Metod_ukazania_i_Sbornik_zadaniy

31

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

§ 8. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ

Основные формулы

qпр

где F – сила, действующая на пробный точечный положительный заряд qпр, помещенный в данную точку поля.

Сила, действующая на точечный заряд q, помещенный в электрическое

поле напряженностью Е:

F qE .

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда:

где константа k = 9·109 м/Ф.

Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, создаваемого в данной точке пространства несколькими точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии П пробного точечного положительного заряда qпр, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

П ,

qпр

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы А сил поля по перемещению точечного положительного заряда q из данной точки поля в бесконечность к величине этого заряда:

А

q .

При этом потенциал электрического поля в бесконечности принят равным нулю.

32

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда:

Q k r .

Потенциал электрического поля, созданного системой из п точечных зарядов в данной точке, в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов 1, 2, ... , N, создаваемых отдельными точечными зарядами Q1, Q2, ..., QN:

N

i .

i 1

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии r друг от друга:

суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напря-

женностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

E E1 E2 .

33

Напряженности электрического поля, создаваемого первым и вторым зарядами, соответственно равны:

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cos . По этой формуле найдем: cos =0,25.

Подставляя выражения E1 и E2 , вычисленные по формулам (1), в равенство (2) и вынося общий множитель k за знак корня, получим:

произведя вычисления, найдем:

Пример 8б. Определить энергию взаимодействия системы из трѐх точечных зарядов Q1=4 нКл, Q2=5 нКл и Q3=-3 нКл, расположенных по трѐм вершинам квадрата (рис.8.2), если его сторона а = 10 см.

Решение. Можно воспользоваться приведѐнной выше формулой для энергии системы зарядов:

35

§ 9. ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Основные формулы

Сила, действующая на точечный заряд q, помещенный в электрическое

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1, в другую, имеющую потенциал 2:

A = Q( 1– 2) = qU,

где U= 1– 2 – разность потенциалов (напряжение) между этими точками. Связь напряженности и напряжения между двумя точками однородного электрического поля, лежащими на прямой, совпадающей с силовой линией

поля:

U E d .

Здесь d – расстояние между этими точками.

Примеры решения задач

Пример 9а. Электрон со скоростью v=1,83 106 м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы при столкновении с атомом водорода смог ионизировать его? Энергия ионизации водорода Ei=13,6 эВ.

Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы его кинетическая энергия T при соударении с атомом водорода была равна энергии ионизации водорода Ei. Работа, совершаемая электрическим полем над электроном, идѐт на приращение его кинетической энергии:

eU = T – T0,

где Т0 – кинетическая энергия электрона до его вхождения в поле. Таким образом:

T = eU+T0 = Ei .

Выразив начальную кинетическую энергию через начальную скорость, получим:

mv 2

eU 2 Ei ,

откуда определим искомую разность потенциалов (или напряжение):

36

При вычислении учтѐм, что внесистемная единица энергии электрон-вольт (эВ) – это энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В, т.е. 1 эВ = 1,6·10-19 Дж.

В результате получаем: U=4,15 В.

Пример 9б. Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов U0=10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U=100 В, по линии АВ, параллельной пластинам (рис. 9.1). Расстояние d между пластинами равно 2 см. Длина l1 пластин конденсатора в направлении полета электрона равна 20 cм. Определить расстояние ВС на экране Р, отстоящем от конденсатора на l2=1 м.

При вхождении электрона в электрическое поле конденсатора на него начинает действовать сила

F=eE,

где е – заряд электрона, Е – напряженность электрического поля. Эта сила вызывает направленное вдоль неѐ (т.е. вниз, см. рис. 9.1) ускорение а, равное:

Скорость электрона внутри конденсатора определяется этим ускорением:

В проекциях на горизонтальную и вертикальную оси это уравнение примет

вид:

eE

vx v0 , vy at m t1 .

Следовательно, вдоль линии АВ скорость электрона в конденсаторе неизменна и равна начальной, а вдоль вертикальной оси к моменту выхода из кон-

37

денсатора появляется составляющая, определяемая временем прохождения электрона вдоль обкладки конденсатора длиной l1:

После выхода из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоростью v, которую он имел в момент вылета из конденсатора.

Из рис. 9.1 видно, что искомое расстояние BC=h1+h2, где h1 - расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время равноускоренного движения в конденсаторе; h2 – расстояние, пройденное электроном по вертикали после выхода из конденсатора с постоянной скоростью vy , определяемой соотношением (4).

