Бусыгин

391

9. Общественные блага

В той главе мы рассмотрим подробнее частный случай однородных экстерналий.

Определение 1.

Назовем коллективным благом такое благо, потребление которого одним потребителем не делает это благо недоступным для других потребителей; то есть связь между количеством xik, доступным потреблению отдельным (i-м) потребителем126, и наличным коли-

чеством блага k в экономике в целом (xk = Ûj yjk + ωΣk) выражается неравенством xik <xk.

Иными словами, когда один из участников потребляет такое благо, то количество этого блага доступное другим участникам не уменьшается. Будем называть это свойство некон-

курентностью совместного потребления (англ. non-rivalness). Самым распространенным ви-

дом коллективных благ является информация: изобретения, литературные произведения, аудио- и видеозаписи, компьютерные программы, кабельное телевидение и т.п.; так возможность посмотреть какую-то передачу по телевизору не зависит от того, что кто-то еще включил свой телевизор. Многие блага имеют характер смешанный, промежуточный между коллективными и обычными, частными благами. В качестве примера можно указать транспортную инфраструктуру (дороги, мосты), потребительские свойства которой ухудшаются по мере нарастания интенсивности ее использования.

Важным частным случаем коллективных благ являются так называемые общественные блага. Они обладают дополнительным свойством — неисключаемостью (non-excludability). Это означает, что физические или организационные условия не позволяют никого устранить из процесса потребления этого блага. Поэтому объем потребления общественного блага одинаков для всех потребителей и совпадает с объемом его производства127.

Определение 2.

Коллективное благо, обладающее свойством неисключаемости называют общественным благом.

Формально, если k -ое благо является общественным, то объем xik потребления этого блага i-ым потребителем равен128 xik= xk = Ûj yjk.

Общественные блага можно считать частным случаем экстерналий (рассматривать их, например, как положительные влияния производителей на потребителей) и поэтому мы имеем все основания ожидать неэффективность рыночных решений в ситуации с общественными благами.

126Для упрощения анализа рассматриваемых ниже моделей с общественными благами мы рассматриваем только случай, когда коллективные блага являются таковыми только для потребителей, другими словами, коллективные блага не затрачиваются в производстве. Если бы коллективные блага затрачивались в производстве, то нельзя было бы моделировать технологии как вектора чистых выпусков, нужно было бы различать производство и производственное потребление таких благ. Кроме того, в таком случае агрегирование предприятий не сводится к простой сумму технологических множеств.

127Будем предполагать, что начальные запасы каждого общественного блага у каждого потребителя равны нулю, что вполне согласуется с понятием общественного блага.

128Для более тонкого разграничения типов благ можно (мы не будем этого делать) ввести еще одну переменную — то количество общественного блага, которое реально потребляется участником. Оно может быть меньше имеющегося в распоряжении количества. Если предполагать неубывание функций полезности по этой переменной, разница между имеющимся и потребляемым не важна.

391

392

Типичный пример общественного блага — национальная безопасность. Обычно неисключаемость имеет не абсолютный, характер; просто исключение любого потребителя из процесса потребления этого блага связано с запретительно высокими издержками или институциональными, например, юридическими ограничениями. В тех случаях, когда исключение не связано с высокими издержками, один и тот же вид коллективных благ, например, телевизионные программы, дороги, может принимать как форму частного блага (кабельное телевидение, частные скоростные шоссе), так и общественного блага, т.е. блага, доступного для всех.

Неконкурентность совместного потребления затрудняет использование рыночного механизма для финансирования блага. Она делает невозможным распределение этого блага посредством обычного конкурентного рынка, на котором цена единая и потребители и производители считают невозможным для себя повлиять на эту цену.

Неисключаемость создает дополнительную проблему — проблему финансирования общест-

венного блага, которую часто называют проблемой безбилетника. Ей, в основном, и посвящена эта глава.129

Пример «трагедии общин» является иллюстрацией того, что неисключаемость может обуславливаться существующими в обществе институтами, и указывает одно из направлений, в котором может получить разрешение проблема безбилетника — установление собственности на коллективные блага, чтобы собственник имел право не допускать других субъектов к потреблению принадлежащего ему блага. В этой главе мы рассмотрим другие решения проблемы безбилетника.130

129Важно понимать, что для обычных, частных благ неисключаемость (невозможность не допустить к потреблению) создает еще более серьезную проблему; количество общественного блага по крайней мере не уменьшается от того, что его потребляет кто-то другой. Напротив, отсутствие охраны законом и/или моралью прав собственности на частные блага (например, на урожай огородов) быстро приводит к их исчезновению. Таким образом, мы наблюдаем существование только тех частных благ, права собственности на которые удается гарантировать (исключаемые блага).

130Укажем на два вида рыночных решений этой проблемы, которые отличаются распределением прав собственности. Как мы видели при рассмотрении экстерналий (и увидим в дальнейшем при обсуждении равновесия Линдаля), назначение индивидуализированной цены для каждого потребителя обеспечивает Паретооптимальность равновесия. Близкий аналог индивидуализированной платы за коллективное благо — ценовая дискриминация (англ. discrimination – неодинаковое отношение) при продаже монопольных продуктов. Если производитель точно знает предпочтения каждого потребителя (и умеет предотвращать воровство — несанкционированное копирование), то монопольное равновесие с индивидуальными ценами окажется Па- рето-эффективным. При этом цены должны различаться не только в зависимости от потребителя, но и в зависимости от количества, купленного потребителем (индивидуальная цена на каждую единицу блага). Для коллективных благ характерно наличие больших капитальных затрат (англ. lump-sum costs) и небольших затрат на обеспечение потребления их дополнительным субъектом (например, издержки копирования информации). Обычное для конкурентных рынков установление цены по предельным издержкам здесь невозможно, поскольку не будут окупаться капитальные затраты. Таким образом, рынок благ коллективного потребления имеет тенденцию к монополизации — уменьшается количество фирм и увеличиваются их размеры, так что каждая отдельная фирма получает возможность влиять на цену. Это позволяет проводить ценовую дискриминацию — назначать разные цены для разных потребителей.

Другое решение той же проблемы — кооператив (или клуб) потребителей. Кооператив собирает деньги на приобретение блага от своих членов, а затем распределяет благо между ними, не допуская к потреблению не членов.

По сути дела, и коммерческая фирма, и кооператив решают одну и ту же задачу — задачу дискриминации: распределить финансирование общих затрат между потребителями в зависимости от их потребностей. Грубо говоря, платить должен тот, кому благо нужно в большей степени и кто готов больше заплатить. Вопрос состоит в том, какой из этих институтов может лучше справится с задачей.

392

393

Экономика с общественными благами

Введем теперь модель экономики с общественными благами, которая отличается от классической модели введением общественных благ. Обозначим через K1 множество общественных благ, а через K2 — множество частных благ. Поскольку мы не различаем доступное для потребления и потребляемое количество общественного блага, то можно считать, что в потребительские функции прямо входит общий имеющийся объем общественного блага xk, поэтому потребительский набор i-го потребителя приобретает вид

xi = ({xk}k K1, {xik}k K2) = (x(1), x(2)i ).

Будем предполагать, что множество допустимых потребительских наборов i-го потребителя Xi имеет следующую структуру:

Xi = X(1)×X(2)i ,

так что xi = (x(1), x(2)i ) Xi тогда и только тогда, когда

x(1) X(1) и x(2)i X(2)i .

Состояние (x, y) экономики с общественными благами является допустимым, если выполнены следующие соотношения (напомним, что начальные запасы общественных благ мы считаем равными нулю):

xi Xi, i I,

xk = Ûyjk, k K1, i I,

j J

Ûxik = Ûyjk + Ûωik, k K2,

i I j J i I

gj(yj) >0, j J.

Как и в рассматриваемых ранее моделях, каждое Парето-оптимальное состояние экономики с общественными благами может быть охарактеризовано как решение m задач оптимизации. На их основе можно получить дифференциальную характеристику множества Па- рето-оптимальных состояний экономики с общественными благами в случае, когда функции полезности и производственные функции дифференцируемы.

Итак, допустимое состояние экономики (x^, y^), является Парето-оптимальным тогда и только тогда, когда оно является решением следующих оптимизационных задач (i0 = 1, ..., m):

ui0(xi0) →max x,y xi Xi, i I, ui(xi) >ui(x^i), i ≠i0,

gj(yj) >0, j J,

xk = Ûyjk, k K1, i,

j J

Ûxik = Ûyjk + Ûωik, k K2.

i I j J i I

Последнее равенство выражает материальные балансы для общественных благ, и только оно отличает эту задачу от соответствующей задачи для классической экономики. Соответствующий этим задачам лагранжиан (в котором пропущены константы ui(x^i)) имеет вид:

393

394

L = Ûλiui(xi) + Ûµj gj(yj) +

+ Ûσk(Ûyjk – xk) + Ûσk(Ûyjk + Ûωik – Ûxik).

