Бусыгин

411

Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля

Ранее в этой главе были выведены дифференциальные характеристики Парето-опти- мальных состояний экономики. Можно ли, по аналогии с экономиками без общественных благ, реализовать эти состояния экономики как рыночные равновесия, установив тем самым вариант второй теоремы благосостояния для таких экономик?

Покажем, что это возможно сделать, модифицировав должным образом понятие равновесия138. Сравнение дифференциальных характеристик Парето-оптимальных состояний экономик с общественными благами и классических экономик указывает направление такой модификации. Так, уравнения Самуэльсона, связывающие предельные нормы замещения общественного на частное благо в потреблении и производстве, не влекут за собой равенство предельных норм замещения общественного блага на частное для всех потребителей: в общем случае в Парето-оптимальных состояниях эти предельные нормы замещения могут быть разными. А поскольку в рыночном равновесии отношение предельных норм замещения благ равны отношению их цен, то возможная модификация рыночного равновесия состоит в отказе от единой цены для общественных благ и введении индивидуализированных цен таких благ.

Другими словами, будем считать, что каждый потребитель сталкивается с индивидуализированной ценой общественного блага, qik, (k K1). Далее, уравнение Самуэльсона подсказывает, что сумма индивидуализированных цен должна равняться цене, с которой сталкиваются производители общественного блага, т.е.

Ûqik = pk, k K1.

i I

Такое равновесие с индивидуализированными ценами общественных благ называют рав-

новесием Линдаля.

Приведем точную формулировку модели Линдаля. Задача потребителя в модели Линдаля имеет вид139

ui(xi) →max xi

Определение 4.

Назовем (p-, q-, x-, y-) равновесием (псевдоравновесием) Линдаля140, если

138Заметим, что аналогичное исследование мы провели в общем случае экстерналий. Здесь мы его конкретизируем для частного случая рассматриваемых в этой главе — общественных благ.

139В случае частных благ все потребители сталкиваются с одинаковыми ценами и выбирают разные наборы, в случае общественных благ все наоборот: потребители сталкиваются с разными ценами и потребляют оди-

наковые наборы.

140Lindahl, Erik, Die Gerechtigkeit der Besteuerung, диссертация, университет Лунда, 1919, ч. I, гл. 4, "Positiv Lösung" (англ. пер. Lindahl, E. "Just Taxation — a Positive Solution" in R.Musgrave and A.Peacock (eds.),

Classics in the Theory of Public Finance. London: Macmillan, 1958). Эрик Линдаль, развивая идеи Кнута Вик-

селя, предложил концепцию решения проблемы финансирования общественных благ, которую ниже мы называем равновесием при консенсусе. Более поздние исследователи назвали рассматриваемое в этой главе

411

412

#(x-, y-) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

#каждый набор x-i является решением соответствующей задачи потребителя (25) при ценах p-, и индивидуализированных ценах общественных благ {q-ik}k K2 и доходах;

βi = p-ωi + Ûγij p-y-j + Si

j J

#технология y-j является решением задачи производителя (26) при ценах p-;

#сумма индивидуализированных цен общественного блага равна цене производителя:

Û-qik = -pk k K1.

i I

В равновесии Линдаля достигается консенсус в том смысле, что каждый потребитель при равновесных ценах предъявляет спрос именно на существующий (произведенный) объем общественного блага:

x-ik = x-k = Ûy-jk, i, k K1.

j J

Для случая дифференцируемых функций мы можем убедиться в совпадении дифференциальных характеристик внутренних Парето-оптимальных состояний и внутренних равновесий Линдаля.

Действительно, при сделанных ранее предположениях дифференциальная характеристика решения задачи потребителя (25) имеет вид:

∂∂ui/∂∂xk = qik, i, k K1, ui/ xik0 pk0

∂ui/∂xik = pk , i, k K2. ∂ui/∂xik0 pk0

где k0 K1 — частное благо, такое что pk0 ≠0.

Аналогично, дифференциальная характеристика решения задачи производителя (26) имеет вид:

∂gj/∂yjk = pk , j, k K. ∂gj/∂yjk0 pk0

Учитывая, что для общественных благ Ûi qik = pk, исключим из этих характеристик цены и получим уравнения, совпадающие с полученной ранее дифференциальной характеристикой оптимума.

Совпадение дифференциальных характеристик равновесия и Парето-оптимума при дополнительных предположениях вогнутости функций полезности и производственных функций гарантирует справедливость первой и второй теорем благосостояния для данного варианта экономик с общественными благами.

Равновесие Линдаля иллюстрирует Рис. 90 («диаграмма Кольма»). На рисунке изображена экономика с двумя благами, общественным (k = 1) и частным (k = 2), и двумя потребителями, в которой технология позволяет производить из единицы частного блага единицу об-

конкурентное псевдоравновесие «равновесием Линдаля», поскольку между двумя равновесными концеп-

циями существует близкая связь (см. напр. D. K. Foley, "Lindahl’s Solution and the Core of an Economy with Public Goods," Econometrica, 38 (1970), 66-72).

412

413

щественного. Точки A, B и C соответствуют суммарным начальным запасам частного блага, ωΣ2 = ω12 + ω22, отложенным по осям x1, x12 и x22 соответственно. Они задают симплекс ABC допустимых состояний экономики. Две дуги, показанные пунктиром, — это кривые безразличия потребителей в равновесии Линдаля в соответствующих системах координат. Их касаются бюджетные прямые потребителей, показанные штрихпунктирными линиями. Все эти линии из систем координат потребителей 1 и 2 проецируются на плоскость ABC параллельно осям x22 и x12 соответственно. Проекции двух бюджетных прямых совпадают — это прямая, проходящая через точку начальных запасов ω и через точку x- равновесия Линдаля. В точке x- две проекции кривых безразличия касаются друг друга (показаны сплошной линией). Касание проекций кривых безразличия говорит о Парето-оптимальности равновесия Линдаля.

x1

A

x-

Рисунок 90. Иллюстрация равновесия Линдаля

Рассмотрим равновесие Линдаля в частном случае квазилинейной экономики. При индивидуализированной цене qi общественного блага спрос каждого потребителя на это благо есть решение следующей задачи:

vi(xi) – qixi →max xi>0.

В случае, если ее решение — внутреннее (xi > 0), выполнено следующее условие первого порядка

qi = v′i(xi).

Задача производителя имеет следующий вид:

py – c(y) → max y >0

Если ее решение внутреннее (y > 0), то выполнено следующее условие первого порядка

c′(y) = p.

В равновесии (p-, {q-i}i, {x-, -zi}i, {y-, -r}) x- является решением задачи потребителя при цене -qi, -y — решением задачи производителя при цене -p, причем x-= -y и цены связаны соотношением -p = Ûi -qi. Равенство спроса и предложения на рынке первого блага автоматически гарантирует, по закону Вальраса, равновесие на рынке второго (частного) блага.

Таким образом, в равновесии имеет место соотношение

Ûv′i(x-) = -p = Û-qi = c′(y-).

т.е. выполняется дифференциальная характеристика Парето оптимума.

413

414

С другой стороны, любое допустимое состояние экономики ({x^, z^i}i, {y^, r^}), для которого выполняется данное соотношение, может быть реализовано как равновесие при дополнительном предположении о выпуклости функции издержек c(y) и вогнутости функций по-

лезности vi(xi). Действительно, при индивидуализированных ценах -qi = v′i(x^) спрос каждого потребителя на общественное благо составляет величину x^, равную предложению этого блага y^ — объему производства, который максимизирует прибыль производителя при

ценах -p = Ûqi.

i I

Дифференцируемость функций полезности и производственных функций, не требуется для справедливости теорем благосостояния. Избыточным оказывается и требование вогнутости функций полезности и производственных функций для справедливости первой теоремы благосостояния.

Другими словами, можно показать, что имеют место следующие утверждения.

Теорема 2 (первая теорема благосостояния)

Если (p-, q-, x-, y-) — равновесие Линдаля в экономике с общественными благами, и предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то (x-, y-) — Парето-оптимальное состояние.

Теорема имеет почти ту же формулировку, что и в случае с обычными, частными благами. Появляется лишь новая квалификация равновесия (равновесие по Линдалю).

Теорема 3 (вторая теорема благосостояния)

Предположим, что предпочтения }i потребителей непрерывны i, предпочтения, а также

множества Xi, i и Yj, j выпуклы. Тогда, если (x^, y^) — внутреннее Паретооптимальное состояние рассматриваемой экономики, то существуют цены p и q, а также трансферты S такие, что (p, q, x^, y^) — псевдоравновесие Линдаля.

Установить справедливость этих утверждений можно, построив для рассматриваемой экономики модифицированную модель совершенного рынка путем сведения общественных благ к частным и убедившись в том, что

—допустимым и Парето-оптимальным состояниям исходной экономики соответствуют допустимые и Парето-оптимальные состояния модифицированной экономики;

—равновесию Линдаля исходной экономики соответствует вальрасовское равновесие модифицированной экономики;

—предположения сформулированных выше первой и второй теорем благосостояния для

экономики с общественными благами гарантируют выполнение предположений первой и второй141 теорем благосостояния для модифицированной (классической) модели.

