Бусыгин

261

µu′(ω) + (1 – µ)u′(ω)ε2′(0) = 0.

Это уравнение описывает касательную к E(ω) в точке (0, 0). Эта касательная имеет наклон

–1 µ– µ. Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат E(ω). Таким образом, если ε2 будет меньше, чем

–1 µ– µε1, то участник заведомо не примет участия в такой лотерее (какова бы ни была ве-

роятность µ).

Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежащие множеству E1(ω), а второй — E2(ω). Если E2(ω) E1(ω) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется бόльшим неприятием риска, чем первый.

ε2

E1(ω)

E2(ω)

ε1

Рисунок 56. Сравнение отношений к риску двух потребителей

Если ни одно из включений E2(ω) E1(ω) и E1(ω) E2(ω) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило.

Заметим, что линейная аппроксимация этих множеств (полуплоскость, задаваемая касательной в нуле) одна и та же и не отражает различие в отношениях к риску. Поэтому следует рассмотреть «аппроксимацию второго порядка».

В предположении, что элементарная функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, продифференцируем выражение (1) по ε1 дважды в точке 0. Получаем

µu′′(ω) + (1 – µ)[u′′(ω)(ε2′(0))2 + u′(ω)ε′′2 (0)] = 0.

С учетом того, что ε2′(0) = – 1 µ– µ, получим

ε′′(0) = – u′′(ω) µ . 2 u′(ω) (1 – µ)2

Мы убедились, что уравнения границ множеств E1(ω) и E2(ω) в первом приближении всегда совпадают, а во втором приближении могут различаться. При этом, если ε′′2 (0) у первого меньше, чем у второго, то в окрестности нуля E2(ω) содержится в E1(ω). (Понятно, что глобально это может не выполняться). Поэтому величину –u′′(ω)/u′(ω) можно рассматривать как локальную меру неприятия риска. Эти рассуждения мотивируют введение следующей характеристики предпочтений потребителя.

Определение

Мерой неприятия риска Эрроу—Пратта называется величина

261

262

u′′(x) r(x) = – u′(x).

При определенных условиях эту меру неприятия риска можно рассматривать и как глобальную меру неприятия риска. В терминах меры Эрроу—Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется бόльшим неприятием риска, у которого мера Эрроу—Пратта всегда больше.

Предложенный Эрроу и Праттом подход — не единственный способ измерить отношение к риску. Выше мы ввели вознаграждение за риск, которую тоже можно рассматривать как меру отношения к риску. Напомним, что величина ∆x(x~) называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора x~, если Ex~– ∆x(x~) является безрисковым эквивалентом x~:

Eu(x~) = u(Ex~– ∆x(x~)).

Также напомним, что для любого рискофоба вознаграждение за риск — величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах вознаграждения за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого вознаграждение за риск всегда больше.

Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску

— «степень вогнутости» элементарной функцией полезности. Можно считать, что u( ) «более вогнута», чем v( ), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G( ) такая, что u(x) = G(v(x)) x, тогда участник с элементарной функцией полезности u( ) характеризуется большим неприятием риска.

Оказывается, что все эти способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение.

Теорема 10 (Теорема Пратта).

Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непрерывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности u1( ) и u2( ), такими что u′i(x) > 0 и u′′i (x) <0 x, i=1, 2.

Следующие три условия эквивалентны:

(i) r1(x) > r2(x) x, где ri( ) — мера неприятия риска Эрроу—Пратта, соответствующая ui( ).

Доказательство:

(i) (ii)

Определим G( ) для любого x принадлежащего области значений функции u2( ) следующим образом:

G(x) = u1(u–21(x)). (Поскольку u2( ) строго монотонна, то она обратима).

262

263

Мы так определили функцию G( ), что

u1(x) = G(u2(x)).

Заметим, что эта функция является дважды непрерывно дифференцируемой и строго монотонно возрастающей. Дважды продифференцируем последнее соотношение:

u1′(x) = G′(u2(x))u2′(x),

u′′1 (x) = G′′(u2(x))u2′(x) + G′(u2(x))u′′2 (x).

Поделив вторую производную на первую, получим

G′′(u2(x)) ′

– r1(x) = – r2(x) + G′(u2(x)) u2(x).

