Бусыгин

Поскольку Π-2 является константой, то решением задачи будет уровень экстерналий, максимизирующий суммарную прибыль.

Таким образом, в результате торга будет достигнут, фактически, такой же результат, как и при слиянии предприятий. Чтобы включить рассмотренную модель торга в модель общего равновесия, мы должны вспомнить, что результат торга зависит от вектора цен p. В равновесии объем экстерналий a- должен быть результатом торга при равновесных ценах p-, а равновесная технология каждого из двух предприятий, -yj, должна быть решением вышеприведенной задачи максимизации прибыли по yj при данном уровне экстерналий a- и ценах p-. Если все экстерналии в экономике интернизируются при помощи торга, то равновесия должны быть оптимальными по Парето.

Если соглашение будет предлагать второе предприятие, то оно, соответственно, будет решать задачу

Π2 = Π0(a) – T →max a A, T,

2

Π1 = Π01(a) + T > Π-1,

которая сводится к задаче

Ясно, что и в этом случае решением задачи будет уровень экстерналий, максимизирующий суммарную прибыль.

Этот анализ иллюстрирует Рис. 85.

Рисунок 85.

Точка S1 изображает статус-кво в случае, когда право контроля производства экстерналий принадлежит первому производителю. Точка S2 — статус-кво в случае, когда право контроля над производством экстерналий принадлежит первому производителю.

При этом треугольник S1A1B1 изображает множество ситуаций, которые могут быть получены как результат Парето-улучшений статус-кво S1, а треугольник S2A2B2 — как результат Парето-улучшений статус-кво S2.

Проведенный анализ можно проинтерпретировать в более абстрактных терминах теории торга. В более общем случае рассматривается множество R возможных распределений прибыли (Π1, Π2), которые в нашей ситуации описываются соотношением

Π1 + Π2 = Π01(a) + Π02(a), a A.

381

382

Эффективная граница этого множества, P, характеризуется следующим образом: распределение прибыли (Π1, Π2) принадлежит P тогда и только тогда, когда не существует распределений прибыли (Π~1, Π~2), принадлежащих R, таких что

Π1 <Π~1, Π2 <Π~2,

и по крайней мере одно из этих неравенств строгое. В нашем примере это требование эквивалентно отсутствию во множестве R точек (Π~1, Π~2), таких что

Π1 + Π2 < Π~1 + Π~2.

Другими словами, в нашей ситуации (Π1, Π2) принадлежит P тогда и только тогда, когда

Π1 + Π2 = Π^Σ.

Предполагается, что если участники торга не придут к соглашению, то они окажутся в ситуации, когда их прибыли равны (Π-1, Π-2). Эта ситуация называется точкой угрозы. Точки

(Π1, Π2) множества P, для которых выполняется соотношение Π1 >Π-1, Π2 >Π-2 составляют так называемое переговорное множество. В предложенной выше модели переговоров в качестве точки угрозы выбиралась ситуация, которую следует ожидать в отсутствие соглашения. На Рис. 85 отрезок A1B1 представляет переговорное множество для торга с точкой угрозы S1, а A2B2 — переговорное множество для торга с точкой угрозы S2.

Говоря неформально, соглашение — любая точка множества R. Торг — механизм достижения соглашения. Торг эффективен, если соответствующее соглашение принадлежит переговорному множеству. Таким образом, любой эффективный торг ставит в соответствие точке угрозы некоторую точку переговорного множества.

Рассматривая одноэтапный торг типа «не хочешь, не бери», мы получили два крайних случая распределения переговорной силы. В случае многоэтапного торга распределение переговорной силы может быть иным, и результат торга может оказаться внутри переговорного множества122. Более того, оказывается, что для любой точки переговорного множества можно придумать механизм торга, которые бы ее реализовал.

Заметим, что, не зная механизма торга, мы не можем предсказать его точный исход (конкретную точку переговорного множества): как уже говорилось, перераспределение прибыли (Π1, Π2) будет зависеть от организации переговоров, переговорной силы участников и т.д. Однако можно ожидать, что ничто не будет мешать рациональным хозяйствующим субъектам достигнуть оптимального состояния; при этом объем производства экстерналий (но не величина компенсации) не будет зависеть ни от первоначального распределения прав собственности, ни от характера организации переговоров, он будет определяться максимумом суммарной прибыли предприятий.

Этот результат известен под названием «теоремы Коуза». По словам самого Рональда Коуза «конечный результат (который максимизирует ценность производства) не зависит от правовой позиции, если предполагается, что ценовая система работает без издержек»123.

Проиллюстрируем проведенный анализ на конкретном примере. В отличие от рассмотренной теоретической модели экстерналии в нем совпадают с выпуском первого предприятия. Однако такое изменение не меняет общих выводов.

122Подробнее о многоэтапном торге можно узнать в приложении, посвященном теории игр.