Выразим отдельно h1 и h2. Пользуясь формулой длины пути при равноускоренном движении, найдем:

откуда, используя выражения (2) и (3), получим:

Длину отрезка h2 можно найти из подобия векторного треугольника скоростей и треугольника с катетами l2 и h2:

откуда с учетом равенства (4) и того, что vx=v0, определим:

Из выражений (5) и (6) найдѐм искомое расстояние:

Осталось записать выражение для напряженности однородного электрического поля в конденсаторе:

U E d ,

где U – напряжение на конденсаторе, d – расстояние между его обкладками, а также использовать выражение (1) для скорости электрона на входе в конденсатор.

Т.е. окончательно:

38

Задачи

9.1. Напряжение U между катодом и анодом электронной лампы равно 90 В, расстояние r = 1 мм. С каким ускорением а движется электрон от катода к аноду? Какова скорость ν электрона в момент удара об анод? За какое время t электрон пролетает расстояние от катода до анода? Поле считать однородным.

9.2.Протон, начальная скорость ν которого равна 100 км/с, влетел в однородное электрическое поле (Е=300 В/см) так, что вектор скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь l должен пройти протон в направлении линий поля, чтобы его скорость удвоилась?

9.3.Электрон, летевший горизонтально со скоростью ν=l,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е=90 В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по модулю и направлению скорость v электрона через 1 нс?

9.4.Вдоль силовой линии однородного электрического поля движется про-

тон. В точке поля с потенциалом θ1 протон имел скорость ν1=0,1 Мм/с. Определить потенциал θ2 точки поля, в которой скорость протона возрастает в п=2 раза. Отношение заряда протона к его массе е/m=96 МКл/кг .

9.5.В однородное электрическое поле напряженностью Е =1 кB/M влетает

вдоль силовой линии электрон со скоростью ν0= l Mм/c. Определить расстояние l, пройденное электроном до точки, в которой его скорость νl будет равна половине начальной.

9.6.Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического

поля. В некоторой точке поля с потенциалом θ1=100 В электрон имел скорость ν1=6 Mм/c. Определить потенциал θ2 точки поля, в которой скорость v2 электрона будет равна 0,5ν1.

9.7.Электрон с начальной скоростью ν0=З Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью Е=150 B/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу F, действующую на электрон; 2) ускорение а, приобретаемое электроном;

2)скорость ν электрона через время t=0,1 мкс.

9.8.Электрон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью v=10 Mм/c, направленной параллельно пластинам. На сколько приблизится электрон к положительно заряженной пластине за время движения внутри конденсатора (поле считать однородным), если расстояние d

39

между пластинами равно 16 мм, напряжение между ними U=30 В и длина l пластин равна 6 см?

9.9.Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость ν=10 Mм/c, направленную параллельно пластинам. В момент вылета из конденсатора направление скорости электрона составляло угол α=35˚ с первоначальным направлением скорости. Определить разность потенциалов U между пластинами (поле считать однородным), если длина l пластин равна 10 см и расстояние d между ними равно 2 см.

9.10.Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость ν=10 Мм/с, направленную па-

раллельно пластинам, расстояние d между которыми равно 2 см. Длина l каждой пластины равна 10 см. Какую наименьшую разность потенциалов U нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора?

§10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Основные формулы

Плотность тока j, средняя скорость vдр упорядоченного движения (скорость дрейфа) носителей заряда q и их концентрация n связаны соотношени-

где ζ – удельная проводимость проводника; Е – напряженность электрического поля.

Удельная электрическая проводимость является величиной, обратно пропорциональной удельному сопротивлению (ζ=1/ρ), и равна:

nq 2

2mvT ,

где q и т – заряд и масса носителя заряда; п – концентрация носителей заряда; λ – средняя длина их свободного пробега; vT – средняя скорость хаотического (теплового) движения зарядов. Размерность проводимости – См/м (См – сименс).

Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме: w= ζE2,

где w - объемная плотность тепловой мощности.

40

Примеры решения задач

Пример 10. По железному проводнику, диаметр сечения которого d=0,6 мм, течет ток I=16 А. Определить сpeднюю скорость vдр направленного движения электронов, считая, что концентрация n свободных электронов равна концентрации п' атомов проводника.

Решение. В металлическом проводнике носителями заряда являются свободные электроны. Средняя скорость их направленного (упорядоченного) движения, т.е. скорость дрейфа можно определить по формуле:

ка; l – его длина.

Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно вы-

Подставив выражение для l в формулу (1) и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем искомую среднюю скорость направленного движения электронов: