Бусыгин

321

∂u/∂x1 <p1 + t ∂u/∂x2 p2

и

1′>p1. f p2

В граничном оптимуме

∂u/∂x < 1 ∂u/∂x1 f′.

2

Таким образом, граничное равновесие может быть как оптимальным, так и нет (см. Рис. 79

и 80).

x2

ω x-

B′

I

B

P

x1

Рисунок 79. Неоптимальное граничное равновесие

x2

Рисунок 80. Оптимальное граничное равновесие

Заметим, что использование налога на заработную плату (на продажу 2-го блага) не меняет анализ, поскольку ситуация с налогами на заработную плату и на покупку остальных благ (в нашем примере на 1-е благо) сводится к ситуации с налогами на покупку и с субсидированием экзогенных для потребителя «нетрудовых» доходов (трансфертов S и прибыли π). Действительно, пусть ставка налога на покупку 1-го блага, как и выше, равна t, а ставка налога на заработную плату — s. Тогда бюджетное ограничение имеет вид

(p1 + t)x1 + (p2 – s)(x2 – ω) <S + π.

Умножив это на p2/(p2 – s), получим

(p1 + t′)x1 + p2(x2 – ω) <S′+ π′,

где

321

Как налог на покупку t, так и налог на заработную плату s искажают соотношение цен, причем в одном и том же направлении. Таким образом, и при использовании налога на заработную плату внутреннее равновесие неоптимально.

Задачи

2.Рассмотрите внутреннее равновесие с налогами на покупку благ в экономике обмена с трансфертами с двумя благами, m потребителями (m > 2) и дифференцируемыми функциями полезности. Обе цены и все налоги положительны. Пусть в этом равновесии один из потребителей получает положительный трансферт, покупает первое благо и продает второе, а другой потребитель получает положительный трансферт, покупает второе благо и продает первое. Может ли в такой ситуации равновесие быть оптимальным по Парето? Объясните.

3.Рассмотрите внутреннее равновесие с налогами на покупку благ в экономике обмена с трансфертами с двумя благами, m потребителями (m > 2) и дифференцируемыми функциями полезности. Обе цены и все налоги положительны. Пусть в этом равновесии один из потребителей получает положительный трансферт, покупает первое благо и продает второе, а другой потребитель получает отрицательный трансферт и продает оба блага. Может ли в такой ситуации равновесие быть оптимальным по Парето? Объясните.

4.Рассмотрите внутреннее равновесие с налогами на покупку благ в экономике обмена с трансфертами с двумя благами, m потребителями (m > 2) и дифференцируемыми функциями полезности. Обе цены и все налоги положительны. Пусть в этом равновесии один из потребителей получает положительный трансферт и покупает оба блага, а другой потребитель получает отрицательный трансферт и продает оба блага. Может ли в такой ситуации равновесие быть оптимальным по Парето? Объясните.

5.Рассмотрите внутреннее равновесие с налогами на покупку благ в экономике обмена с трансфертами с двумя благами, m потребителями (m > 2) и дифференцируемыми функциями полезности. Обе цены и все налоги положительны. Пусть в этом равновесии один из потребителей получает положительный трансферт и покупает оба блага, а другой потребитель получает отрицательный трансферт, продает первое благо и покупает второе. Может ли в такой ситуации равновесие быть оптимальным по Парето? Объясните.

Оптимум второго ранга. Налог Рамсея104

Предположим, что для неких целей государству требуется собрать определенную сумму налогов. Например, это может быть требование собрать столько налогов, чтобы на эту

104 См. F. P. Ramsey, “A Contribution to the Theory of Taxation,” The Economic Journal, 37 (1927), 47-61. Хотя в статье Ф. Рамсея это не оговаривается в явном виде, но речь там фактически идет о квазилинейной экономике. В этом параграфе анализ проводится на той же модели, но при упрощающем предположении о сепарабельности функции полезности и функции издержек (т.е. в терминологии Рамсея в предположении, что «товары независимы»).

322

323

сумму можно было приобрести некоторый заданный набор благ105. Коль скоро Паретооптимум в равновесии с налогами недостижим, то естественно поставить задачу уменьшить в каком-то смысле «бремя», связанное с налогами.

