техническая электродинам КПИ (Кривець)

Розв'язок цих рівнянь визначає проекції H та E в будь-який момент часу t. Якщо в рівняннях (6.4-7) – (6.4-10) є взаємно пов’язані пари, то замість чотирьох рівнянь можна розв’язувати лише два.

Скористаємось першим рівнянням Максвелла, яке встановлює зв'язок між векторами напруженості електричного і магнітного полів:

Використаємо форму запису вектора через проекції та скористаємось визначенням операції ротор. Тоді маємо:

Тобто проекція Етх пов’язана з Нту, а Нтх пов’язана Ету. ці пари створюють поперечну хвилю (типу Т).

З’ясуємо, яким чином описують процес поширення електромагнітних хвиль в просторі та вплив на цей процес параметрів середовища.

101

6.5 Особливості поширення однорідних плоских хвиль в різних середовищах

6.5.1 Напівпровідне середовище (діелектрик з втратами)

Задля отримання рівняння, що описує процес поширення електромагнітної хвилі, визначимо розв'язок одного з рівнянь - (6.4-7), відомий з курсу математики:

•

Комплексний коефіцієнт k , який має назву коефіцієнт поширення, запишемо у формі:

В рівняннях (6.5-3) та (6.5-4) перші складові характеризують хвилю, що віддаляється від початку відліку (координат), тобто пряму хвилю або хвилю, що падає. Її амплітуда збільшується

зі збільшенням відстані z за законом e −αz ,тому параметр α має назву – коефіцієнт загасання. Параметр β визначає відставання за фазою залежно від z тому він має назву – коефіцієнт фази.

•

Таким чином, комплексний коефіцієнт k має назву – коефіцієнт поширення електромагнітних хвиль.

Другі складові рівнянь (6.5-3) та (6.5-4) характеризують хвилю, що наближається до початку відліку – тобто це зворотна, або відбита хвиля. Огинаючі таких хвиль наведені на рис.4.5.

Для кращого сприйняття змісту аргументу як функції двох змінних часу t і відстані z розглянемо функцію f = Fm cos(ωt − β z) (за умови, що початкові фази та коефіцієнт загасання

дорівнюють нулю) та побудуємо відповідні залежності, з яких випливає взаємозв’язок функції f від t (рис. 6.3).

Тобто для залежності f від t фаза матиме вигляд βωz ; а для залежності f від z відповідно

ωβt , які відповідно змінюються в просторі та часі.

На рис.6.3а представлена залежність від t функції виду f1 = Fm cosω(t − βωz ) із зсувом фази

102

тригонометричному полі - 2π та за відстанню – довжина хвилі λ.

Рисунок 6.3 Фрагменти залежностей хвильового процесу: а – як функції часу, б – як функції відстані

Повернемося до розв'язків хвильових рівнянь. Аналогічно для (6.4-10) маємо:

Рівняння (6.5-7) є справедливим для будь яких значень z , якщо обидві складові (у дужках) тотожно дорівнюють нулю, тобто із (6.5-7) маємо два рівняння:

взаємозв’язок визначають величиною:

103

яка має одиницю виміру [Ом] та відповідну назву – хвильовий опір, точніше – імпеданс – внаслідок комплексного характеру. З урахуванням (6.4-6а):

Значення модуля характеризує співвідношення амплітуд напруженості електричного та магнітного поля, φ – зсув за фазою між миттєвими значеннями складових Е та Н.

Із (6.5-10) та (6.5-10а) маємо:

Таким чином, хвильові імпеданси для прямої та зворотної хвиль однакові за модулем, але відрізняються за фазою на кут π.

104

Тоді співвідношення (6.5-6) можна записати у вигляді:

Якщо вважати простір, в якому поширюється хвиля однорідним, то зворотної (відбитої, вторинної) хвилі не буде, тобто другий складник (доданок) правої частини (6.5-4), (6.5-6), (6.5-19) відсутній.