123R. H. Coase. "The Problem of Social Cost," Journal of Law and Economics, 3 (1960), 1-44 (рус. пер. Р. Коуз,

Проблема социальных издержек, в кн. Фирма, рынок и право. — М.: Дело, 1993). См. также R. H. Coase, "Notes on the Problem of Social Cost," in: The Firm, the Market and the Law, The University of Chicago Press, 1988, 157-186 (рус. пер. Р. Коуз, Заметки к проблеме “социальных издержек”, там же).

382

383

Пример 10 (продолжение Примера 8, с.373).

При данных ценах p1, p2 прибыли равны

Π01 = p1y1 – c1(y1),

Π02 = p2y2 – c22(y2) – c21(y1).

Поскольку изменение прибыли второго предприятия при изменении y1 не зависит от величины y2, в целях упрощения анализа будем считать прибыль второго предприятия равной величине убытка от экстерналий со знаком минус за вычетом платежа T:

Π02 = – c21(y1) – T.

Объем экстерналии y1, максимизирующий суммарную прибыль, определяется уравнением

p1 = c1′(y1) + c2′1(y1).

Пусть, более конкретно,

c1(y1) = y21, c21(y1) = y21.

Тогда Π01 = p1y1 – y21, Π02 = – y21. Суммарная прибыль,

Π01 + Π02 = p1y1 – 2y21,

достигает максимума при выпуске y1 = p1/4 и равна p21/8; Точка угрозы S1 определяется на основе решения задачи

Π01 = p1y1 – y21 →max y1.

При этом -y1 = p1/2, Π-1 = p21/4, Π-2 = – p21/4.

Точка угрозы S2 определяется на основе решения задачи

Π02 = – y21 →max y1,

При этом -y1 = 0, Π-1 = 0, Π-2 = 0.

Таким образом, S1 = (p21/4, – p21/4), S2 = (0; 0).

Исходы четырех вариантов торга приведены ниже:

[1, 1]: Π1 = 3p21/8, Π2 = Π-2 = – p21/4, T = 3p21/16, [1, 2]: Π1 = Π-1 = p21/4, Π2 = – p21/8, T = p21/16, [2, 1]: Π1 = p21/8, Π2 = Π-2 = 0, T = – p21/16,

[2, 2]: Π1 = Π-1 = 0, Π2 = p21/8, T = – 3p12/16,

где [i, j] обозначает ситуацию, когда права контроля над производством экстерналий принадлежат i-му предприятию, а право предложить вариант соглашения — j-му предприятию. Во всех случаях результатом торга будет уровень производства экстерналий y1 = p1/4, соответствующий максимально возможной суммарной прибыли p21/8.

Величину прибылей при различных распределениях прав собственности и различных процедурах переговоров иллюстрирует Рис. 86.

383

384

Р. Коуз трактовал проблему экстерналий как проблему нечеткого определения прав собственности. В ситуации, когда права собственности определены четко и обеспечено их соблюдение, издержки сделок, в том числе и издержки переговоров по передаче прав собственности (прав контроля над деятельностью, вызывающей экстерналии) отсутствуют (пренебрежимо малы), эффективное производство будет обеспечено при любом распределении прав собственности (прав контроля над производством экстерналий).

Если трансакционные издержки достижения соглашения не равны нулю, то торг может не приводить к Парето-оптимуму (оптимуму первого ранга). Но деятельность других возможных институтов, в рамках которых может осуществляться контроль над экстерналиями, тоже связана с трансакционными издержками. По мнению Коуза это обязательно следует учитывать при сравнении различных институтов.

При ненулевых трансакционных издержках, речь, таким образом, должна идти об оптимуме второго ранга. Если оставаться в рамках рыночного решения проблемы экстерналий — через соглашение между сторонами — желательно, чтобы права собственности были распределены так, чтобы трансакционные издержки достижения соглашения были минимальными.

Другая важная причина невозможности достижения эффективных соглашений (которой Коуз не уделил достаточного внимания) — асимметричная информация. Если участники торга неодинаково информированы (например, не знают точно прибыль противоположной стороны в статус-кво), то соглашение может не быть достигнуто, либо может быть выбран неоптимальный объем экстерналий. Подробнее этот вопрос обсуждается в главе, посвященной рынкам с асимметричной информацией.

Задачи

23. Рассмотрим экономику обмена с двумя потребителями. Потребитель X имеет функцию полезности

ux = x1x2 + 2z – z2.

Потребитель Y имеет функцию полезности

uy = y1y2 – z2.

Здесь xk , yk — объемы потребления двух обычных благ, z — уровень (отрицательного) внешнего влияния X на Y (X имеет право выбирать его произвольно). Потребитель X владеет единицей первого блага, а потребитель Y — единицей второго блага. Потребители рассматривают пропорции обмена как данные (условия совершенной конкуренции).