Обычные Парето-оптимальные состояния определяются на множестве всех (физически) допустимых состояний экономики. Поскольку при ограничении на сумму собранных налогов не все допустимые состояния могут быть реализованы как равновесие с налогами, то естественно рассматривать только состояния, которые могут быть реализованы как такое равновесие, и изменить соответствующим образом понятие оптимальности.

Обычный Парето-оптимум принято называть оптимумом первого ранга, а Парето-оптимум, который определяется на множестве всех тех состояний, которые могут быть реализованы с помощью равновесий из определенного класса — оптимумом второго ранга.

Определение 2.

Оптимум второго ранга — это такое состояние экономики из заданного множества состояний, для которого не существует другого состояния экономики из того же множества состояний, которое доминировало бы его по Парето.

Таким образом, можно сформулировать следующую задачу оптимального налогообложения: подобрать такие налоги, чтобы равновесие с этими налогами являлось оптимумом второго ранга при некотором заданном ограничении на сумму налогов.

Рассмотрим квазилинейную сепарабельную экономику.

Нам достаточно рассмотреть одного репрезентативного потребителя с функцией полезности

u(x, z) = v(x) + z = Ûvk(xk) + z

k K

и одного репрезентативного производителя с функцией издержек

c(y) = Ûck(yk).

k K

Предполагаем, что запасы обычных благ равны нулю, поэтому материальные балансы для них имеют вид:

xk = yk.

Если в эту экономику вводятся налоги с единицы товара (unit taxes) на все блага, кроме последнего (по которому квазилинейна функция полезности)106, то на каждом рынке существует две цены — цена производителя (pLk ) и цена потребителя (pHk ), которые связаны между собой соотношением

pHk = pLk + tk.

Из задачи потребителя получаем, что в равновесии (внутреннем в смысле xk > 0) выполнено условие первого порядка

pHk = vk′(xk).

105Как известно, в модели общего равновесия цены определены с только точностью до положительного множителя, поэтому не имеет смысла рассматривать чисто номинальное задание по сбору налогов. Необходимо каким-то образом связать денежную сумму с реальными величинами.

106Это благо в теории оптимального налогообложения обычно интерпретируется как время потребителя, которое он может делить между досугом и трудом.

323

324

Аналогично для репрезентативного производителя

pLk = ck′(yk).

Таким образом, дифференциальная характеристика равновесия с налогами в рассматриваемой квазилинейной сепарабельной экономике имеет вид

vk′(xk) = ck′(yk) + tk.

Задача оптимального налогообложения состоит в том, чтобы собрать с рынков обычных благ определенную сумму налогов таким образом, чтобы благосостояние было максимальным, где благосостояние измеряется функцией (индикатором благосостояния)

W = v(x) – c(y).

Эквивалентная формулировка состоит в том, чтобы минимизировать чистые потери от налогов

DL = W^ – W,

где W^ — максимально возможный уровень благосостояния, достигаемый в Паретооптимуме.

Из сепарабельности следует, что общие чистые потери есть сумма чистых потерь по отдельным рынкам. Это означает (графически), что мы должны минимизировать сумму «заштрихованных треугольников», измеряющих чистые потери на отдельных рынках.

Рисунок 81. Чистые потери благосостояния на рынке k-го блага

Таким образом, ставится задача нахождения оптимума второго ранга путем выбора налоговых ставок tk, максимизирующих благосостояние при следующих ограничениях:

1)Состояние экономики должно быть равновесием с налогами.

2)Сбор налогов не должен быть меньше заданной величины R.

(Можно, наоборот, рассматривать максимизацию сбора налогов при ограничении на величину потерь благосостояния).

В результате приходим к следующей задаче

W = Ûvk(xk) – Ûck(xk) →max xk,tk

324

325

Приравняем производные к нулю:

∂∂xL = vk′(xk) – ck′(xk) + λtk + σk (v″k(xk) – c″k(xk)) = 0,

k

∂L = λxk – σk = 0.