Если функции полезности ui( ) и производственные функции gj( ) дифференцируемы, то, дифференцируя лагранжиан, получим характеристику внутреннего Парето-оптимума (т.е. при обычном предположении, что x^i int(Xi)).

Тогда для любой из указанных выше задач справедливо следующее утверждение (теорема Джона Фрица): существуют (не все равные нулю) множители Лагранжа (λi, µj, σk) такие,

Условие регулярности (линейная независимость градиентов ограничений соответствующей задачи) гарантирует, что можно найти такой набор множителей Лагранжа, что λi0 = 1. В рассматриваемом случае выполнение условия регулярности можно гарантировать, например, в случае, если в любом допустимом состоянии экономики для каждого потребителя i существует частное благо k K1, такое что ∂ui(xi)/∂xik > 0, а для каждого производителя j существует частное благо k K2, такое что ∂gj(yj)/∂yjk < 0.

В этом случае, исключив из необходимых условий экстремума множители Лагранжа131, получим дифференциальную характеристику оптимума:

где k0 K1 — частное благо, такое что σk0 ≠0.

Второе из полученных соотношений называют уравнением Самуэльсона132. Оно говорит, что сумма предельных норм замещения общественного блага на частное в потреблении равна предельной норме замещения общественного блага на частное в производстве.

Уравнение Самуэльсона иллюстрирует Рис. 87 («диаграмма Самуэльсона»)133. На трех совмещенных графиках ось ординат соответствует производству и потреблению общественного блага. Для того, чтобы найти Парето-оптимум, следует задаться некоторой кривой безразличия одного из потребителей, например, 2-го. На третьем графике кривая производственных возможностей совмещена с выбранной кривой безразличия. Расстояние по горизонтали между этими кривыми показано на первом графике в виде кривой. Точка касания с кривой безразличия 1-го потребителя соответствует набору 1-го потребителя в

131Проверьте, что множители Лагранжа λi > 0 i, µj > 0 j и существует по крайней мере одно благо k0 K1, такое, что σk0 > 0.

132Samuelson, P.A. "The Pure Theory of Public Expenditure," Review of Economics and Statistics, 36 (1954) 387-

389.См. также статью Г. Боуэна, упомянутую в сноске 142.

133Существуют и другие иллюстрации уравнения Самуэльсона. См. напр. Рис. 90 («диаграмму Кольма») и комментарий к нему.

394

Задачи

1. Уравнение Самуэльсона связывает...

а) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в производстве;

б) норму замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены в производстве;

в) норму замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в производстве;

г) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены в производстве.

Квазилинейная экономика с общественными благами

Особенно простым анализ экономики с общественными благами становится при квазилинейности функций полезности. Это соответствует анализу частного равновесия, который проводится в начальных курсах микроэкономики.

Будем предполагать, что в экономике два блага, одно из которых общественное, а другое

— частное, причем

X(1) Ê+ и X(2)i = Ê i,

а предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями полезности:

ui(x, zi) = vi(x) + zi ,

где x — объем потребления общественного блага (он равен объему производства y), а zi

— объем потребления частного блага (который можно интерпретировать как объем потребления всей совокупности частных благ). Поскольку предпочтения линейны по zi , последнее удобно считать денежной стоимостью частных благ.

Производственные возможности экономики описываются функцией издержек c(y), (обратной к производственной функции), которая показывает минимальное количество частного блага, r, необходимое для производства y единиц общественного блага.

В дальнейшем будем различать два случая. Первый— ситуация, когда общественное благо может производится и потребляться в любом количестве, является безгранично делимым, («непрерывный» случай), функции полезности и издержек — дифференцируемы. Второй — ситуация, когда производитель и (или) потребитель может выбирать лишь из

395

396

конечного числа вариантов, как правило двух («производить — не производить», «потреблять — не потреблять»). Этот случай будем называть «дискретным».

Рассмотрим сначала непрерывный случай. Для него уравнение Самуэльсона имеет вид:

Ûv′i(x^) = c′(x^).

i I

Это соотношение можно установить независимо на основе характеристики Паретооптимальных состояний квазилинейной экономики. Действительно, как было установлено ранее, Парето-оптимальное состояние квазилинейной экономики полностью характеризуется задачей максимизации индикатора благосостояния. Для рассматриваемой экономики эта задача имеет следующий вид:

W(x) = Ûvi(x) – c(x) →max x>0.

i I

Таким образом, в этой экономике Парето-оптимальные состояния характеризуются объемом производства общественного блага, максимизирующим благосостояние, x^. Этот объем естественно назвать Парето-оптимальным объемом общественного блага. Если предельные полезности v′i(x) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки c′(y) положительны и не убывают, то такой объем будет единственным.