Графіки миттєвих значень функцій Ex(t,z) та Hy(t,z) прямої хвилі представлені на рис. 6.4 в момент t1 , коли фаза хвилі в будь-якій точці простору z відстає за фазою від фази в початку

координат на значення β z , амплітуда менша в e−αz раз. В наступний момент t2 фаза хвилі у всіх фіксованих точках зміниться на значення ω(t2 −t1 ) , амплітуда залишиться незмінною, тобто маємо рухому хвилю з вектором Пойнтінга вздовж осі z .

Рисунок 6.4 Залежності Ex1(z) та Hy1(z)

Огинальна змінюється за законом e−αz , тому параметр α має назву коефіцієнт загасання, параметр β характеризує зміну фази залежно від відстані z і має назву коефіцієнт фази.

Хвильове рівняння визначає процес поширення в просторі і часі електромагнітних хвиль, тобто процес, який поширюється з певною швидкістю. Визначимо швидкість поширення хвилі. Для цього розглянемо повну фазу θ на прикладі прямої хвилі в момент t1 на відстані z1. Визначимо момент t2(t2>t1), для якого у точці z2 повна фаза також дорівнює θ, тобто:

105

Визначимо довжину хвилі, що поширюється. Нехай t2 - t1 =T період гармонічної функції. Тоді довжина хвилі

Таким чином, досліджено закономірності, за якими здійснюється поширення електромагнітних хвиль. Визначимо розрахункові формули для коефіцієнтів α і β.

Піднесемо до квадрату вирази (6.4-6а) та (6.5-2)

•

коефіцієнт поширення k =α + jβ , від параметрів середовища ε, μ, σ та частоти коливань ω в

загальному випадку, незалежно від співвідношення між струмом провідності та зміщення. На практиці зазвичай маємо справу з середовищами, в яких або Іпр>>Ізм (провідники), або Іпр<<Ізм (діелектрики). Для цих випадків співвідношення можна спростити без помилок для кінцевого результату.

106

6.5.2 Діелектрики та провідники

В пункті 6.5.1 наведені формули, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в напівпровідному середовищі (діелектрик з втратами). Ознакою діелектрика або провідника є співвідношення між густиною струму провідності та зміщення, або значення тангенса кута втрат tgδ<<1 – діелектрик, α=0; tgδ>1 – провідник.

Величини, що характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних середовищах, для зручності користування зведено в таблицю 6.2.

Таблиця 6.2 Величини, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних середовищах

На підставі співвідношень можна сформулювати такі висновки:

•В діелектричному середовищі хвиля поширюється без втрат, фаза хвильового опору дорівнює нулю;

•В провідному середовищі втрати пропорційні σ , фаза хвильового опору

незмінна, довжина хвилі залежить від параметрів середовища й частоти.

Таким чином, найбільш сприятливим для поширення електромагнітних хвиль є діелектричне середовище. В реальних провідниках електромагнітне поле швидко згасає, що

107

призвело до поширеного поняття “витискання” поля змінного струму до його поверхні, тобто в провіднику має місце, так званий, поверхневий ефект (skin-effect).

6.6 Поверхневий ефект у провідниках

Розглянемо напівобмежений плоский провідник, в якому протікає змінний струм i(t)=Imsinωt (рис. 6.5) та визначимо яким чином розподілене поле в провіднику. Навколо провідника створюється магнітне поле, вектор H скеруємо вздовж осі, тобто H = jH y .

Рисунок 6.5 Процес проникнення електромагнітного поля в провідник

Якщо провідник ідеальний – вектор E скеровано перпендикулярно провіднику. Але в реальному провіднику на будь-якому відрізку провідника різниця потенціалів не дорівнює нулю,

тому має місце складова Ех (рис. 6.5), й фактичний вектор E зорієнтовано із нахилом до верхньої поверхні провідника. Як відомо, вектори E та H зорієнтовані взаємно перпендикулярно. Тому вектор Пойнтінга (5.1-5) П = E × H має складові:

Складова kПz характеризує поле в напрямку осі z, тобто всередину провідника. Амплітуда модуля напруженості електричного поля:

зменшується за експоненціальним законом.

Співвідношення (6.6-2) помножимо на σ й отримаємо вираз для модуля густини струму, модуль якої:

також зменшується за експоненціальним законом. Визначимо відстань, за якої поле зменшується в е раз.