Поскольку r1(x) > r2(x), u2′(x) > 0, G′(u2(x)) > 0, то G′′(y) < 0 y = u2(x), то есть функция G( )

строго вогнута в своей области определения. (ii) (iii)

Пусть функции u1( ) и u2( ) таковы, что u1(x) = G(u2(x)) x. Тогда для «нетривиальной» случайной величины x~ (т.е. и для любой случайной величины с положительной дисперсией):

u1(Ex~– ∆x1(x~)) = Eu1(x~) = EG(u2(x~)) <

<G(Eu2(x~)) = G(u2(Ex~– ∆x2(x~))) = u1(Ex~– ∆x2(x~)).

Вдополнение к соотношению u1(x) = G(u2(x)) мы использовали здесь определение вознаграждения за риск и неравенство Йенсена в строгой форме.

Из монотонности u1( ) следует, что ∆x1(x~) > ∆x2(x~). (iii) (i)

Пусть ε~(t) — семейство случайных величин, принимающих значение t и –t c равными вероятностями. Рассмотрим семейство случайных величин x~(t) = ω+ ε~(t). Обозначим для потребителя с элементарной функцией полезности ui( ) вознаграждение за риск для x~(t) через ∆i(t). Таким образом, верно соотношение

Покажем, что для достаточно малых t величина ∆i(t) пропорциональна мере Эрроу— Пратта, что и докажет соответствующее утверждение.

Поскольку функция ui( ) обратима, то можно получить выражение для вознаграждения за риск в явном виде:

∆i(t) = ω– u–i 1(12 ui(ω+ t) + 12 ui(ω– t)).

Поскольку функция ui( ) дважды непрерывно дифференцируема, то ∆i(t) — тоже дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Заметим, что ∆i(0) = 0 и ∆i′(0) = 0. Первое равенство очевидно. Покажем, что выполняется и второе. Действительно, дифференцируя тождество (3) по t получим

263

264

–u′i( ω– ∆i(t))∆i′(t) = 12 u′i(ω+ t) – 12 u′i(ω– t),

откуда при t = 0

–u′i( ω)∆′i(0) = 0.

Дважды дифференцируя тождество (3) по t получим

∆i(t) = 12 t2 ri(ω) + o(t2).

■

Введенная мера Эрроу—Пратта называется абсолютной мерой Эрроу—Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру Эрроу—Пратта, которая определяется по формуле:

u′′(x)x

– u′(x) .

Относительная мера Эрроу—Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу).

Меры Эрроу—Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, т.к. в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т.д. А к проблемам сравнительной статики сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т.д.

В терминах (абсолютной) меры Эрроу—Пратта можно охарактеризовать спрос на рискованный актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов.

U = Eu(ωr0 + z(r~– r0)) → max α>0.

Мы предполагаем, что решение z(ω) существует ω Ê+ и что Er~> r0, т.е. что решение внутреннее (z(ω) > 0).

Теорема 11.

Если мера Эрроу—Пратта r(x) убывает, то рискованный актив является нормальным благом, т.е. z′(ω) > 0.

Доказательство:

Условие оптимальности портфеля имеет вид

E[u′(x~)(r~–r0)] = 0,

264

265

где x~= ωr0 + z(ω)(r~– r0).

Продифференцируем его по ω:

E[u′′(x~)(r~– r0)(r0 + z′(ω)(r~– r0))] = 0,

По свойствам оператора мат. ожидания

r0E[u′′(x~)(r~– r0)] = – z′(ω)E[u′′(x~)(r~– r0)2],

откуда

E[u′′(x~)(r~–r )] z′(ω)= – r0E[u′′(x~)(r~–r00)2],

Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности u′′(x) < 0 . Покажем, что числитель больше нуля.

Рассмотрим случайную величину r~– r0: она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

u′′(ωr0 + z(ω)(r – r0))(r – r0)

Рассмотрим случай r~= r > r0. Тогда в силу убывания функции r( ) при z > 0 r(ωr0 + z(r – r0)) < r(ω),

Умножив это неравенство на знаменатель и на –(r – r0), получаем: u′′(ωr0 + z(r – r0)) > – r(ω)u′(ωr0 + z(r – r0)),

Легко видеть, что при r~= r < r0 это неравенство тоже верно. Это означает, что верно соотношение

Eu′′(ωr0 + z(ω)(r~– r0)) > – r(ω)Eu′(ωr0 + z(ω)(r~– r0)).

