§6.1.4 Гармонические колебания

Общим решением полученных дифференциальных уравнений является выражение вида:

x = Asin(ω₀t+φ₀) или x = Acos(ω₀t+φ₀) (6.17)

Оно определяет смещение осциллятора от положения равновесия х в зависимости от времени t.

Колебания, при которых координаты колеблющегося тела меняются с течением времени по закону синуса (или косинуса), называются гармоническими.

Уравнение (6.17) называется уравнением колебаний гармонического осциллятора.

Рассмотрим входящие в выражение (6.17) величины, которыми характеризуются любые колебательные движения:

• А – амплитуда колебаний (максимальное отклонение гармонического осциллятора от положения равновесия);

• ωt+φ₀ - фаза колебаний (скалярная величина, определяющая состояние колебательной системы в данный момент времени;

• φ₀ - начальная фаза (величина, определяющая состояние колебательной системы в начальный момент времени);

• ω - циклическая, или угловая частота собственных колебаний гармонического осциллятора ( число колебаний за 2π секунд).

Важнейшее свойство гармонических колебаний – их изохронность, т.е. независимость периода от амплитуды и начальной фазы. Именно это свойство позволяет использовать маятники в часах для отсчёта равных промежутков времени.

§ 6.1.5 Методы представления колебаний

Существуют различные методы описания гармонических колебаний. Приведём некоторые из них.

1. Аналитический метод

Задаётся уравнение колебаний гармонического осциллятора

х=Аsin(ωt+φ₀)

по которому и определяется смещение его от положения равновесия в любой момент времени.

2. Графический метод

Строятся график гармонического колебания (рис.6.4) х=Аsin(ωt+φ₀). По оси абсцисс (ОХ) откладывается время t или фаза колебаний ωt+φ₀, по оси ординат (ОУ) – смещение х от положения равновесия.

3. Метод векторной диаграммы

Э тот метод состоит в следующем. Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде А колебания, а направление образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания (рис. 6.5). Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω₀, то проекция конца вектора на ось х будет перемещаться в пределах от +А до -А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону

x = Asin(ω₀t+φ₀), совершая гармоническое колебание.

§ 6.1.6 Скорость и ускорение колеблющейся точки

Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, возьмем производную от смещения колеблющейся точки x = Asin(ω₀t+φ₀) по времени:

(6.18)

где υ_max = Аω₀ — максимальная скорость (амплитуда скорости).

На основании тригонометрических формул преобразуем (4.18):

(6.19)

Сравнивая выражения для смещения и скорости замечаем, что фаза скорости на больше фазы смещения, т.е. скорость опережает по фазе смещение на Продифференцировав (4.18), найдем ускорение:

(6.20)

где а_max = А ω₀² - максимальное ускорение (амплитуда ускорения).

Вместо (6.20) запишем

а = а_max соs [π + (ω₀t+φ₀)] (6.21)

Из сравнения (6.21) и (6.17) следует, что фазы ускорения и смещения различаются на π, т. е. эти величины изменяются в противофазе. Это значит, что при положительном максимальном смещении ускорение максимально, но отрицательно. На рисунке показаны графические зависимости смещения, скорости и ускорения от времени (рис.6.6, а) и их векторные диаграммы (рис.6.6, б) .