Бусыгин

Представим изменения потребления блага k0 в виде

dxi2k0 = αdyjk0,

где α (0, 1) — доля потребителя i2 в уменьшении потребления блага k0. Тогда

Поскольку dyjk0 < 0, то dui2 > 0 тогда и только тогда, когда

α< ∂ui2/∂xk* ∂gj/∂yjk0. ∂ui2/∂xi2k0 ∂gj/∂yjk*

Мы можем всегда подобрать долю α (0, 1), удовлетворяющую этому неравенству136. Таким образом, существует строгое Парето-улучшение в дифференциалах.

*

Заметим, что при отказе от любого из условий теоремы ее утверждение, вообще говоря, перестает быть справедливым. Так, равновесие при добровольной подписке может быть Парето-оптимальным в перечисленных ниже ситуациях.

1)Потребитель всего один m = 1. (В этой ситуации, однако, едва ли уместно говорить об общественном благе).

2)Общественное благо в рассматриваемой экономике единственно и его «ценит» только один потребитель (сверх уровня, финансируемого этим потребителем), т.е. предельная полезность общественного блага при данной величине его потребления положительна только для одного потребителя (и равна нулю для остальных).

3)Предельные полезности всех общественных «благ» у одних участников положительны, у других отрицательны, и происходит точное уравновешивание.

4) Частные и общественные блага комплементарны в потреблении. Заметим, что при этом не выполнено условие дифференцируемости функций полезности.

5) Равновесие не является внутренним. Здесь полезно различать два возможных случая.

Случай (а): множество допустимых потребительных наборов обуславливают ограничение вида xk* >0 по общественному благу k*, и в равновесии производство этого блага равно нулю. Такое равновесие может быть Парето-оптимальным, если производство его оказывается «слишком дорогим», экономически неоправданным.

136 Заметим, что если ∂ui2/∂xk* = ∂gj/∂yjk*, то α можно выбрать произвольно, другими словами, Парето-

∂ui2/∂xi2k0 ∂gj/∂yjk0

улучшение гарантируется при любых пропорциях уменьшения потребления первого блага. С другой стороны, если ∂ui2/∂xk* = 0, то мы не можем подобрать α и построить Парето-улучшение рассматриваемого типа.

401

402

Случай (б): в равновесии потребление всех благ, за исключением одного (общественного) блага равно нулю.

6) Равновесие может быть Парето-оптимальным и в случае, когда общественное благо является неделимым.

Пример 1 (комплементарность частного и общественного блага).

В экономике имеется два потребителя с функциями полезности

ui(x1, xi2) = min(x1, xi2),

где x1 >0 — потребление общественного блага, xi2 >0 — потребление частного блага i-м потребителем, и один производитель с неявной производственной функцией

g(y1, y2) = y1 + y2,

где y1 — производство общественного блага, y2 — чистое производство частного блага (– y2 — затраты частного блага). Другими словами, имеющаяся технология позволяет произвести единицу общественного блага из единицы частного.

Потребители имеют только запасы частного блага в размере ωi > 0. Баланс по общественному благу имеет вид x1 = y1, а по частному благу —

x12 + x22 = y2 + ω1 + ω2.

Покажем, что любое равновесие в этой модели Парето-оптимально и любой Паретооптимум можно реализовать как равновесие (при подходящем выборе трансфертов).

Опишем сначала Парето-оптимальные состояния данной экономики. Можно заметить следующие факты:

В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть ниже потребления частного блага любым потребителем. Пусть, это не так, например, x1 < x12. Тогда можно немного уменьшить x12 и произвести за счет этого больше общественного блага x1. При этом полезность обоих потребителей возрастет.

ВПарето-оптимуме количество общественного блага не может быть выше потребле-

ния частного блага каждым из потребителем. Пусть это не так, т.е. x1 > x12 и x1 > x22. Тогда можно уменьшить немного производство общественного блага, произвести за счет

этого больше частного блага и увеличить x12 или x22. При этом полезность соответствующего потребителя возрастет, а полезность другого потребителя не изменится.

Влюбом Парето-оптимуме используются все ресурсы, т.е. выполнено

x1 + x12 + x22 = ω1 + ω2.

Отсюда следует, что Парето-оптимальные состояния в этой экономике могут быть трех типов:

(i) x12 < x1 = x22, (ii) x22 < x1 = x12, (iii) x1 = x12 = x22.

Можно показать, что если в допустимом состоянии экономики выполнено одно из этих трех условий и используются все ресурсы, то это Парето-оптимум.

Опишем теперь равновесия в этой модели. Заметим, что в любом равновесии цены общественного и частного блага совпадают. Можно выбрать их равными единице: p1 = p2 = 1. Учитывая это, в равновесии задача потребителя имеет вид

min(x1, xi2) →max xi,ti

xi2 + ti <βi, x1 = ti + t–i,

402

Решение задачи потребителя будет зависеть от соотношения параметров t–i и βi.

(A)Если t–i > βi, то ti = 0, x1 = t–i и xi2 = βi.

(B)Если t–i <βi, то ti = (βi – t–i)/2, x1 = xi2 = (βi + t–i)/2.

Логически возможны 4 варианта равновесия: AA, AB, BA, BB. Вариант AA невозможен, так как при этом t1 = t2 = 0, а это, поскольку доходы потребителей неотрицательны, противоречит условиям t1 > β2 и t2 > β1. Все остальные варианты возможны. Охарактеризуем соответствующие им состояния равновесия.

(AB) Несложно проверить, что в таком равновесии

t1 = 0, t2 = x1 = x22 = β2/2, x12 = β1.

Это равновесие возможно при условии, что β2 > 2β1.

(BA) Этот вариант получается из предыдущего заменой индексов:

t2 = 0, t1 = x1 = xi1 = β1/2, x22 = β2.

Такое равновесие возможно при условии, что β1 > 2β2. (BB) Такое равновесие должно удовлетворять уравнениям

t1 = (β1 – t2)/2, x1 = x12 = (β1 + t2)/2, t2 = (β2 – t1)/2, x1 = x22 = (β2 + t1)/2.

Откуда получаем

t1 = (2β1 – β2)/3, t2 = (2β2 – β1)/3, x1 = x12 = x22 = (β1 + β2)/3.

Это равновесие возможно при условиях t1 <β2, t2 <β1, т.е. β1 <2β2, β2 <2β1. Заметим, что в любом равновесии

β1 + β2 = p1ω1 + S1 + p2ω2 + S1 = ω1 + ω2.

Несложно проверить, что каждом из этих типов равновесий выполнено

403

404

x1 + x12 + x22 = β1 + β2.

Поскольку β1 + β2 = ω1 + ω2, то в любом равновесии ресурсы используются полностью. В равновесиях типа (AB) выполнены условия (i), в равновесиях типа (BA) выполнены условия (ii), а в равновесиях типа (BB) выполнены условия (iii). Таким образом, любое равновесие Парето-оптимально.

Более того, в этой экономике любое Парето-оптимальное состояния можно реализовать как равновесие с добровольным финансированием. Так, например, Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (i), соответствует равновесие типа (AB), такое что

β1 = x12, β2 = 2x1 = 2x22, t1 = 0, t2 = x1 = x22.

Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (iii), соответствуют равновесия типа (BB), такие что

β1 + β2 = 3x1 = 3x12 = 3x22, t1 = (2β1 – β2)/3, t2 = (2β2 – β1)/3.

Мы привели пример экономики, соответствующей ситуации (4). Читателю предлагается привести примеры экономик, соответствующих ситуациям (2), (3), (5) и (6) самостоятельно.

Комментируя теорему, отметим, что при добровольном финансировании возможны ситуации, когда некоторые потребители не делают взносы на финансирование общественного блага. Таких потребителей называют «безбилетниками». В том случае, когда, напри-

мер, предельные нормы замещения ∂∂ui1/∂∂xk* общественного блага k* частным благом k0 ui1/ xi1k0

различны, только один потребитель финансирует производство общественного блага. Остальные оказываются безбилетниками. Ниже, для случая квазилинейной экономики мы покажем, что такая ситуация является типичной.

В случае квазилинейной экономики равновесие с добровольным финансированием общественного блага это набор (p-, t-, x-, -y) такой что

При цене -p взнос -t i является решением задачи потребителя

vi((ti + Û-ts)/p-) – ti →max ti>0.

s ≠i

Суммарная величина взносов совпадает с суммой, требуемой для финансирования общественного блага в объеме x- по цене -p:

Û-t i = -px-.

i I

При цене -p величина -y является решением задачи производителя

py – c(y) →max y>0.

Спрос на общественное благо равен предложению: x-= -y В равновесии выполняются соотношения:

Предположим, что x-> 0 (равновесие внутреннее). Тогда существует потребитель i1 такой, что ti > 0 и, следовательно, v′i1(x-) = c′(x-).

404

405

Если v′i(x-) >0, и существует не совпадающий с i1 потребитель, для которого это неравенство строгое, то Ûi v′i(x-) > c′(x-).

Предположим, что предельные полезности v′i(x) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки c′(y) всюду положительны и не убывают. Тогда x-> x^, где x^ — Парето-оптимальный объем производства (и потребления) общественного блага. Это следует из того, что W′(x) = Ûi v′i(x) – c′(x) — убывающая функция, W′(x-) > 0, и W′(x^) <0.

Появление этого эффекта недопроизводства общественных благ легко понять в контексте проводившегося нами анализа экстерналий, когда каждый потребитель, планируя приобретение общественного блага, не учитывает влияния своих действий (поскольку не заинтересован при таком механизме его финансирования учитывать это влияние) на рост благосостояния других потребителей, а поэтому планирует приобрести его слишком мало. Эта незаинтересованность учитывать влияние своих действий на благосостояние других участников составляет суть проблемы безбилетника: каждый потребитель заинтересован в увеличении вклада в финансирование общественного блага другими, но не заинтересован сам в увеличении своего.

Кто именно из потребителей будет безбилетником в квазилинейной экономике можно в ситуации, когда потребители ранжированы по их предельной оценке общественного блага безотносительно объема его потребления, т.е. в случае, если выполняется соотношение

v1′(x) < v2′(x) < ... < vm′(x) x > 0.

Проанализируем свойства равновесий с добровольным финансированием в этой ситуации. Пусть (p-, t-, x-, -y) — такое равновесие. Тогда

vm′(x-) <-p.

Поскольку v′i(x-) < vm′(x-) i ≠m, то v′i(x-) < -p. Это влечет за собой то, что -t i = 0, i ≠m, т.е. все потребители, кроме m не участвуют в финансировании общественного блага.

(Аналогичный результат имеет место и в дискретном случае, когда

v1 < v2 < ... < vm.

А именно, в равновесии общественное благо может финансировать только m-й потребитель).

Таким образом, x-= -t m/p-, и возможны равновесия двух типов:

(1)-tm = 0 и-y = 0,

(2)-tm > 0 и-y > 0.

В первом случае vm′(0) <-p <c′(0).137 Поскольку предельная полезность vm′(x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать равновесию.

Во втором случае vm′(x-) = -p = c′(x-). Как и в первом случае, поскольку предельная полез-

ность vm′(x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать равновесию. Данную ситуацию иллюстрирует Рис. 89.

137 Если величины vm′(0) и c′(0) не определены, то эти величины в неравенстве следует заменить соответствующими пределами.

405

406

v2′(y) vm′(y)

-p v1′(y)

-y y^

Рисунок 89. Равновесие с добровольным финансированием при упорядоченности оценок

Если vm′(0) < c′(0), то равновесие может быть только первого типа, а если vm′(0) > c′(0), то равновесие может быть только второго типа.

Предположим дополнительно, что функция vm′(x) – c′(x) убывает. Тогда необходимые условия равновесия являются достаточными. А именно, если

x-= -y

-p = vm′(x-) = c′(y-), -tm = -px-,

и

-ti = 0, i ≠m,

то (p-, t-, x-, -y) является равновесием с добровольным финансированием. Действительно, необходимые условия решений задач потребителя и производителя выполнены, поскольку

Сделанные выше предположения относительно поведения предельных полезностей и предельных издержек гарантируют, что необходимые условия решений задач потребителя и производителя являются достаточными.

Аналогично, если vm′(0) <-p <c′(0), то (p-, 0, 0, 0) является равновесием с добровольным финансированием.

Отсюда следует, что (если функция vm′(x) – c′(x) непрерывна) равновесие существует тогда и только тогда, когда существует объем общественного блага x такой, что c′(x) > vm′(x). Поскольку равновесный объем x- удовлетворяет этому условию, то это условие является необходимым. Поэтому остается доказать достаточность. Действительно, если vm′(0) < c′(0), то существует равновесие с x-= 0. Если же vm′(0) > c′(0), то по непрерывности существует x-> 0, такой что vm′(x-) = c′(x-), и на его основе можно сконструировать равновесие.

Кроме того, в рассматриваемых условиях равновесие единственно. Читатель может доказать это самостоятельно.

Пример 2.

Пусть

ui(x, zi) = 2αi ln x + zi, c(y) = y2.

Оптимальный объем производства общественного блага составляет тогда величину y^, удовлетворяющую соотношению Самуэльсона:

406

407

Ûv′i(x^) = c′(x^).

i I

В данном примере это соотношение имеет вид

Заметим попутно, что r^= x^2 — это как раз издержки производства общественного блага.

Таким образом, оптимальный объем общественных расходов составляет величину

r^ = Ûαi.

i I

В случае же равновесия с добровольным финансированием

vi′(x-) <c′(x-) i,

т.е.

2αi/x-<2x- i или x-2 >αi i.

Поскольку x-> 0, то существует по крайней мере один потребитель, который делает положительный взнос. Это означает, что x-2 = maxi αi. Объем расходов на общественное благо составляет величину

-r = maxi αi.

Цена общественного блага равна -p = c′(x-) = 2x-, а сумма взносов равна

Û-t i = -px-= 2x-2 = 2r-.

i I

Пусть в экономике 3 участника, и αi = i. Платить будет потребитель, который ценит общественное благо больше всех, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом бесплатно. Отсюда

В Парето-оптимуме x^ = 6 , то есть равновесное количество общественного блага меньше оптимального.

Задачи

4. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b >0).

Производная v′(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 2y.

При каких a и b (внутреннее) равновесие с добровольным финансированием будет Паретооптимальным? Обоснуйте свое утверждение.

5. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).

407

408

Производная v′(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 2y.

(1)Какие условия на a и b гарантируют, что во (внутреннем) равновесии с добровольным финансированием только у первого потребителя взнос будет положительным? Обоснуйте свое утверждение.

(2)Какие условия на функцию v(x) гарантируют, что в равновесии с добровольным финансированием общественное благо будет производиться?

6. В экономике с общественным благом (s > 0) и частным благом (zi >0) один потребитель имеет функцию полезности u1 = ln s + z1, а другой — u2 = 2/3 ln s + z2. Начальные запасы равны ω1 = (0; 0,5) и ω2 = (0; 0,5). Технология позволяет из единицы частного блага производить β единиц общественного (β> 0,5). При каких значениях параметра β равновесие с добровольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.

7. В экономике с общественным благом (G >0) и частным благом (zi >0) один потребитель имеет функцию полезности u1 = 0,5 G + z1, а другой — u2 = γG + z2 (γ> 0). Начальные запасы равны ω1 = (0; 40) и ω2 = (0; 20). Технология позволяет из единицы частного блага производить единицу общественного. При каких значениях параметра γ равновесие с добровольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.

8.В экономике с общественным благом (Q > 0) и частным благом (zi >0) один потребитель имеет функцию полезности u1 = ln Q + z1, а другой — u2 = δln Q + z2. (δ> 0). Начальные запасы равны ω1 = (0; 0,5) и ω2 = (0; 0,5). Технология позволяет из единицы частного блага производить единицу общественного. При каких значениях параметра δ равновесие с добровольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.

9.В экономике с общественным благом (x >0) и частным благом (zi >0) один потребитель имеет функцию полезности u1 = 2x + z1, а второй — u2 = αx + z2 (α> 0). Начальные запасы равны ω1 = (0; 10) и ω2 = (0; 10). Технология позволяет из единицы частного блага производить единицу общественного. При каких значениях параметра α равновесие с добровольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.

10.В экономике с общественным благом (x > 0) и частным благом первый потребитель

имеет функцию полезности u1 = ln (2 + x) + z1, а второй — u2 = δln (2 + x) + z2 (δ> 0). Технология позволяет из единицы частного блага производить единицу общественного. При каких значениях параметра δ равновесие с добровольным финансированием окажется Па- рето-оптимальным? Объясните.

11. В экономике двух потребителей с двумя благами — общественным и частным — функции полезности имеют вид

u1 = ln G + 4 ln x1 и u2 = ln G + 3 ln x2.

408

409

Оба потребителя имеют начальные запасы только частного блага — 5 и 8 соответственно. Технология единственного предприятия позволяет из единицы частного блага произвести единицу общественного блага.

(A)Запишите систему уравнений, задающую границу Парето.

(B)Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.

12.Функции полезности двух потребителей равны u1 = Gx1 и u2 = G2x2, где G и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо производится единственным предприятием по технологии G3 = r, где r — производственные затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и

равны ω1 = 0,5, ω2 = 2,5. Прибыль предприятия целиком идет второму потребителю.

(A)Проверьте, что x1 = 0,5, x2 = 1,5, G = 1, r = 1, pG = 3, px = 1, t1 = 0, t2 = 3 — равновесие с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.

(B)Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.

13. Функции полезности двух потребителей равны u1 = z + x1 и u1 = 2 z + x2, где z и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо производится единственным предприятием по технологии 9z = a, где a — производственные затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и равны ω1 = 4, ω2 = 117. Прибыль предприятия целиком идет первому потребителю.

(A)Проверьте, что x1 = 4, x2 = 81, z = 4, a = 36, pz = 9, px = 1, t1 = 0, t2 = 36 — равновесие с доб-

ровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.

(B)Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.

Функции полезности двух потребителей равны u1 = –3/a – 1/x1 и u2 = –1/a – 1/x2, где a и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо производится единственным предприятием по технологии a = 3h, где h — производственные затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и равны ω1 = 2/3, ω2 = 2/3. Прибыль предприятия делится пополам между потребителями.

(A)Проверьте, что x1 = 2/3, x2 = 2/3, a = 2, h = 2/3, pa = 1, px = 3, t1 = 2, t2 = 0 — равновесие с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.

(B)Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.

14.Функции полезности двух потребителей равны u1 = xz41 и u2 = xz2, где x и zi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо производится

единственным предприятием по технологии x2 = z0, где z0 — производственные затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и равны

ω1 = 9/4, ω2 = 3/4. Прибыль предприятия целиком идет первому потребителю.

(A)Проверьте, что z1 = 2, z2 = 3/4, x = 1/2, z0 = 1/4, px = 1, pz = 1, t1 = 1/2, t2 = 0 — равновесие с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть полным.

(B)Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.

409

410

15. В квазилинейной экономике с двумя благами, одно из которых — общественное, предпочтения потребителей i = 1, ..., m и заданы функциями полезности

ui(G, zi) = αi f(G) + zi,

где G — общественное благо, zi — оставшиеся деньги, f( ) — функция с убывающей производной. При этом выполняются неравенства αi < αj при i < j. Технология задана функцией издержек единственного предприятия, c(G). Охарактеризуйте равновесие с добровольным финансированием. Будут ли в этой ситуации безбилетники, и если будут, то кто? Обоснуйте. Сравните с Парето-оптимумом.

16. Пусть в квазилинейной экономике предпочтения потребителей описываются функцией полезности вида

ui(x, zi) = αi ln x + zi,

а функция издержек имеет вид

c(y) = y2/2.

Начальные запасы частного блага у потребителей достаточно велики. Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага. При каких условиях в этой экономике будет по крайней мере один «безбилетник»? Какие потребители окажутся «безбилетниками»?

17. Предположим, что в экономике с тремя потребителями производство общественного блага финансируется с помощью добровольных взносов частного блага ti >0, причем единица общественного блага производится из единицы частного. Функции полезности равны ui = Gxi. Найдите равновесие и Парето-оптимум, если начальные запасы частного блага равны а) ω= (2; 3; 7), б) ω= (2; 4; 6).

18. [Bergstrom] (Субсидирование добродетели)

Благосостояние Аристотеля и Платона зависит от двух благ — одного частного и одного общественного. Их предпочтения совпадают и задаются вогнутой дважды дифференцируемой функцией полезности ui = u(x1, xi2). Аристотель и Платон располагают одинаковыми запасами частного блага. Единицу общественного блага можно произвести из единицы частного. Его производство финансируется за счет добровольных взносов, и каждый из философов рассматривает взнос другого как данный. Добровольные взносы Аристотеля субсидируются из расчета σ руб. субсидии за 1 руб. взносов (другими словами, Аристотель фактически выплачивает (1 – σ) руб. на 1 руб. взносов). Субсидии финансируются за счет аккордных налогов, бремя которых делится поровну между философами. Известно, что в равновесии производство общественного блага положительно.

(1)Кто из философов может делать в равновесии положительные взносы?

(2)Выиграет ли Платон, если субсидию будут выплачивать ему, а не Аристотелю? Как можно объяснить полученный результат?

(3)Предположим, что благовоспитанные философы получают моральное удовлетворение от того, что часть общественного блага куплена за их средства, другими словами, функция полезности зависит дополнительно от количества общественного блага, купленного за счет чистого взноса данного философа (т.е. без учета субсидий). Поменяется ли от этого ответ на предыдущий вопрос?

410