∂tk

Отсюда, учитывая, что vk′(xk) – ck′(xk) = tk, и исключая множители Лагранжа σk получаем, что искомое состояние должно описываться соотношением

tk + λtk + λxk (v″k(xk) – c″k(xk)) = 0,

или

tk = 1λ+ λxk (–v″k(xk) + c″k(xk)),

Учтем, что vk′( ) — обратная функция спроса, а ck′( ) — обратная функция предложения. Это позволяет записать формулу через эластичности спроса и предложения:

Кроме того, поскольку мы рассматриваем состояние равновесия с налогами, то можно заменить vk′(xk) на pHk и ck′(xk) на pLk .

Окончательно, получаем формулу (формулу Рамсея)

Подставив в эту формулу pHk = pLk + tk, выразим из нее tk и разделим на pLk :

При малой величине собираемых налогов, R, множитель Лагранжа, λ, мал. Действительно, можно доказать, что при R = 0 множитель Лагранжа λ равен нулю. Пусть это не так и λ> 0. Воспользуемся тем, что

tk = 1 +λλxk (–v″k(xk) + c″k(xk)).

При λ> 0 из условий Куна-Таккера ограничение на сбор налогов должно выполняться как

равенство, т.е. Ûtkxk = R = 0. Подставим в это ограничение tk:

k

1+λλkÛKx2k (–v″k(xk) + c″k(xk)) = 0.

Впредположении убывающей предельной полезности и убывающей отдачи от масштаба выражение слева должно быть положительным. Мы пришли к противоречию. Значит, при

R = 0 множитель Лагранжа λ должен быть равен нулю. При этом все ставки налогов долж-

325

326

ны быть нулевые. (Этим мы попутно доказали, что перераспределение между рынками с помощью налогов, т.е. субсидирование одних рынков за счет других, неэффективно.)

В первом приближении при R близком к нулю мы можем записать

tk ≈λxk (–v″k(xk) + c″k(xk)),

кроме того, дифференцируя условия равновесия, получаем

dtk = dxk (–v″k(xk) + c″k(xk)),

При малых налогах (dtk ≈tk) из этого следует, что

dxk ≈λ. xk

Таким образом, в первом приближении оптимальные налоги снижают объемы потребления (и производства) всех благ в равной пропорции.

Кроме того, малые оптимальные налоги (налоги при R близком к нулю) можно выразить через эластичности спроса и предложения в равновесии без налогов:

Таким образом, правило оптимального налогообложения Рамсея заключается в том, что от-

носительные ставки налогов должны быть (в первом приближении) пропорциональны сумме обратных эластичностей спроса и предложения на соответствующих рынках:

Существенным ограничением данного правила является то, что предполагается независимость рынков (формально — сепарабельность). Если отказаться от этого предположения, то в формуле появятся перекрестные эластичности.

Другое существенное предположение изложенной модели — квазилинейность предпочтений. Различные правила налогообложения Рамсея получаются в рамках модели общего равновесия и при других упрощающих предположениях. В следующем параграфе мы рассмотрим одну из таких моделей.

Задачи

6. Рассмотрите экономику обмена с двумя видами благ (x и y) и двумя потребителями (1 и 2), где каждый потребитель имеет функцию полезности ui = ln(xi) + ln(yi) и начальные запасы ωi = (ωix, ωiy). Государство собирает адвалорный налог на продажу благ. Цель государства состоит в том, чтобы на собранные средства приобрести по рыночным ценам благо x в количестве x0 и благо y в количестве y0. Предполагаем, что с собственных закупок государство налог не взимает.

(А) Всегда ли государство может добиться своей цели?

(В) Может ли случиться так, что равновесие с налогами будет Парето-оптимальным (Па- рето-оптимальным с учетом того, что государство должно получить x0 и y0 благ x и y)?

7. Рассмотрим экономику обмена с двумя потребителями и двумя благами (A и B). Функции полезности потребителей: u1=2lna1+b1 u2=lna2+b2, где ai — потребление блага A, а bi — потребление блага B i-м потребителем. Начальные запасы благ: ω1=(2; 3), ω2=(3; 2). Вводится натуральный налог на потребление блага A, так что i-й потребитель потребляет по-

326

327

сле уплаты налога ai(1 – τi) блага A, где τi — ставка налога. Соответственно. государство собирает в форме налога a1τ1+a2τ2 блага A.

(А) Найти равновесие, которое возникнет после введения налога (ai, bi и отношение цен pA/pB).