Смысл этого сведения состоит в следующем. В ситуациях описанного типа мы сталкиваемся с вариантом производственных экстерналий (все произведенное количество блага k, k K1, должно потребляться каждым потребителем). Поэтому, в соответствии с рецептом рассматриваемого в предыдущей главе «решения» для экономики с экстерналиями, для каждого такого типа экстерналий должны быть учреждены рынки (I×K1 вместо K1 как в

141 Для второй теоремы благосостояния это не совсем так, поскольку не для всех благ будет выполнено условие внутренности, поэтому теорема несколько модифицируется.

414

415

случае, если бы эти блага были частными) с собственными (индивидуализированными) ценами общественных благ на каждом из таких рынков.

Опишем элементы этой модифицированной экономики: множество благ, множество потребителей, множество производителей, множество допустимых потребительских наборов, предпочтения и начальные запасы для каждого потребителя, технологическое множество для каждого производителя. Каждому частному благу сопоставим одно благо, а каждому общественному благу k сопоставим набор из m благ — по одному на каждого потребителя. Таким образом, в модифицированной экономике ml1 + l2 благ, где l1 — число общественных, а l2 — число частных благ в исходной экономике. Множества потребителей и производителей не меняются.

Модифицированное потребительское множество X~i потребителя i строится на основе Xi по следующему правилу:

тогда и только тогда, когда

(x(1)i,i , x(2)i ) Xi,

x(1)i,s = 0 s ≠i.

Предпочтения i-го потребителя }~i связаны с предпочтениями }i в исходной экономике по следующему правилу:

x~i }~i z~i

тогда и только тогда, когда

(x(1)i,i , x(2)i ) }i (z(1)i,i , z(2)i ).

Начальные запасы состоят только из частных благ в прежних количествах:

ω~i = (0, ..., 0, ω(2)i ).

Технологическое множество Y~j фирмы j имеет следующую структуру. Технология

гда

y(1)j,1 = ... = y(1)j,m = y(1)j ,

и

(y(1)j , y(2)j ) Y.

Заметим, что технологическое множество каждого производителя позволяет производить индивидуализированные блага только в одинаковых количествах (независимо от того, какому потребителю они «предназначены»).

По построению ({(x(1), x(2)i )}i, {(y(1)j , y(2)j )}j) — допустимое состояние в исходной экономике тогда и только тогда, когда

({(0, ..., 0, x(1), 0, ..., 0, x(2)i )}i, {(y(1)j , ..., y(1)j , y(2)j )}j) —

допустимое состояние в модифицированной экономике.

Аналогичное утверждение можно сделать и относительно взаимосвязи между Паретооптимальными состояниями исходной и модифицированной экономики.

415

416

Читателю оставляется в качестве упражнения проверка того, что набор (p, q, {(x(1), x(2)i )}i, {(y(1)j , y(2)j )}j) — равновесие Линдаля в исходной экономике с общественными благами тогда и только тогда, когда (p~, x~, y~) — вальрасовское равновесие в модифицированной экономике, где

p~ = (q, p),

x~i = (0, ..., 0, x(1), 0, ..., 0, x(2)i ),

~ (1) (1) (2) .

yj = (yj , ..., yj , yj )

Пример 3 (продолжение Примера 2).

Пусть опять

ui(x, zi) = 2αi ln x + zi, c(y) = y2.

В равновесии Линдаля

-p = c′(y-) = 2y-.

-qi = vi′(y-) = 2αi/y-.

Пользуясь Û-qi = -p, получим -y = Ûi αi , что совпадает с Парето-оптимальным объемом

i I

производства общественного блага y^.

Пусть в экономике 3 участника, и αi = i. Тогда

-y = 6 , -p = 2 6 , -q1 = 2/ 6 , -q2 = 4/ 6 , -q3 = 6/ 6 .

Модификация понятия равновесия позволяет получить характеристику Парето-оптималь- ных состояний экономики с общественными благами, аналогичную второй теореме благосостояния для экономики с частными благами. Тем самым, конструкция, предложенная Линдалем, указывает на возможность использовать механизм цен для координации решений и действий потребителей и производителей, для достижения эффективного распределения ресурсов в такой экономике, как и в экономике с частными благами.