Следовательно, z′(ω)> 0. Другими словами, рискованный актив является нормальным благом.

■

Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая с двумя и более рискованными активами.

Задачи

30.Покажите, что если абсолютная мера Эрроу—Пратта неприятия риска убывает, то u′′′<

0.Покажите, что обратное неверно.

31.Приведите примеры элементарной функции полезности с возрастающей, убывающей и постоянной абсолютной и относительной мерой Эрроу—Пратта.

32.Покажите, что при увеличении объема инвестиций доля инвестиций в рискованный актив (в сумме инвестиций в оптимальный портфель) постоянна (возрастает, убывает), если относительная мера Эрроу—Пратта убывает (возрастает, постоянна).

265

266

33. Покажите, что в первом приближении премия за риск равна r(w)σ2/2,

где r(.) — абсолютная мера Эрроу—Пратта, а σ2 — дисперсия лотереи.

34. Пусть в ситуации с двумя активами, рассмотренной выше, α(R0) — оптимальная доля вложений в рискованный актив как функция доходности безрискового актива. Покажите, что если абсолютная мера Эрроу—Пратта растет (r′(.) > 0) и решение внутреннее (0 <

α(R0) < 1), то dα(R0)>0, т.е. уменьшение доходности безрискового актива приводит к уве- dR0

личению доли вложений в рискованный актив. Указание:

Покажите, продифференцировав условие первого порядка, что

Отсюда следует требуемый результат, поскольку E (u′′(ω~)(R~– R0)) < 0 (вследствие того,

что r′(.) > 0).

35. Предположим, что (в мире с двумя состояниями) имеется один рискованный (с нормой доходности r~) и один не приносящий дохода безрисковый актив. Охарактеризуйте в терминах относительной и абсолютной меры неприятия риска Эрроу—Пратта (эластичности по богатству спроса на рисковый актив) представленные на рисунке возможные структуры оптимальных портфелей при разных уровнях богатства. Линия PP′ представляет совокупность фактических портфелей (при разных уровнях инвестиций в портфель), SS′ (TT′)

— совокупность портфелей при условии, что портфели содержат лишь безрисковые (рисковые) активы. Линии ST (S′T′) представляют совокупность допустимых портфелей при данном уровне инвестиций.

266

36. Докажите, что если у двух участников меры неприятия риска r1( ) и r2( ) таковы, что при всех x выполнено r1(x) <r2(x), то для любого исходного уровня богатства ω выполнено E2(ω) E1(ω). (Заметим, что обратное утверждение фактически доказано в тексте параграфа).

Приложение: модель Марковица82 и CAPM

Рассмотрим интересный частный случай модели инвестора, предположив, что элементарная функция полезности u( ) имеет вид

u( ) = a0 + a1x – a2x2.

(Можно интерпретировать это как квадратичную аппроксимацию первоначальной элементарной функции полезности получаемую разложением в ряд Тейлора вплоть до членов второго порядка в некоторой точке:

u( ) = α0 + α1x + α2x2 + ...)

Предполагается, что здесь a1, a2 > 0. Условие a2 > 0 гарантирует, что инвестор является рискофобом. Условие a1 > 0 гарантирует, что при достаточно малых x элементарная функция полезности имеет положительную производную. Очевидно, что квадратичная функция может быть адекватной аппроксимацией не при всех x, поскольку при x = a1/(2a2) она достигает максимума, а далее убывает (т.е. по сути дела она подразумевает насыщаемость предпочтений инвестора).83

82Markowitz, Harry "Portfolio Selection", The Journal of Finance, 7 (1952). Markowitz, Harry Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (New York, John Wiley & Sons, 1959). Tobin, James "Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk “, Review of Economic Studies, 25 (1958). Tobin, James "The Theory of Portfolio Selection", in F. H. Hahn and F. P. R. Brechling (eds.), The Theory of Interest Rates (London, Macmillan, 1965).

