Metod_ukazania_i_Sbornik_zadaniy
.pdf
41
|
|
|
vдр |
|
4I |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
d |
2 N |
|
|
|
|||
|
|
|
|
A |
e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Произведем вычисления по этой формуле: |
|
|||||||||
vдр |
|
4 16 |
56 10 3 |
|
|
|
|
м / с 4,20 мм / с. |
||
3.14 (0.6 10 |
3 )2 6,02 102398 10 |
91,60 10 19 |
||||||||
|
|
|||||||||
Задачи
10.1.Сила тока I в металлическом проводнике равна 0,8 А, сечение S проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом кубическом сантиметре металла содержится n=2,5 .1022 свободных электронов, определить среднюю скорость vдр их упорядоченного движения.
10.2.Определить среднюю скорость vдр упорядоченного движения электронов в медном проводнике при силе тока I=10 А и сечении S проводника, равном 1 мм2. Принять, что на каждый атом меди приходится два электрона проводимости.
10.3.Плотность тока j в алюминиевом проводе равна 1 А/мм2. Найти
среднюю скорость vдр упорядоченного движения электронов, предполагая, что число свободных электронов в 1 см3 алюминия равно числу атомов в этом объеме.
10.4. Плотность тока в медном проводнике j = 3 А/мм2. Найти напряженность Е электрического поля в проводнике.
10.5.В медном проводнике длиной l=2 м и площадью S поперечного сечения, равной 0,4 мм2, идет ток. При этом ежесекундно выделяется количество теплоты Q=0,35 Дж. Сколько электронов N проходит за 1 с через поперечное сечение этого проводника?
10.6.В медном проводнике объемом V=6 см3 при прохождении по нему постоянного тока за время t=1 мин выделилось количество теплоты Q=216 Дж. Вычислить напряженность Е электрического поля в проводнике.
10.7.Металлический проводник движется с ускорением a=100 м/с2. Используя модель свободных электронов, определить напряженность Е электрического поля в проводнике.
10.8. |
Удельная проводимость металла ζ=10 МСм/м. Вычислить сред- |
нюю длину |
λ свободного пробега электронов в металле, если концентрация п |
свободных электронов равна 1028 м-3. Среднюю скорость vT хаотического движения электронов принять равной 1 Мм/с.
10.9. Исходя из модели свободных электронов, определить число z соударений, которые испытывает электрон за время t=1 с, находясь в металле, если концентрация п свободных электронов равна 1029 м-3. Удельную проводимость σ металла принять равной 10 МСм/м.
42
10.10. Определить объемную плотность тепловой мощности w в металлическом проводнике, если плотность тока j=10 А/мм2. Напряженность Е электрического поля в проводнике равна 1 мВ/м.
§ 11. СИЛА ЛОРЕНЦА
Основные формулы
Сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается формулой:
|
|
|
FЛ |
qv |
B , |
или по модулю:
FЛ=|q|vB sin ,
где – угол, образованный вектором скорости движущейся частицы и вектором индукции магнитного поля.
Примеры решения задач
Пример 11а. Электрон, пройдя из состояния покоя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией B=1,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории электрона; 2) частоту п его вращения в магнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.
Решение. 1. Радиус R кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца FЛ. Вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости v и, следовательно, по второму закону Ньютона сообщает электрону нормальное ускорение:
v 2 an R ,
|
evBsin |
m |
v2 |
|
|
т.е. |
|
, |
(1) |
||
R |
|||||
где |
е, v, т – заряд, скорость и масса электрона; |
В – индукция магнитного |
|||
поля; R – радиус кривизны траектории; |
– угол между направлениями векто- |
||||
ров скорости и магнитной индукции (в нашем случае |
= 90°, sin =l). |
||||
Из формулы (1) найдем: |
|
|
|
|
|
43
R |
mv |
|
|
eB . |
(2) |
||
|
Величину скорости определим из кинетической энергии Т электрона, которая была приобретена в результате прохождения им ускоряющей разности потенциалов U:
mv 2
T eU , 2
откуда следует:
v |
2eU |
. |
(3) |
|
|||
|
m |
|
|
Подставляем полученное выражение скорости в уравнение (2) и определяем искомый радиус кривизны:
R |
1 |
|
2mU |
. |
|
|
|
||
B |
|
e |
||
|
|
|
После вычисления по полученной формуле находим: R=45 мм.
2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории:
v
n 2 R .
Подставив в эту формулу R из выражения (2), получаем:
1 eB n 2
m .