Но эта конструкция скорее подчеркивает проблемы, которые связаны с использованием механизма цен для координации решений участников, чем дает описание этого механизма. Здесь есть три обстоятельства, на которые следует обратить внимание, подчеркивающие нереалистичность этой конструкции как механизма координации хозяйственной деятельности потребителей и производителей:

1.В теореме большое значение имеет то, что это модель совершенной конкуренции, что на рынках потребители и производители действуют как ценополучатели, т.е. воспринимают цены благ как данные. Такая гипотеза является оправданной, когда производителей и потребителей достаточно много. Хотя мы можем здесь предположить, что производителей общественного блага довольно много, то есть со стороны производителей нам нет никаких оснований считать, что эта гипотеза совершенной конкуренции нарушена, однако покупатель общественного блага на каждом индивидуализированном рынке всего один, т.е. это чистый случай монопсонии. И, конечно, в этой ситуации предполагать, что покупатель будет действовать как ценополучатель никаких оснований нет. Конечно, если попытаться реализовать эту конструкцию Линдаля в реальной жизни, то потребитель будет использовать свое влияние на цены для того, чтобы установить наиболее удовлетворительный уровень цен.

2.Можно было бы прибегнуть к централизованному механизму установления цен — законодательно закрепить цены на нужном нам уровне, обеспечивающем Парето-

416

417

оптимальное распределение. Однако ясно, что, чтобы действовать правильно, правительственные органы, устанавливающие цены, должны знать информацию о предельных полезностях общественного блага для каждого участника. Эта информация, конечно, недоступна. А каждый потребитель, приватно обладающий этой информацией, понимая, каким образом будет осуществляться ценообразование, заинтересован в том, чтобы манипулировать этой информацией для обеспечения наиболее предпочтительной для себя ситуации с производством общественных благ. В последующем мы обсудим финансирование общественных благ и поймем, что, действительно, такая заинтересованность и возможности манипулировать информацией у потребителей существуют.

3. Мы неявно предполагаем, когда индивидуализируем рынки, что если потребитель не купит благо, то он не сможет им пользоваться, т.е. предполагаем исключаемость потребителя из процесса потребления общественных благ. Но природа общественных благ как раз и состоит в том, что исключаемость невозможна. Предположение о поведении и ожиданиях потребителей, которое лежит в основе модели Линдаля, противоречит рациональности потребителей. А гипотеза о рациональности — это основа современной микроэкономики.

Эта конструкция очень важна, но значение ее исключительно теоретическое. Значение состоит в том, что эта конструкция выявляет проблемы, которые возникают при использовании рыночного механизма для координации финансирования общественного блага.

Таким образом, подчеркнем еще раз, концепция равновесия по Линдалю лишь выявляет и подчеркивает трудности использования механизма цен для обеспечения эффективного распределения ресурсов (и координации решений хозяйствующих субъектов) в ситуации с общественными благами. Все это заставляет отнести данную проблематику к тому разделу микроэкономики, который занимается анализом фиаско рынка, и изучать альтернативные механизмы распределения ресурсов в ситуации с общественными благами.

В результате возникает вопрос об альтернативных механизмах, их достоинствах и недостатках, к чему мы и переходим.

Задачи

19. В экономике двух потребителей с двумя благами — общественным и частным — функции полезности имеют вид

u1 = ln G + 2 ln x1 и u2 = ln G + 3 ln x2.

Оба потребителя имеют начальные запасы только частного блага — 6 и 4 соответственно. Технология единственного предприятия позволяет из 2 единиц частного блага произвести единицу общественного блага.

(A)Запишите систему уравнений, задающую границу Парето.

(B)Найдите равновесие Линдаля.

20.Какие условия являются достаточными и/или необходимыми для того, чтобы равновесие Линдаля:

1)существовало …

2)было Парето-эффективным …

21.[Bergstrom] В местечке Брасс Манки провинции Онтарио имеется 1000 жителей, у ка-

ждого из которых функция полезности имеет вид ui(xi, y) = yα(xi + ki), где y >0 — размер общественного катка, а xi >0 — годовое потребление пончиков. Стоимость строительства

417

418

и содержания одного квадратного дюйма катка равна 1 пончику (пончики являются естественной денежной единицей в Брасс Манки). У каждого жителя есть некоторый запас пончиков ωi.

Найдите равновесие Линдаля. Каким будет количество общественного блага? Сколько заплатит за общественное благо i-й житель?

Долевое финансирование: общие соображения

Будем предполагать, что бремя финансирования общественных благ устанавливается априорно на основе определения доли каждого потребителя в покрытии любой возможный величины общественных расходов. Пусть δik(xk) — доля i-го потребителя, где xk — объем потребления общественного блага k. Сумма долей равна единице:

Ûδik(xk) = 1 k.

i I

При этом взнос i-го потребителя на финансирование k-го общественного блага равен δik(xk)pkxk. Можно интерпретировать эту величину как налог со ставкой δik(xk). Такой способ финансирования общественных благ мы будем называть долевым финансированием.

