§ 6.5 Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Рассмотрим осциллятор, изображённый на рисунке. Он представляет собой материальную точку, закреплённую на пружине в центре рамы, такой осциллятор способен совершать два независимых взаимно перпендикулярных гармонических колебания по оси Х и по оси У.

П усть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси ОУ. Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т.е. ω₀₁ = ω₀₂= ω₀ тогда траекторию движения материальной точки в параметрической форме задают следующие уравнения:

Рис. 6.16

х =A₁sinω₀t (6.49 а)

у =A₂sin(ω₀t + φ₀) (6.49 б)

(φ₀ - разность фаз обоих колебаний).

Возбудив одновременно оба колебания. Поскольку смещение х и у являются функцией времени, то и результирующее смещение будет зависеть от времени: тело будет перемещаться в плоскости ХОУ по некоторой траектории, вид которой зависит от соотношения частот и начальных фаз обоих колебаний.

Таким образом, задача о сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний сводится к задаче отыскания траектории движения осциллятора. Чтобы определить траекторию результирующего колебания, нужно из заданных уравнений исключить время. Из уравнения (6.49 а) найдём

тогда (6.50)

Как известно, sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ, тогда уравнение (6.49 б) можно записать в виде

откуда

Возводя это выражение в квадрат, имеем

После приведения подобных членов получим

(6.51)

Уравнение (6.51) представляет собой уравнение эллипса, отнесенного к осям ОХ и ОУ.

Рассмотрим частные случаи, вытекающие из этого уравнения.

• При φ = 0 уравнение (6.51) принимает вид

(6.52)

откуда , т. е. получим уравнение прямой, проходящей через начало координат.

• При φ =±π уравнение (6.51) принимает вид

откуда (6.53)

Результирующее движение и в этом случае представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой.

• При φ = π/2 уравнение (6.51) переходит в уравнение

(6.54)

Это уравнение эллипса (рис. 6.17). При равенстве амплитуд, т. е. А₁= А₂, эллипс превращается в окружность.

Е

Рис. 6.17

сли частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот и разности начальных фаз φ₀₁ - φ₀₂ слагаемых колебаний.

Рис. 6.18

Примеры решения задач

Пример . Складываются два гармонических колебания, описываемых уравнениями , м и ,м. Сложив эти колебания с помощью метода векторных диаграмм, запишите уравнение результирующего колебания. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

Дано: , м; ,м.

Найти: х(t); А; φ.

Решение. Согласно заданным в задаче уравнениям, складываемые гармонические колебания имеют одинаковые циклические частоты (ω₁=ω₂=ω = π с^-1); первое колебание характеризуется амплитудой А₁=0,2м, второе – амплитудой А₂=0,3м. Начальная фаза первого колебания , второго - .

С ложим колебания, воспользовавшись методом векторных диаграмм (см. рисунок). Поскольку векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью ω (равна циклической частоте колебаний), разность фаз (φ₁-φ₂) между ними сохраняется постоянной.

Δφ=φ₂-φ₁= .

Результирующее колебание (см.рисунок)

x=х₁+х₂=Acos(ωt+φ), (1)

где

, (2)

(3)

Вычисляя, получаем А=48,4 см; tgφ=1,11; φ=arctgφ =48º.

Используя полученные данные для А и , уравнение результирующего колебания можно записать в виде:

, см (4)

т.е. сумма двух гармонических колебаний одного направления с одинаковой частотой является гармоническим колебанием (4) с той же частотой и амплитудой и фазой, определяемыми выражениями (2) и (3).

Ответ: ,см; А=48,4см; .

Пример . Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми амплитудами и начальными фазами, равными нулю, мало отличающихся по частоте, описывается уравнением x= Acos2t∙cos48t ( t – в секундах).Определите циклические частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания.

Дано: В₁=В₂=В; φ ₁= φ ₂= 0;. x= Acos2t∙cos48t.

Найти: ω₁; ω ₂; Т _б.

Решение. При сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и близкими частотами

х₁= Вcosω₁t;

х₂= Вcosω₂t,

результирующее колебание х имеет периодически изменяющуюся амплитуду:

. (1)

Учитывая, что результирующее колебание, заданное в задаче, имеет вид

x= Acos2t∙cos48t (2)

из уравнений (1) и (2) найдём

;

Решая два последних уравнения, получим ω₁=50с^-1; ω₂=46с^-1_.

Период биений

Ответ: ω₁=50с^-1; ω ₂=46с^-1; Т _б=1,57с.

Пример . Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x= 0,2sinπt, м и у= -0,1cosπt,м. Определите: 1) уравнение траектории точки, вычертите траекторию движения точки, указав направление её движения; 2) скорость точки в момент времени t =0,2с.

Дано: x= 0,2sinπt, м; и у= -0,1cosπt,м; t=0,2с.

Найти: 1) y(x); 2) υ.

Р ешение. Для нахождения уравнения траектории точки следует из заданных в задаче уравнений исключить время t. Преобразуем уравнения

x= 0,2sinπt (1)

у= -0,1cosπt (2)

к виду

;

Возведя оба уравнения в квадрат и сложив их, получаем

или

- искомое уравнение траектории точки – уравнение эллипса с полуосями А=0,2м и В=0,1 м (см. рисунок).

Чтобы определить направление движения точки, рассмотрим, как изменяется её положение с течением времени. При t=0 координаты точки х(0), у(0) = -0,1м. Далее, например, при t= 0,5с координаты точки х(0,5) =0,2 м,

у(0,5) =0. Следовательно, точка движется по траектории против часовой стрелки (см. рисунок).

Скорость точки при её движении по эллипсу

где и - скорость точки в слагаемых колебаниях. Поскольку складываются взаимно перпендикулярные колебания, то

, (3)

Из формул (1) и (2) получим

(4)

(5)

Подставив выражения (4) и (5) в формулу (3), найдём искомую скорость в момент времени t:

Ответ: 1) ; 2) υ=0,54м/с.

36