83У квадратичной функции есть и другие серьезные недостатки, вследствие чего модель Марковица нельзя считать вполне адекватной для описания инвестиционного поведения. Однако она вполне оправдана, если считать ее первым приближением с точки зрения моментов распределения. Очевидно, что если учитывать только первые моменты (ожидаемые доходности), то модель станет совсем неадекватной, поскольку не будет учитывать риск (см. об этом, например, в статье Г. Марковица). П. Самуэльсон показал (Paul A. Samuelson. "The Fundamental Approximation Theorem of Portfolio Analysis in terms of Means, Variances and Higher Moments." The Review of Economic Studies, Vol. 37, No. 4. (Oct., 1970), pp. 537-542), что при малом риске, т.е.

в пределе, при стремлении распределения доходностей активов r~k к вырожденному распределению, при

котором r~k принимает значение r0 с вероятностью единица, приближение по двум первым моментам дает верное решение с точки зрения структуры портфеля. Если учесть более высокие моменты, то приближение будет более точным, но анализ модели существенно усложняется.

267

Рисунок 57

При такой элементарной функции полезности ожидаемая полезность случайного дохода x~ равна

U = Eu(x~) = a0 + a1Ex~– a2E(x~2).

Введем обозначения x-= Ex~ (ожидаемый доход) и σ2x = Var x~ (дисперсия дохода). По определению дисперсии

E(x~2) = (Ex~)2 + Var x~= x-2 + σ2x.

В этих обозначениях ожидаемая полезность примет вид

U = a0 + a1x-– a2(x-2 + σ2x).

Таким образом, при квадратичной элементарной функции полезности целевая функция инвестора зависит от двух характеристик распределения его дохода от портфеля: от математического ожидания дохода (среднего дохода) и дисперсии дохода (которую можно считать мерой рискованности). Эта парадигма «среднее-дисперсия» Марковица не только упрощает анализ инвестиционного поведения, но и позволяет давать наглядные геометрические интерпретации различных этапов такого анализа, поскольку каждый портфель в этой ситуации характеризуется всего двумя параметрами.

Удобно, как и выше, перейти от дохода к валовой доходности портфеля, которую обозначим через r~P:

r~P = x~/ω.

Обозначим через -rP ожидаемую доходность портфеля, Er~P, а через σ2P — дисперсию доходности портфеля, Var r~P. Поскольку x~= ωr~P, то, вынося константу ω за операторы мат. ожидания и дисперсии, получим

x-= Ex~= E(ωr~P) = ωEr~P = ω-rP

и

σ2x = Var x~= Var(ωr~P) = ω2 Var r~P = ω2σ2P.

Подставим эти выражения в функцию полезности:

U = a0 + a1ω-rP – a2ω2(r-P2 + σ2P)

или, при введении обозначений b0 = a0, b1 = a1ω, b2 = a2ω2,

U = b0 + b1-rP – b2(r-P2 + σ2P),

Другой случай (помимо квадратичной функции), при котором ожидаемая полезность зависит только от ожидаемой доходности и дисперсии доходности, — это когда доходности активов r~k имеют (многомерное) нормальное распределение. Но нормальное распределение плохо аппроксимирует поведение доходностей реальных финансовых активов.

268

269

Мы можем нормировать эту функцию, применив к ней соответствующее линейное возрастающее преобразование. Окончательно получаем следующую функцию полезности:

U = -rP – γ(r-P2 + σ2P).

Функция зависит от ожидаемой доходности портфеля и дисперсии доходности портфеля. Коэффициент γ отражает степень неприятия риска.

Доходность портфеля очевидным образом связана с доходностями активов:

r~P = Ûαkr~k

k K

или

r~P = αÅr~,

где α= {αk}k — вектор долей активов (структура портфеля), r~ — вектор, составленный из доходностей активов. Таким образом, доходность портфеля — это взвешенное среднее доходностей активов, где в качестве весов выступают доли активов в портфеле.