Для Парето-оптимального объема общественного блага выполняется соотношение:

Ûv′i(x^) <c′(x^),

i I

причем, если общественное благо производится, т.е. y^ > 0, то

Ûv′i(x^) = c′(x^),

i I

В дальнейшем мы будем считать, что x^ > 0.

Заметим, что в случае, когда первое благо — частное, условия Парето-оптимальности его производства и потребления имеют вид (случай, когда xi > 0, i):

v′i(x^i) = c′(y^), i,

Ûx^i = y^.

i I

Указанное различие можно проиллюстрировать следующим примером. Сравним, как принимаются решения в случае приобретения одного и того же блага (например, телевизора) в личное (частное благо) и коллективное пользование (общественное благо). В первом случае телевизор приобретается только в том случае, если цена не выше оценки телевизора для покупателя. Если же телевизор устанавливается в холле студенческого общежития, то решение о его приобретении должно приниматься уже на основе сравнения его цены и суммы оценок этого блага всеми студентами, живущими в общежитии.

Это пример уместнее проанализировать в контексте второй ситуации, поскольку рассматриваемое благо (телевизор) либо производится (и приобретается), т.е. x = 1 (при соответствующем выборе единиц измерения), либо нет, т.е. x = 0.

Будем предполагать без потери общности, что vi(0) = 0, c(0) = 0, и обозначим vi(1) = vi и c(1) = c. Тогда

396

397

W(0) = 0 и W(1) = Ûvi – c.

i I

Поэтому x^ = 0, если Ûi vi < c и x^ = 1, если Ûi vi > c. В случае, когда Ûi vi = c, задача имеет два решения, поэтому оптимальным является любое решение относительно объема произ-

водства общественного блага.

Задачи

2. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).

Производная v′(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 2y.

При a = a′, b = b′ в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x′. При a = ka′, b = kb′ (k > 0) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x″, где x″> x′. Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.

Можно ли утверждать, что k > 1 или k < 1? Обоснуйте свое утверждение.

3. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида uj = vj(x) + zj. Производные v′j(x) положительны и убывают. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = αy.

При α= α′ в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x′. При α= α″ (α″> α′) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x″. Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.

Можно ли утверждать, что x″> x′ или x″< x′? Обоснуйте свое утверждение.

Равновесие с добровольным финансированием общественного блага (равновесие без координации)

Заметим предварительно, что рассматриваемому случаю однородных экстерналий соответствует рыночное равновесие, в котором, как правило, общественное благо не производится, так как в нем нет механизма возмещения производителям общественных благ их затрат на такое производство134. Альтернативная возможность — механизм финансирования общественного блага на основе добровольных вкладов (пожертвований) потребителей этого блага. Примерами служат добровольные взносы в благотворительные фонды, финансирующие какие-либо общественные блага, например, научные исследования.

Рассмотрим одну из возможных формализаций такого механизма. Обозначим добровольный взнос i-го участника на приобретение k-го общественного блага через tik >0. Будем предполагать также, что существуют рынки общественных благ. Поскольку благосостояние потребителя зависит от общего количества этих благ, то при определении своего взноса tik потребитель i формирует ожидания (teisk, s ≠i) относительно взносов других участников.

134 Есть исключения, например ситуации, когда производство общественного блага по технологическим причинам является побочным результатом производства частных (рыночных) благ.

397

398

Собранная сумма идет на приобретение общественного блага:

pkxk = pkyk = Ûi tik, k K1.

Таким образом, задача потребителя i имеет вид:

ui(xi) →max xi,ti

pkxk = tik+Ûteisk, k K1,

s ≠i

xi Xi,

tik >0, k K1.

Определение 3.

Равновесие без координации или, иначе, равновесие с добровольным финансированием общественных благ135 есть набор (p-, t-, x-, y-), такой что

#(x-, y-) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

#каждый набор x-i и взносы t-i являются решением соответствующей задачи потребителя (24) при ценах p-, доходах

βi = p-ωi + Ûγij p-y-j + Si

и ожиданиях {tisk}s≠i,k K2, таких что tisk = t sk s ≠i, k K1;

#каждая технология y-j является решением соответствующей задачи производителя (26) при ценах p-;

#сумма взносов равна совокупным расходам на каждое общественное благо:

p-kx-k = Ûp-ky-jk = Ûtik, k K1.

j J i I

Охарактеризуем решение задачи потребителя в состоянии равновесия в предположении, что xi int(Xi). Функция Лагранжа этой задачи:;

Li = ui(xi) + Ûνik(tik+Ûteisk – pkxk) + λi(βi – Ûtik – Ûpkxik).