Долевое финансирование решает проблему безбилетника, возникающую при добровольном финансировании. Однако остается открытым вопрос о том, в каком объеме производить общественные блага. При данных рыночных ценах и данных долях вовсе не обязательно желаемые потребителями объемы производства совпадут. Поясним сказанное. При заданных долях δik(xik) и ценах p потребитель i "предъявит спрос" на такие количества частных и общественных благ (x-(1)i , x-(2)i ), которые являются решением следующей задачи:

Если бы все потребители при некоторых ценах предъявляли спрос на одни и те же объемы общественных благ (консенсус), и на рынках всех благ спрос равнялся бы предложению, то экономика оказалась бы в состоянии равновесия.

Определение 5.

Равновесие с долевым финансированием при консенсусе есть набор (p-, x-, y-), такой что

#(x-, y-) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

#для каждого потребителя (x-(1), x-(2)i ) является решением задачи (27) при ценах p- и доходах

βi = p-ωi + Ûγij p-y-j + Si;

j J

# каждая технология y-j является решением соответствующей задачи производителя (26) при ценах p-.

Для равновесия при консенсусе можно доказать теоремы благосостояния. При этом если доли δik(xk) не зависят от объемов:

δik(xk) = δik xk ,

418

419

то доказательство оказывается достаточно простым, поскольку каждому равновесию при консенсусе соответствует равновесие Линдаля и наоборот. Пусть (p-, x-, y-) — равновесие с долевым финансированием при консенсусе. Тогда (p-, q-, x-, y-) — равновесие Линдаля, где -qik = δik-pk. сопоставим индивидуализированные цены qik равновесия Линдаля. Если же (p- , q-, x-, y-) — равновесие Линдаля, то (p-, x-, y-) — равновесие с долевым финансированием при консенсусе с долями, рассчитываемыми по формуле δik = -qik/p-k. Доказательство этого факта достаточно очевидно, и читатель может провести его самостоятельно.

При дифференцируемости функций полезности и производственных функций во внутреннем равновесии при консенсусе должны выполняться следующие условия:

где k — произвольное общественное благо, а k0 — частное благо с ненулевой ценой. При постоянных долях

Отсюда ясно, что далеко не при любых долях финансирования подобное равновесие может существовать.

В частном случае квазилинейной экономики задачу потребителя можно записать в виде

vi(xi) – δipxi →max xi>0.

Во внутреннем равновесии

v′i(x-) = δi-p.

Условие для долей принимает вид

δi = v′i(x-) .

Ûv′s(x-)

s I

Рис. 91 иллюстрирует равновесие при консенсусе в случае квазилинейной экономики и двух потребителей. Пусть xi( ) — функция, обратная к v′i( ). Тогда при данной цене p- спрос потребителя на общественное благо в зависимости от доли равен xi = xi(δi-p). Консенсус определяется уравнением

x1(δ1-p) = x2(δ2p-) = x2((1 – δ1)p-).

419

420

x

x2(δ2-p)

x1(δ1-p)

δ1 δ2=1–δ2

Рисунок 91. Иллюстрация равновесия при консенсусе

Ясно, что равновесие при консенсусе может существовать лишь при специальном подборе долей финансирования. Поэтому рассмотренная здесь концепция равновесия имеет, как и равновесие Линдаля, только теоретическое значение. Его можно использовать как своего рода исходный пункт при анализе долевого финансирования. В общем случае, при произвольно выбранных долях финансирования общественного блага, нет оснований ожидать, что при любых рыночных ценах желаемые объемы потребления общественных благ у всех потребителей будут совпадать. Поэтому возникает проблема согласования их предпочтений относительно этих количеств.

Другими словами, в концепции равновесия с долевым финансированием способ финансирования общественных благ следует дополнить некоторым механизмом принятия коллективных решений об объемах производства общественных благ, который бы «работал» и при отсутствии консенсуса. Ниже приводятся примеры таких механизмов.

Задачи

22. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).

Производная v′(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 4y.

Финансирование общественного блага осуществляется на долевой основе с долями δ1 и δ2. Известно, что был достигнут консенсус. Что можно сказать об отношении долей δ1/δ2? Обоснуйте свое утверждение.

23. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).

Производная v′(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 5y.

Финансирование общественного блага осуществляется на долевой основе с долями 2/3 и 2/3. При каких условиях на a и b в этой экономике не может быть достигнут консенсус. Обоснуйте свое утверждение.

420