3 −1

3) 2 +1

5) 1− 3

12.	3	2x		dx	1) ln4

	∫ x2		+1
	∫ x2		+1
	0

2) 0,5ln2 x −1 + C

4)	1	+ C
	x −1

6) правильного ответа нет

2) 12 3+ x2 + C

4)	1	+ C


	3 + x2
	3 + x2

6) правильного ответа нет

2) (e2x −1)2 + C 2

4) ex (e2x −1)2 + C

6)правильного ответа нет

2)2 −1

4) 0,25

6) правильного ответа нет

2) ln10

3)	ln9	4)	2ln5
5)	2ln3	6) правильного ответа нет

13. Площадь плоской пластинки, ограниченной линиями y = 6x − x2 и y = 5, равна:


1) 52			1	2) 44		1	3) 93				1		4) 4,5 5) правильного ответа нет
1) 52				2) 44		3	3) 93						4) 4,5 5) правильного ответа нет
3						3	3
14. Длина дуги кривой x = 4 −										t4		,	y =	t6	, где 0 ≤ t ≤1,					равна:
14. Длина дуги кривой x = 4 −												,	y =		, где 0 ≤ t ≤1,					равна:
							4						6
1)	1	(1− 2			)	2) 23(2			−1)				3)			3	(2		−1)	4)	1	(2		−1)
				2														2					2
								2

																					6
	6															8					6

5)правильного ответа нет

15.Площадь фигуры, расположенной внутри кривой ρ = 5cosϕ, равна

1)	6,25π 2) 6,25(π −1)	3) 6,25(π − 0,5) 4) 12,5π
5) правильного ответа нет

Задание

1.∫e7−2xdx

2.∫cos(1−1,5x)dx

3.∫x +1dx

4.∫5dx+ x

Вариант № 2

Укажите правильный ответ

1) C + 17 e7−2x

3) C + 17 e7−2x

5) e6−2x + C

1) C + 23 sin(1−1,5x)

3) C +1,5sin(1−1,5x)

5) C −1,5sinx

1) 2x +1 + C 3) 32 x +1 + C

5) 23 (x +1)x +1) + C

1) ln 5 + x + C

2) C − 0,5e7−2x

4) e8−2x + C

6) правильного ответа нет

2) C −1,5sin(1−1,5x)

4) C − 23 sin(1−1,5x)

6) правильного ответа нет

2) (x +1)2 + C

4) (x +1)2 + C

6) правильного ответа нет

2) 12 (5 + x)2 + C

	3)	C −				1	4)	C −		2

					5	+ x			(5	+ x)2

	5)	ln(5 + x)2 + C					6) правильного ответа нет
5. ∫sin3xcos5xdx	1)		1	cos3xsin5x +C			2)	C + 0,25sin4x − 0,5sin2x

		15
	3)	C − 0,25cos 4x + 0,5cos 2x					4)	sin2 3x + C
	5)	cos2 5x + C					6) правильного ответа нет
6. ∫(3x − 2)sin xdx	1) (3x − 2)cos x − sin x + C						2)	(3x − 2)cos x + C
	3)	C + 3sin x + (2 − 3x)cos x					4)	(2x − 3)sin x + C
	5)	C − 3sin x + (3x − 2)cos x					6) правильного ответа нет

7. ∫ln(x + 2)dx

8. ∫ xxdx2 − 3

9. ∫ x2 − 2x +1dx x

10. ∫cos xsin2 xdx

1)		xln(x + 2) + ln(x + 2) + C
3)	ln2 (x + 2) + C
5)		1 ln2			(x + 2) + C
	2

1)	ln			x2 − 3 + C
		1
3)		1	(x2 − 3)3							+ C
3)	3		(x2 − 3)3							+ C
	3
5)	C −						1


						x2 − 3
						x2 − 3
1)				x2					4
				x2					4
	ln x							−		x x + x	+ C
	ln x				3			−	3	x x + x	+ C
					3				3