108

Скористаємось співвідношенням:

звідки маємо e−1 = e−αδ , де параметр δ має назву глибина проникнення поля й струму в провідник

(skin depth).

δ= 1 = 2 . (6.6-5)

α ωμσ

З(6.6-5) випливає, що глибина проникнення зменшується із зростанням питомої електропровідності, магнітної проникності та частоти. Магнітна проникність для немагнітних

провідників μ ≈ μ0, частоту визначає реальний процес, тому на значення δ суттєво впливає значення σ.

Ефект загасання поля (й струму) в провіднику має назву поверхневий (skin-effect), який полягає в тому, що струм протікає в деякому поверхневому шарі провідника. Інколи кажуть, що струм “витискується” на поверхню – це не коректно, бо фактично значення сили струму

зменшується в напряму до центру провідника внаслідок загасання. Тому для використання провідників на радіочастотах використовують провідники із нанесенням на їх поверхню найкращого провідника срібла (σr Ag=1.05) або за умови d >>δ, де d – діаметр провідника, або, так званий, літцендрат – багатожильний провідник.

У зв’язку із зменшенням перерізу протікання струму на високих частотах опір провідника збільшується.

Його значення, за умови d >>δ, дорівнює:

109

6.7Висновки

1.На підставі першого та другого рівнянь Максвелла отримано хвильові рівняння, в яких вектори поля пов’язані з простором, часом та величиною, яка визначає швидкість.

2.З метою спрощення розв’язання хвильового рівняння та з урахуванням практичної можливості доцільно вважати фронт хвилі плоским на великій відстані від джерела випромінювання в однорідному середовищі, введено до розгляду однорідні плоскі хвилі.

3.За класифікацією електромагнітних хвиль розрізняють поперечні хвилі типу Т (ТЕМ), повздовжні електричні хвилі типу Е (ТМ), повздовжні магнітні хвилі типу Н (ТЕ).

4.Поширення електромагнітних хвиль обумовлено процесом поляризації: лінійна, колова (правостороння та лівостороння), еліптична.

5.Із розв’язання хвильового рівняння випливає, що існує два процеси – прямий (хвиля, що падає) та зворотній (відбита, вторинна хвиля).

6. Параметр, який характеризує процес поширення хвилі - коефіцієнт поширення

•

k=α + jβ , де α – коефіцієнт загасання, β – коефіцієнт фази.

7.Як випливає з розв’язання хвильового рівняння, між значеннями напруженості електричного та магнітного полів існує взаємозв’язок, визначений величиною, яка має одиницю виміру [Ом], й тому має назву – хвильовий імпеданс (опір) й залежить від

8.Електромагнітні хвилі поширюються в різних середовищах. Ознакою діелектрика або провідника є співвідношення між густиною струму та зміщення, або значення тангенса кута втрат tgδ. Якщо tgδ<<1 – діелектрик, α=>0; tgδ>1 – провідник.

9.В діелектричному середовищі хвиля поширюється без втрат, фаза хвильового опору дорівнює нулю.

10. В провідному середовищі втрати пропорційні σ , фаза хвильового опору незмінна, довжина хвилі залежить від параметрів середовища й частоти.

11.Найбільш сприйнятливим для поширення електромагнітних хвиль є діелектричне середовище.

12.В реальних провідниках в напрямі до центра електромагнітне поле швидко згасає, що призвело до поширеного поняття “витискання” поля змінного струму до його поверхні.

13.Ефект загасання поля (й струму) в провіднику має назву поверхневий (skin-effect), який полягає в тому, що струм протікає в деякому поверхневому шарі кулі на поверхні провідника, тобто значення сили струму в напрямку до центру провідника зменшується.

14.Із виразу δ = 2ωμσ випливає, що глибина проникнення поля у провідник

зменшується із зростанням питомої електропровідності, магнітної проникності та частоти.

15.В зв’язку із зменшенням перерізу протікання струму на високих частотах опір провідника збільшується. Його значення, за умови d >>δ, дорівнює: Rf = πd1δσ .

Далі розглянемо основи випромінювання електромагнітних хвиль.

110