Произведя вычисления, находим: n=4,20 107 c-1 .
Пример 11б. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=0,03 Тл по окружности радиусом R=10 см. Определить скорость v электрона.
Решение. Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца. Используя полученное в предыдущем примере 11а выражение (2), можно сразу записать:
v eBR
m
и, проведя вычисления, получить: v=5,27·108 м/с, что противоречит принципу существования предельной скорости движения материальных объектов, которая не может превышать скорости света в вакууме с=3·108 м/с.
Следовательно, мы ошиблись, взяв выражение, для получения которого использовалась формула для кинетической энергии T=mv2/2, которая справедлива лишь для относительно малых скоростей (v<<c). В нашем же случае придѐтся учитывать релятивистские эффекты и использовать соответствующие соотношения.
44
Поэтому начнѐм со второго закона Ньютона, согласно которому при движении частицы по окружности произведение еѐ массы на нормальное ускорение равно, в данном случае, силе Лоренца:
v2
m R evB,
откуда найдем импульс электрона:
р=тv=еВR. (1)
Релятивистский импульс выражается формулой:
|
v2 |
|
|
|
|
||
p mo v 1 |
m0c 1 2 , |
(2) |
|||||
c |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
где m0 – масса покоя электрона, β=v/c – его скорость в долях от скорости света.
Сравнив (1) и (2) и выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения этой скорости:
|
|
eBR/(m0c) |
|
||
|
|
|
|
. |
(3) |
|
|
|
|
||
1 (eBR/(m c))2 |
|||||
0 |
|
|
|
||
Поскольку в числитель и знаменатель полученной формулы |
входит выра- |
||||
жение eВR(т0 с), удобнее вычислить его отдельно:
eВR(т0 с) = 1,76.
Подставив найденное значение отношения в формулу (3), получим окончательно:
= 0,871, или v=с = 2,61·108 м/с.
Таким образом, действительно электрон движется с субсветовой скоростью и является релятивистским.
Задачи
11.1.Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле с индукцией B=0,015 Тл по окружности радиусом R=10 см. Определить импульс р иона.
11.2.Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией B=0,5 Тл. Определить момент импульса L, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее траектория представляла дугу окружности радиусом R=0,2 см.
11.3.Электрон движется в магнитном поле с индукцией B =0,02 Тл по ок-
ружности радиусом R=1 см. Определить кинетическую энергию Т электрона (в джоулях и электрон-вольтах).
11.4. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям индукции в однородное магнитное поле, созданное в среде. В результате взаимодействия с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину своей первоначальной
45
энергии. Во сколько раз будут отличаться радиусы кривизны R траектории начала и конца пути?
11.5. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U=600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B =0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить ее радиус R.
11.6.Заряженная частица, обладающая скоростью v=2 106 м/с, влетела в однородное магнитное поле с индукцией B=0,52 Тл. Найти отношение Q/m заряда частицы к ее массе, если частица в поле описала дугу окружности радиусом R =4 см. По этому отношению определить, какая это частица.
11.7.Заряженная частица с энергией T=1 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R=l мм. Найти силу F, действующую на частицу со стороны поля.
11.8.Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией B=0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции. Определить силу F, действующую на электрон со стороны поля, если радиус R кривизны траектории равен
0,5 см.
11.9.Электрон в однородном магнитном поле с индукцией B=0,1 Тл движется по окружности. Найти силу I эквивалентного кругового тока, создаваемого движением электрона.
11.10.Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией B=0,2 Тл, стал двигаться по окружности радиусом R=5 см. Определить магнитный момент рm эквивалентного кругового тока.
§12. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ
ВМАГНИТНОМ ПОЛЕ (СИЛА АМПЕРА)
Основные формулы
Закон Ампера. Сила, действующая на прямолинейный проводник с током в магнитном поле, равна:
|
|
|
F |
I |
Bl , |
где I – сила тока, В – магнитная индукция поля, l – длина проводника. Модуль вектора силы определяется выражением:
F=IBlsin α,
где α – угол между векторами I и В.
Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l, выражается формулой:
F |
0 I1 I 2 |
l , |
|
2 d |
|||
|
|
где магнитная постоянная μ0=4π·10-7 Гн/м.
46
Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током:
B |
0 I |
, |
|
2 a |
|||
|
где а – расстояние от оси проводника.
Примеры решения задач
Пример 12а. По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.
Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, ко-
торое действует на другой проводник. Предположим, что оба тока I1 |
и I2 текут |
в одном направлении. |
|
Вычислим силу F12, с которой магнитное поле, созданное током |
I1, дейст- |
вует на проводник с током I2. Поскольку по условию задачи (l>>d) проводник
можно приближенно рассматривать как бесконечно |
длинный, то модуль маг- |
|||
нитной индукции можно определить соотношением: |
|
|||
B1 |
|
0 I1 |
. |
(1) |
2 |
|
|||
|
d |
|
||
Согласно закону Ампера, на проводник с током |
I2 длиной l2 действует в |
|||
магнитном поле сила |
|
|
|
|
|
F12=I2 B1 l2 sin α. |
|
||||||
Так как ток I2 перпендикулярен вектору магнитной индукции |
В1 поля, |
|||||||
создаваемого первым током I1, то sin α = 1. Тогда: |
|
|||||||
|
F12=I2 B1 l2. |
|
(2) |
|||||
Подставив в выражение (2) В1 |
из формулы (1) и учитывая, что I1=I2=I, а |
|||||||
l1=l2=l, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
I 2 |
|
|
||
|
F12 |
|
|
l . |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
d |
|
|
|||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
F12 |
4 10 7 |
(103 ) |
2 2,5 |
Н = 2,5 Н |
|
|||
2 |
0,2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
По третьему закону Ньютона, сила F21, действующая на первый проводник со стороны второго, будет равна найденной силе F12 по модулю и противоположна по направлению.
Пример 12б. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B=50 мТл). По проводу течет ток I=10 А.
47
Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.
Решение. Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 12.1) и выделим на нем малый элемент dl с то-
ком. На этот элемент тока будет действовать по закону Ампера сила, равная:
dF I B dl . |
|
|
|
|
y |
dFy |
|
|
Направление этой силы можно оп- |
B |
|
|
|
|
dF |
||
I |
|
|
|
α |
||||
ределить по правилу векторного произ- |
|
|
dl |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
ведения. Модуль силы с учетом того, что |
|
|
R |
dα |
|
|
dFx |
|
угол между направлением тока и на- |
|
|
α |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
правлением магнитной индукции везде |
|
|
|
|
|
|
x |
|
равен 90о, равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF=IBdl . |
(1) |
|
|
Рис. 12.1 |
|
|
|
|
Выберем координатные оси и раз- |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
ложим силу dF на проекции так, |
как это |
|
|
|
|
|
|
|
изображено на рис. 12.1: |
|
|
|
|
|
|
dFx=dFsinα; |
dFy=dFcosα. |
|
||
А поскольку длина бесконечно малого отрезка dl=Rdα, то проекции можно |
|||||
записать с учетом выражения (1) следующим образом: |
|
||||
dFx=IBRsinα dα; |
dFy=IBRcosα dα. |
||||
Определим далее составляющие силы F по осям, т.е. Fx и Fy, используя |
|||||
интегрирование по углу |
α в пределах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. |
||||
12.1): |
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
Fx |
IBR sin d |
IBRcos |
|
/ 2 |
0 . |
|
|||||
|
/ 2 |
||||
/ 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Как видно из рисунка, этот же результат можно получить из соображений симметрии.
Далее:
|
/ 2 |
|
|
Fy |
IBR cos d IBRsin |
|
/ 2 |
|
|||
|
/ 2 |
||
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
2IBR .
Таким образом, сила искомая F направлена вдоль оси у и равна по модулю:
F 2IBR
Произведем вычисления и получим окончательно:
F= 2·10·50·10-3·0,1=0,1 H.
48
Задачи
12.1. Прямой провод, по которому течет ток 1=1 кА, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. С какой силой F действует поле на отрезок провода длиной l=1 м если магнитная индукция В равна 1 Тл?
12.2.Прямой провод длиной l=10 см, по которому течет ток I=20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,01 Тл. Найти угол
αмежду направлениями вектора магнитной индукции и тока, если на провод действует сила F=10 мН.
12.3.Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи I=1 кА. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.
12.4.Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R=15 см, находится в однородном магнитном поле (В=20 мТл). По проводу течет ток I=30 А. Плоскость, в которой лежит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подводящие провода находятся вне поля. Определить силу F, действующую на провод.
12.5.По тонкому проводу в виде кольца радиусом R=20 см течет ток I=100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с индукцией В=20 мТл. Найти силу F, которая растягивает кольцо в каждом его сечении.
