Metod_ukazania_i_Sbornik_zadaniy
.pdf
71
где Q1 – количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя; Q2 – количество теплоты, отданное газом за цикл охладителю; A – работа, совершаемая газом за цикл.
Эта работа на графике в координатах р, V (рис. 20.1) изображается площадью цикла.
Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Q1 на двух участках: Q1-2 на участке 1–2 (изохорический процесс, при котором газ не совершает работы, но его температура повышается вместе с давлением и , следовательно, увеличивается внутренняя энергия) и Q2-3 на участке 2–3 (изотермический процесс, внутренняя энергия не меняется, но газ совершает работу). Таким образом,
Q1 = Q1-2 + Q2-3. |
(2) |
Количество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, в соответствии с первым началом термодинамики равно изменению его внутренней энергии:
Q1 2 cV R(T2 T1 ) , |
(3) |
где сV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; v – количество вещества.
Количество теплоты, полученное газом при изотермическом процессе, равно работе этого процесса:
|
Q2 |
|
RT2 ln |
V2 |
, |
|
(4) |
||
3 |
V |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
где V2 – объем, занимаемый газом при температуре T2 и давлении p1 |
|||||||||
(точка 3 на графике). |
|
|
|
|
|
|
|
||
На изобарическом участке 3–1 |
газ отдает количество теплоты Q2, равное: |
||||||||
Q2 Q3 1 |
cp R(T2 |
T1 ) , |
|
(5) |
|||||
где сp — молярная теплоемкость газа при изобарическом процессе. |
|||||||||
Подставим в формулу (1) найденные значения Q1 |
из уравнения (2) с уче- |
||||||||
том соотношений (3) и (4), а также Q2 из уравнения(5): |
|
|
|||||||
1 |
|
|
c p R (T2 |
T1 ) |
|
|
|
||
c R (T |
T ) |
RT ln(V /V ) . |
|||||||
|
|||||||||
|
V |
2 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
В полученном выражении заменим отношение объемов V2/V1 согласно закону Гей-Люссака отношением температур (V2/V1=T2/T1) и выразим сV и сp через число степеней свободы молекулы:
cV |
i |
R; cp |
i 2 |
R , |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
после сокращения на v и R/2 получим:
1 |
|
(i |
2) (T2 |
T1 ) |
|
|
|
i (T |
T ) 2T ln(T /T ) . |
||||||
|
|||||||
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
||
72
Температуру T1 начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона:
T1 
p1VR1 ,
откуда получим: Т1 = 300 К.
Подставив значения i, ν, T1, T2 и R и произведя вычисления, найдем:
η = 0,041 = 4,1 %.
Пример 20б. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру t1=200°С. Определить температуру Т2 холодильника, если при получении от нагревателя количества теплоты Q1=1 Дж машина совершает работу A=0,4 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.
Решение. Температуру охладителя найдем, используя выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно:
1T2 . T1
Сдругой стороны КПД любого цикла, в том числе и цикла Карно, равен:
A
Q1 ,
т.е. термический КПД тепловой машины выражает отношение произведенной ею механической работы A к количеству теплоты Q1, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя). Решив совместно оба уравнения, найдем:
A T2 T1 1 Q1 .
Учтѐм, что T1=473 К, после подстановки исходных данных получим:
T2=284 К.
Задачи
20.1. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества ν=l моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объем Vmin=10 л, наибольший Vmax=20 л, наименьшее давление pmin=246 кПа, наибольшее pmax=410 кПа. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД η.
20.2. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего. Определить термический КПД η цикла.
73
20.3. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества теплоты Q1, полученного от нагревателя, отдает холодильнику. Температура Т2 холодильника равна 280 К. Определить температуру T1 нагревателя.
20.4.Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T2 холодильника равна 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя повысится от T′1=400 К до Т''2=600 К?
20.5.Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя в три раза выше температуры Т2 холодильника. Нагреватель передал газу количество теплоты Q1=42 кДж. Какую работу А совершил газ?
20.6.Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя равна 470 К, температура Т2 холодильника равна 280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу A=100 Дж. Определить термический КПД η
цикла, а также количество теплоты Q2, которое газ отдает холодильнику при изотермическом сжатии.
20.7.Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя в четыре раза выше температуры Т2 холодильника. Какую долю ω количества теплоты, получаемого за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?
20.8.Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя
количество теплоты Q1=4,2 кДж, совершил работу А=590 Дж. Найти термический КПД η этого цикла. Во сколько раз температура T1 нагревателя больше температуры Т2 холодильника?
20.9. Идеальный газ совершает цикл Карно. Работа |
A1 изотермического |
||
расширения газа равна 5 Дж. Определить работу A2 |
изотермического сжатия, |
||
если термический КПД η цикла равен 0,2. |
|
|
|
20.10. Наименьший объем V1 |
газа, совершающего цикл Карно, равен |
||
153 л. Определить наибольший объем |
V3, если объем |
V2 |
в конце изотермиче- |
ского расширения и объем V4 в конце изотермического сжатия равны соответственно 600 и 189 л.
74
ПРИЛОЖЕНИЯ.