Обозначим через r- вектор, составленный из ожидаемых доходностей активов -rk = Er~k, а через V — ковариационную матрицу доходностей активов. В этих обозначениях для ожидаемой доходности портфеля выполнено соотношение

-rP = Er~P =E(αÅr~) = αÅE(r~) = αÅr-= Ûαk-rk,

k K

(ожидаемая доходность портфеля — это взвешенное среднее ожидаемых доходностей активов), а для дисперсии доходности портфеля выполнено

σ2P = Var(r~P) =Var(αÅr~) = E[(αÅr~– E(αÅr~))2] =

=E[(αÅr~– αÅr-)2] = E[(αÅ(r~– r-))2] = E[αÅ(r~– r-)(r~– r-)Åα] =

=αÅE[(r~– r-)(r~– r-)Å]α= αÅVα= Û Ûαk1αk2ck1k2.

k1 Kk2 K

Типичным элементом ковариационной матрицы V является ковариация между доходностями пары активов:

ck1k2 = Cov(r~k1, r~k2) = E[(r~k1 – -rk1)(r~k2 – -rk2)].

Ковариационная матрица симметрична и по диагонали ее стоят дисперсии доходностей отдельных активов σ2k = ckk = Var r~k.

[Напомним, что в дискретном случае величины -rk, σ2k и ck1k2 вычисляются по формулам:

-rk = Ûµsrks, s S

σ2k = Ûµs(rks – -rk)2, s S

ck1k2 = Ûµs(rk1s – -rk1)(rk2s – -rk2)). ]

s S

Дисперсию доходности портфеля можно выразить также через корреляции доходностей активов:

σ2P = Û Ûαk1αk2σk1σk2ρk1k2, k1 Kk2 K

269

270

где σk — корень из дисперсии (среднеквадратическое отклонение) доходности k-го актива, ρk1k2 — коэффициент корреляции доходностей активов k1 и k2, определяемый как

ρk1k2 = σckσ1k2 . k1 k2

В конечном итоге задача инвестора в модели Марковица приобретает следующий вид:

U = αÅr-– γ((αÅr-)2 + αÅVα) → max α.

Ûαk <1,

k K

αk >0, k K, k ≠0.

В зависимости от рассматриваемой модели безрисковый актив k = 0 может присутствовать, либо нет в формулировке этой задачи инвестора. Эта задача представляет собой задачу квадратичного программирования, поскольку в нее входят только многочлены второго порядка от долей αk.

В такой упрощенной модели выбора каждый актив характеризуется для инвестора всего двумя параметрами, поэтому задачу инвестирования можно и удобно рассматривать на диаграмме с осями σ, -r (диаграмма риск-доходность). На этой диаграмме каждый актив или портфель активов P можно изобразить точкой (σP, -rP).

Кривые безразличия (линии уровня функции полезности)

-rP – γ(r-P2 + σ2P) = const

представляют собой окружности с центром в точке

(σP, -rP) = (0, 1/2γ).

Мы будем в дальнейшем предполагать, что точка насыщения с доходностью 1/2γ находится выше доходностей всех доступных инвестору активов.

Для этой модели можно доказать ряд утверждений о характеристиках портфелей, характеризующих структуры допустимых и оптимальных портфелей в разных ситуациях (с точки зрения доходностей доступных инвестору активов).

Рассмотрим случай, когда портфель составлен из безрискового актива (k = 0) и одного рискованного актива (первого). Дисперсия доходности такого портфеля равна

σ2P = Var(α0r0 + α1r~1) = Var(α1r~1) = α21 Var(r~1) =α21σ21.

Среднеквадратическое отклонение равно

σP = α1σ1,

т.е. при комбинировании безрискового и рискованного активов среднеквадратичное отклонение портфеля пропорционально среднеквадратичному отклонению рискованного актива, причем коэффициент пропорциональности равен доле вложений в рискованный актив.

Доходность же портфеля, очевидно, равна

rP = α0r0 + α1-r1 = (1 – α1)r0 + α1-r1 = r0 + α1(r-1 – r0).

Таким образом, портфели (σP, -rP), соответствующие различным выпуклым комбинациям этих активов лежат на отрезке с концами в точках (0, r0) и (σ1, -r1). Это множество допустимых портфелей для случая, когда кредит невозможен (т.е. инвестор не может выбрать α0 > 0). Если кредит доступен, то возможные комбинации лежат на луче, выходящем из

270