12.6.Двухпроводная линия состоит из длинных параллельных прямых проводов, находящихся на расстоянии d=4 мм друг от друга. По проводам текут одинаковые токи I=50 А. Определить силу взаимодействия токов, приходящуюся на единицу длины провода.
12.7.Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной l=2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстоянии d=20 см. Определить силу F взаимного отталкивания, когда по ним течет ток I =10 кА.
12.8.По двум параллельным проводам длиной l=1 м каждый текут одинаковые токи. Расстояние d между проводами равно 1 см. Токи взаимодействуют с силой F=1 мН. Найти силу тока I в проводах.
12.9.По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинако-
вом расстоянии а=8 см |
друг от друга, текут одинаковые по величине токи |
I=50 А. Вычислить силу |
F, действующую на отрезок длиной l=1 м каждого |
провода. |
|
12.10. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии а=10 см друг от друга, текут одинаковые токи I=100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на отрезок длиной l=1 м каждого провода.
49
§ 13. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Основные формулы
Закон Био – Савара – Лапласа: |
|
|
|
|
|
|
|
0 I |
|
|
|||
|
dl |
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dB |
|
|
|
|
|
, |
4 r 2 |
|
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
||
где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом dl проводни- |
||||||
ка с током I; 0 – магнитная постоянная ( |
0 =4 · 10-7 Гн/м); r – радиус-вектор, |
|||||
проведенный от элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.
Модуль вектора dB выражается формулой:
dB |
0 I sin |
dl , |
|
4 r 2 |
|||
|
|
где – угол между векторами dl и r.
Из закона Био – Савара – Лапласа можно получить выражение для величины магнитной индукции поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током в точке, отстоящей на расстоянии r от оси проводника:
B |
|
0 I |
|
|
r . |
||
2 |
|||
Принцип суперпозиции магнитных |
полей: магнитная индукция резуль- |
||
тирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, т. е.
N
BBi .
i1
Вчастном случае наложения двух полей:
B B1 B2 ,
а модуль магнитной индукции
B 
B12 B22 2B1 B2 cos ,
где – угол между векторами В1 и В2.
Примеры решения задач
Пример 13. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении одинаковые токи I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке A, отстоящей от одного проводника на расстоянии r1=5 см и от другого – на расстоянии r2=12 см.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Для нахождения магнит- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||||||||||||||||
ной индукции в указанной точке А (рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
||||||||||||||||||||
13.1) определим направления |
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α |
B1 |
|
|||||||||||||||||||
индукций |
полей, |
создаваемых |
|
|
каждым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||||||||||||||
проводником в отдельности, и сложим их |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α |
r2 |
|
||||||||||||||||||||
геометрически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
B |
B1 |
B2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
d |
I |
||
Модуль индукции найдем по теоре- |
|
|
|
|
|
|
D |
|
C |
|||||||||||||||||||
ме косинусов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.1 |
|
|||
B |
|
B12 |
B22 |
2B1 B2 cos |
. |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Значения индукций B1 и В2 выражаются соответственно через силу тока I |
||||||||||||||||||||||||||||
и расстояния r1 |
и r2 |
от провода до точки А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
0 I |
; |
B2 |
|
|
0 I |
|
. |
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
r |
2 |
|
r |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
Подставляя выражения (2) в формулу (1), получим: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
cos . |
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
r 2 |
|
|
|
r 2 |
|
r r |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычисляем cos
из треугольника со сторонами r1, r2, d. По теореме косинусов запишем:
d 2 r2 |
r2 |
2r r cos |
, |
|||
1 |
2 |
1 2 |
|
|
|
|
где d – расстояние между проводами. Отсюда |
|
|||||
|
|
r 2 |
r 2 |
d 2 |
|
|
cos |
1 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
2r1r2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos = 0,576. Подставив в формулу (3) значения 0, I, r1, r2 и cosα, найдем:
В=286 мкТл.
13.1-13.10. Магнитное поле создаѐтся четырьмя длинными прямыми параллельными проводниками с током, оси которых находятся в вершинах квадрата, лежащего в плоскости, перпендикулярной этим осям (рис. 13.2). Сторона квадрата a = 4 см. Определить величину и направление магнитной индукции в точке 0 (центр квадрата). Величины токов указаны в табл. 13.1. Знаком минус обозначены токи, противоположные по направлению токам, указанным на рисунке.
I1 |
I2 |
a |
0 |
|
|
I4 |
I3 |
|
|
|
Рис.13.2 |