Условия первого порядка:

135 По-видимому, впервые эту концепцию равновесия ввел Эдмон Маленво. См. его учебник E. Malinvaud, Leçons de téorie microéconomique, Paris: Dunot, 1969 (рус. пер. Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. — М.: Наука, 1985). Маленво называл его равновесием с подпиской (фр. souscription). В русском языке есть более удачное слово складчина.

398

399

где λi — множитель Лагранжа бюджетного ограничения, а νik — множитель Лагранжа бюджета для k-го общественного блага.

Предположим, что для любого потребителя i существует частное благо k, такое что ∂ui/∂xik > 0. Тогда λi > 0 i, что, в свою очередь, означает, что равновесная цена любого такого блага положительна.

Пусть k0 — некоторое частное благо, такое что его цена положительна. Тогда ∂ui/∂xik0 > 0i. Если потребитель i делает положительный взнос на общественное благо k (tik > 0), то из дифференциальной характеристики решения задачи потребителя следует, что

Для потребителя, делающего нулевой взнос, такое равенство нормы предельной замены отношению цен может не выполняться. Можно проверить, что если равновесная цена общественного блага k положительна, то, вообще говоря,

Предположим, что в равновесии суммарный взнос на общественное благо k* положительный, и пусть i1 — потребитель, который делает положительный взнос на приобретение этого общественного блага. Тогда в равновесии должно выполняться соотношение

∂ui1/∂xk* = pk* = ∂gj/∂yjk*, ∂ui1/∂xi1k0 pk0 ∂gj/∂yjk0

В Парето-оптимуме же должно выполняться условие Самуэльсона:

Отсюда следует, что равновесие и Парето-оптимум могут совпадать только если

Û∂ui/∂xk* = 0.

i≠i1 ∂ui/∂xik0

В случае, когда ∂ui/∂xk >0 i, это соотношение имеет место только тогда, когда ∂ui/∂xk = 0

i ≠i1.

Следующая теорема неэффективности резюмирует эти рассуждения. По смыслу она противоположна обеим теоремам благосостояния.

Теорема 1.

Пусть (p-, t-, x-, y-) — равновесие с добровольным финансированием, такое что xi int(Xi)i I, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме того,

♦ для любого потребителя i существует частное благо k0, такое что ∂ui(x-i)/∂xik0 > 0 и

∂gj(y-j)/∂yjk0 < 0 j;

♦ все предельные полезности по общественному благу k* неотрицательные,

399

400

∂ui(x-i) > 0, i;

∂xk*

♦ в равновесии существует потребитель i1 с -t i1k* > 0,

причем по хотя бы для одного потребителя i2 ≠i1 неравенство строгое. Тогда состояние (x-, y-) не оптимально по Парето.

Доказательство.

Приведенные выше рассуждения, фактически, доказывают эту теорему.

Уместно привести альтернативное доказательство, показав, что можно построить Паретоулучшение, увеличив объем производства общественного блага и соответствующим образом перераспределив ресурсы. Существование такого Парето-улучшения можно неформально интерпретировать как локальную недостаточность количества общественного блага в равновесии.

Рассмотрим следующий дифференциально малый сдвиг из точки равновесия:

dxk* = dyjk* > 0 и dyjk0 < 0, dyjk0 = dxi1k0 + dxi2k0 причем, dxi1k0 < 0, dxi2k0 < 0,

где j — произвольное предприятие.

Другими словами, предлагаемое изменение заключается в увеличении производства и потребления общественного блага k* на величину dyjk* , компенсированное уменьшением производства частного блага k0 на величину dyjk0 и, соответственно, его потребления потребителями i1 и i2 на величину dxi2k0 и dxi1k0 соответственно.

Для того, чтобы новое состояние экономики было допустимым, величины dyjk* и dyjk0 должны удовлетворять соотношению

Указанные изменения объемов потребления благ k* и k0 приводят к изменениям в уровне полезности потребителя i1 на величину

∂ui ∂ui /∂xk*

= ∂ 1 (∂ 1 ∂ dyjk* + dxi k )

xi1k0 ui1/ xi1k0 1 0

Учитывая дифференциальную характеристику равновесия (равенство предельных норм замещения блага k* на благо k0 в производстве и потреблении для потребителя i1), эту величину можно выразить как

Поскольку ∂ui1/∂xi1k0 > 0, то при dxi2k0 < 0 прирост полезности dui1 положителен.

Аналогичные преобразования можно провести и для изменения полезности потребителя i2:

400