§6.3 Вынужденные колебания. Резонанс

Для того, чтобы колебания осциллятора были незатухающими, надо компенсировать потери энергии на преодоления сопротивления среды. Это можно сделать следующим способом. Пусть пружинный маятник с железным грузом находится в поле тяжести электромагнита, по обмотке которого проходит переменный ток (рис):

I = I₀ sin ωt (6.35)

Магнитная сила, действующая на маятник, меняется по тому же закону F_в = F₀ sin ωt. Эта периодически изменяющаяся внешняя сила, действующая на осциллятор, называется вынуждающей силой.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называют вынужденными колебаниями.

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Ускорение, приобретаемое осциллятором, определяется тремя силами, действующими на него: вынуждающей силой, силой сопротивления и возвращающей (квазиупругой) силой:

F_в = F₀ sin ωt (6.36)

F_с = - r υ

F_упр = -kx

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в общем случае имеет вид

(6.37)

разделим на m, сохраняю обозначения предыдущего параграфа и полагая ещё , приводим уравнение к виду

(6.38)

Это и есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Решение этого уравнения состоит из двух слагаемых:

x = A₀е^-δt sin(ωt+φ₀)+А sin(ωt+φ₀) (6.39)

Первое слагаемое – свободные затухающие колебания осциллятора, которые по истечению некоторого времени, называемого временем установления, исчезает, второе слагаемое – вынужденные колебания; А – амплитуда колебаний; ω - частота вынужденных колебаний, совпадающая с частотой вынуждающей силы; φ₀- сдвиг по фазе между фазой вынужденных

к олебаний и фазой вынуждающей силы.

На рисунке показано установление вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания являются гармоническими с частотой равной частоте вынуждающей силы.

Амплитуда А зависит от амплитуды и частоты вынуждающей силы.

(6.40)

Фаза вынужденных колебаний определяется из условия

(6.41)

Знак «- »указывает на то, что вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы при различных δ приведены на рис. При ω → 0 амплитуда стремится к предельной величине, равной смещению осциллятора под действием постоянной силы F₀:

(6.42)

Когда частота вынуждающей силы приближается к частоте собственных колебаний осциллятора, амплитуда колебаний возрастает и при некоторой частоте достигает максимального значения. Это явление называется резонансом. Значение резонансной частоты может быть найдено из условия минимума подкоренного выражения.

Найдём производную подкоренного выражения по ω и приравняем её к нулю:

у = ω₀² - 2 ω₀²ω² + ω⁴ + 4δ²ω²

(у - подкоренное выражение),

Сократив на 4ω, имеем -ω₀² + ω² + 2δ² =0, откуда

(6.43)

Максимальное значение амплитуды при резонансе равно.

(6.44)

Амплитуда будет тем больше, чем меньше δ. При δ → 0, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний осциллятора ω_р = ω₀, амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности:

А_max→ ∞.

Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время. Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы — автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник (или баланс) является колебательной системой, пружина (или поднятая гиря) — источником энергии, а анкер — регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему. Некоторые биологические системы (сердце, легкие) являются автоколебательными.