(В) Найти Парето-оптимум, учитывая, что заданное количество (a0) блага A должно уйти государству. При каком распределении налога равновесие будет Парето-оптимальным?

8. В квазилинейной экономике есть 2 потребителя с функциями полезности

u1 = x1 + z1, u2 = x2 + z2

и предприятие с функцией издержек c(y) = 2y.

(A)Вводится адвалорный налог на потребление 1-го блага со ставкой τ. Найдите конкурентное равновесие в экономике (p, x1, x2, y) как функцию величины τ.

(B)Пользуясь результатами пункта (A), найдите чистые потери благосостояния от налога при ставке τ= 1, (т.е. 100%).

9. В экономике производится один предмет потребления, y, спрос на который образуется в результате максимизации следующей функции полезности репрезентативного потребителя: u(y, x) = 2 y + 1 + x , где x — потребление свободного времени. Потребитель владеет единичным запасом времени, который он распределяет между рабочим временем L и свободным временем x. Рабочее время предлагается единственной фирме, которая производит y по технологии y = ln(2L) + 3. Вычислите чистые потери от введения 50%-го налога на продажу предмета потребления (продажная цена производителя равна половине цены, которую платит покупатель). Заработную плату примите за 1.

10. Рассмотрите модель оптимального налогообложения Рамсея в ситуации двух независимых рынков. На первом рынке спрос равен D = 10 – p, а предложение равно S = 1 + p. На втором рынке спрос равен D = 10 – p/2, а предложение равно S = 1 + p/2.

(А) Запишите условия первого порядка для оптимальных налогов (не исключая множитель Лагранжа)

(В) Во сколько раз отличается налог на одном рынке от налога на другом.

11. В ситуации частного конкурентного равновесия государству требуется собрать налоги общей величины R с n независимых рынков. Оно использует налог с единицы товара со ставкой ti (i = 1, ..., n). Функции спроса и предложения линейны: Si =ai + bi p и Di =ci – di p. Задача состоит в том, чтобы распределить налоги по рынкам так, чтобы общие потери благосостояния были минимальными.

Как ставка налога на данном рынке зависит от наклона кривых спроса и предложения? (Подсказка: не следует исключать из соответствующих условий первого порядка множитель Лагранжа).

12. Задача Рамсея выбора ставок налогов состоит в том, чтобы при сохранении величины налоговых сборов ...

а) минимизировать чистые потери,

327

328

б) минимизировать потери потребителя, в) максимизировать объем продаж, в) максимизировать прибыль.

Ее решение предписывает установить большие ставки налогов в тех отраслях (допишите)

... ... ... ... ...

13. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Пусть эластичность спроса в точке равновесия |ε| = 3, предельные издержки у всех производителей постоянны и одинаковы и правительство устанавливает налог в размере $6 с единицы товара. Если спрос — линейная функция, то насколько поднимется цена? А в случае спроса с постоянной эластичностью |ε| = 3?

14.Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 – p, предложение имеет вид S = 3 + p. На этом рынке вводится налог на потребление в размере 50% цены. Найдите чистые потери благосостояния от введения налога.

15.Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 – p, предложение бесконечно эластично. На этом рынке вводится налог в размере 2 ед. на единицу товара. Найдите потери потребителей от введения налога, если до введения налога объем торговли на рынке был равен 4 ед.

Правило оптимального налогообложения для «малых» потребителей

Пусть в экономике имеется большое число потребителей, предпочтения которых задаются строго вогнутыми функциями полезности ui(xi). Предположим, что последнее (l-е) благо — это время потребителя, так что xil — это досуг потребителя, а ωi – xil — предложение труда, где ωi — запас времени потребителя. Допустимые потребительские наборы задаются ограничениями xik >0, k и xil <ωi.

Потребители могут получать доход от продажи труда, а также из прибылей принадлежащих им фирм и от государства в виде трансфертов. Не специфицируя остальную часть экономики (производство, поведение государства), охарактеризуем внутреннее равновесие с индивидуальными налогами ti на покупку благ потребителями, являющееся оптимумом второго ранга. Пусть при данной системе налогов t = {ti} равновесные цены равны

p(t).