1. Формулы дифференциального и интегрального исчислений
d |
|
(uv) |
v |
du |
|
u |
dv |
||||||||||||||||
dx |
dx |
dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
du |
u |
dv |
|||||||||||
d |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dx |
dx |
||||||||||||||||||||
dx |
|
|
v |
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
d (xm ) |
|
mxm 1 |
|||||||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d (ex ) |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d (ln x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
d (ax ) |
|
ax ln a |
|||||||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d |
|
sin x |
cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
|
cos x |
|
|
|
|
sin x |
||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
|
tgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dx |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
d |
|
ctgx |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
xmdx |
|
1 |
|
xm 1 |
|
|
|
||
|
|
|
||
|
m |
|
1 |
|
dx 1
x2 x
dx
x
ln x
ex dx ex
sin xdx 
cos x
cos xdx sin x
dx |
ln |
|
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln |
tg( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cos x |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||
sin 2 xdx |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
1 |
sin 2x |
|||||||||||
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos2 xdx |
|
|
|
1 |
x |
|
1 |
sin 2x |
||||||||||||||
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
75
2. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований
|
|
Обозначение при- |
|
|
|
|
|
Множи- |
|
ставки |
Множи- |
|
Обозначение |
||
Приставка |
|
|
Приставка |
|
|
||
тель |
|
|
тель |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
Между- |
Русское |
|
Между- |
Русское |
||
|
|
|
|
||||
|
|
народное |
|
|
народное |
||
|
|
|
|
|
|
||
1018 |
экса |
Е |
Э |
10-1 |
деци |
d |
д |
1015 |
пета |
Р |
П |
10-2 |
санти |
c |
с |
1012 |
тера |
Т |
Т |
10-3 |
милли |
m |
м |
109 |
гига |
G |
Г |
10-6 |
микро |
|
мк |
106 |
мега |
М |
М |
10-9 |
Нано |
n |
н |
103 |
кило |
k |
к |
10-12 |
пико |
P |
п |
102 |
гекто |
h |
г |
10-15 |
фемто |
f |
ф |
101 |
дека |
da |
да |
10-18 |
атто |
a |
а |
Примечание. Приставки гекто, дека, деци и санти допускается применять только в наименованиях кратных и дольных единиц, уже получивших широкое распространение (гектар, декалитр, дециметр, сантиметр и др.).
Кроме десятичных кратных и дольных единиц допущены к использованию кратные и дольные единицы времени, плоского угла и относительных величин, не являющихся десятичными. Например, единицы времени (минута, час, сутки), единицы плоского угла (градус, минута, секунда).
ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
3. Некоторые астрономические величины
Радиус Земли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,37·106 м Масса Земли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,98 ·1024 кг Радиус Солнца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,95 ·108 м Масса Солнца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,98·1030 кг Радиус Луны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,74·106 м Масса Луны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7,33·1030 кг
Расстояние от центра Земли до центра Солнца. . . . 1,49·1011 м
То же, до центра Луны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,84·108 м
Период обращения Луны вокруг Земли. . . . . . . . . . 27,3сут = 2,36·106 с
76
4. Плотность 
твердых тел и жидкостей (Мг/м3, или г/см3)
Твердые тела
Алюминий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.70 Висмут. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9,80 Вольфрам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19,3
Железо(чугун, сталь). . . . . . . . . . . 7,87
Золото. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19,3 Каменная соль. . . . . . . . . . . . . . . . . 2,20
Латунь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8,55
Марганец. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7,40
Медь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8,93
Никель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8,80 Платина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21,4 Свинец. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11,3 Серебро. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10,5 Уран. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18,7
Жидкости (при 15 оС)
Вода(дистиллированная при 4°С).. 1,00
Глицерин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,26 Керосин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,8
Масло(оливковое, смазочное). . . . . 0,9 Масло касторовое. . . . . . . . . . . . . . . 0,96
Ртуть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13,6 Сероуглерод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,26 Спирт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,8
Эфир. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,7
5. Плотность 
газов при нормальных условиях (кг/м3)
Азот. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,25 Аргон. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,78 Водород . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,09 Воздух. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,29 Гелий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 0,18 Кислород. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,43
77
6. Диэлектрическая проницаемость
Вода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Масло(трансформаторное) . . . . . . . . . . . 2,2
Парафин. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,0 Слюда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7,0 Стекло. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7,0 Фарфор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,0 Эбонит. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3,0
|
7. Удельное сопротивление |
и температурный коэффициент провод- |
||||
|
|
|
ников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вещество |
|
при 200С, нОм·м |
, 0С-1 |
|
|
|
Железо |
|
98 |
6,2·10-3 |
|
|
|
Медь |
|
17 |
4,2·10-3 |
|
|
|
Алюминий |
|
26 |
3,6·10-3 |
|
|
|
Графит |
|
3,9·103 |
-0,8·10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Работа выхода электронов из металла
Металл |
А, эВ |
А, 10-19, Дж |
Калий |
2,2 |
3,5 |
Литий |
2,3 |
3,7 |
Натрий |
2,5 |
4,0 |
Платина |
6,3 |
10,1 |
Серебро |
4,7 |
7,5 |
Цинк |
4,0 |
6,4 |
|
|
|
78
9. Основные физические постоянные
(округленные с точностью до трех значащих цифр)
Нормальное ускорение свободного падения. . . g = 9,81 м/с2 Гравитационная постоянная . . . . . . . . . . . . . . . . G = 6,67·10-11 м3(кг·с2)
Число Авогадро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NА = 6,02·1023 моль-1
Универсальная газовая постоянная . . . . . . . . . . R= 8,31 Дж/(К·моль) Постоянная Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1,38·10-23 Дж/К
Элементарный заряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . е = 1,60·10-19 Кл
Масса электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . me =9,11·10-31 кг Удельный заряд электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . е/m = 1,76·1011 Кл/кг
Скорость света в вакууме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . с = 3,00·108 м/с Постоянная Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h = 6,63·10-34 Дж·с
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ћ = h/(2 ) = 1,05·10-34 Дж·с
Комптоновская длина волны электрона . . . . . . . C = 2,43·10-12 м