Будем предполагать, что каждый потребитель мал в том смысле, что влиянием величины его индивидуальных налогов ti на равновесные цены p(t) можно пренебречь. Это предположение позволяет вывести условия оптимальности налогов t на основе анализа отдельного потребителя при фиксированных рыночных ценах p и фиксированной величине суммы налогов, выплачиваемой этим потребителем107.

107 Эта модель впервые была проанализирована Полом Самуэльсоном в 1951 г. в его докладе Министерству финансов США (перепечатан в Samuelson, P. A. “Theory of Optimal Taxation,” Journal of Public Economics, 30

(1986), 137-143). В литературе по оптимальному налогообложению полученные Самуэльсоном результаты принято называть «правилом Рамсея». При изложении модели обычно делается предположение, что все потребители одинаковы, хотя, как очевидно из нашего анализа, важна только неизменность цен. Анализ Самуэльсона был распространен на случай экономики с производством и меняющимися ценами в статье

328

329

Напомним, что в модели с налогами на покупку благ бюджетное ограничение потребителя i имеет вид (если есть доходы от фирм, то они добавляются к Si)

Û(pk + tik)[xik – ωik]+ + pk[xik – ωik]–) <Si,

k K

Предположим, что потребитель продает труд (l-е благо). Поскольку все блага, кроме l-го, покупаются на рынке, то они облагаются налогами. Труд, соответственно, не облагается налогом. Бюджетное ограничение в данном случае записывается в виде

Û(pk + tik)xik + plxil = Û(pk + tik)xik <plωi + Si.

т.е. оно имеет такой же вид, как и с налогами на потребление, с тем исключением, что ставка налога на досуг равна нулю. В дальнейшем мы абстрагируемся от того, что рассматривается налог на покупки, и будем действовать так, как если бы это был налог на потребление.

Прежде, чем анализировать этот случай, рассмотрим гипотетическую ситуацию, в которой можно устанавливать налоги на потребление всех благ, включая досуг.

Рассмотрим задачу максимизации полезности потребителя при дополнительных ограничениях, что потребительский набор представляет собой спрос потребителя при данных ставках налогов (xi = x-i(ti)), и что требуется собрать фиксированную сумму налогов Ri (она равна фактически собираемому в равновесии налоговому доходу). Если налоги оптимальны, то они являются решением указанной задачи. В противном случае на основе решения данной задачи можно построить Парето-улучшение для экономики в целом (в смысле оптимума второго ранга).

Выпишем эту задачу формально, опуская для упрощения записи индекс потребителя:

где x-(t) является решением задачи потребителя при ценах p и налогах t:

u(x) →max x

(p+ t)x<β= plω+ Si.

Функция x-(t) связана с обычной функцией потребительского спроса соотношением x-(t) = x(p+ t, β).

Условия первого порядка для внутреннего решения задачи потребителя имеют вид

или, в векторных обозначениях,

u(x-(t)) = ν(p+ t),

где ν — множитель Лагранжа бюджетного ограничения.

В равновесии бюджетное ограничение выполняется как равенство, т.е. x-(t) удовлетворяет тождеству

Diamond, P. A. and J. A. Mirrlees, “Optimal taxation and public production I: Production efficiency and II: Tax rules,” American Economic Review, 61 (1971), 8-27 and 261-278.

329

330

l

(p+ t)x-(t) = Û(ps + ts)x-s(t) = β.

s=1

Дифференцируя это тождество по tk, получим соотношение

Подставляя условия первого порядка, получим соотношение, которое характеризует изменение полезности потребителя при малом изменении ставки налога на k–е благо:

Подставляя полученные выше характеристики решения задачи потребителя, преобразуем эти условия к виду:

Запишем эти соотношения в матричном виде:

x-(t) u = λ x-(t)p,

где x-(t) — матрица частных производных {∂x-s/∂tk}. Если это невырожденная матрица, то можно записать условия оптимальности налогов как

u = λp.

Поскольку

u = ν(p+ t),

то

λp= ν(p+ t)

или

t= λν– νp.

Таким образом, оптимальные налоги на потребление должны быть униформными. Этот вывод совпадает с полученным выше в посвященном таким налогам параграфе.

Пусть теперь tl = 0. Ясно, что с этим ограничением (при «гладкой» функции полезности) налоги не могут быть оптимальными, поскольку не являются униформными. Этот факт иллюстрирует Рис. 82.

330