384

385

(1)Найти равновесие. Будет ли возникшее равновесие оптимальным?

(2)Желая изменить z, потребитель Y предлагает потребителю X t единиц второго блага в обмен на то, что тот установит z на уровне z*. Потребитель X может либо согласиться на эту сделку, либо отказаться. На этом торг между ними заканчивается.

Торговля на обоих рынках происходит одновременно, т.е. сделка на рынке экстерналий изменяет начальные запасы благ и влияет на равновесную цену p. Учтите, что при этом оба потребителя считают, что не могут повлиять на цену p!

Найти равновесие. Будет ли возникшее равновесие оптимальным?

(3)* Решите ту же задачу в случае, когда ux = x1x2 + 2θz – z2, где случайная величина θ принимает значения 0 и 1 с равной вероятностью, и значение θ известно только потребителю

X.

Торговля квотами на однородные экстерналии

Рассмотренные выше «не координированное» рыночное равновесие, равновесие с налогами и равновесие с торговлей экстерналиями неявно предполагали существование некоторой системы прав собственности на экстерналии. Так, рыночное равновесие предполагает «право» производителя экстерналий на их производство в любом объеме. Равновесие с налогами и равновесие с торговлей экстерналиями предполагает «возмещение» ущерба от экстерналий теми, кто их производит.

В этой параграфе мы изучим влияние других систем прав собственности на состояние экономики, а также результатов «рыночной» торговли правами собственности.

Заметим, прежде всего, что множество Парето-оптимальных состояний не зависит от распределения прав собственности. А поскольку величина цен экстерналий в равновесии с торговлей экстерналиями и ставки налогов Пигу определяются характеристиками соответствующего Парето-оптимального состояния, распределение прав собственности при реализации этого состояния как равновесия с налогами или равновесия с торговлей экстерналиями влияет лишь на величины трансфертов.

Рассмотрим квазилинейный вариант экономики с однородными экстерналиями, которые «производят» только предприятия и «потребляют» только потребители, проанализированной в Примере 6. Предпочтения описываются функциями полезности вида

ui = vi(xi, Ûaj) + zi,

j

а технологии — функциями издержек cj(yj, aj).

Предположим, что для каждого производителя установлена квота на производство экстерналий в размере a~j. При этом задача производителя имеет следующий вид:

pyj – cj(yj, a~j) → max yj>0

Покажем, что если распределение квот произвольно, то равновесие с квотами не Паретооптимально.

Предположим, что (p, (x-, z-), (y-, r-, a-), a~) — равновесие с квотами, a-j int(Aj), причем существуют по крайней мере два производителя, таких что

∂cj1 ≠∂cj2. ∂aj1 ∂aj2

Тогда состояние ((x-, z-), (y-, r-, a-)) не является Парето-оптимальным. Мы покажем это, построив строгое Парето-улучшение в дифференциалах. Пусть daj — дифференциально ма-

385

386

лые изменения объемов экстерналий. Тогда при условии, что объемы выпуска первых l благ остаются неизменными, суммарные затраты (l+1)-го блага изменяются на величину

Û∂cj da .

j ∂aj j

Несовпадение предельных издержек производства экстерналий означает, что можно уменьшить суммарные затраты (l+1)-го блага, не изменяя общий объем экстерналий, т.е. выбрав daj так, что Ûj daj = 0. Строгое Парето-улучшение можно получить, распределив эту величину, например, поровну между всеми потребителями.

Таким образом, можно увеличить общественное благосостояние, перераспределяя квоты. Покажем, что такое (увеличивающее благосостояние) перераспределение можно получить на основе рыночной торговли квотами.

Будем предполагать, что производители могут продавать и покупать квоты по рыночной цене pa. Задача производителя приобретает следующий вид:

pyj – cj(yj, aj) + pa( a~j – aj) → max yj>0,aj Aj.

Более формально определим равновесие с торговлей квотами (p, pa, (x-, z-), (y-, r-, a-), a~) в

данной экономике следующим образом:

♦Набор (x-i, -zi) является решением задачи потребителя при ценах p и экстерналиях a-.

♦Технология (y-j, -rj, a-j) является решением задачи производителя при ценах p, pa.

♦Выполнены балансы по обычным благам.

♦Суммарное «производство» экстерналий равно общей квоте:

Ûaj = Ûa~j.

j j

Докажем сначала, что состояние равновесие с торговлей квотами приводит к состоянию экономики (x-, y-, a~), для которого не существует Парето-улучшения при условии, что общий объем производства экстерналий остается постоянным, т.е. при условии, что

Ûaj = Ûa~j.

j j

Такое состояние называют оптимумом второго ранга. Заметим, что (x-, y-, a~) при этом является решением следующей задачи на условный максимум:

W(x, y, a) = Ûvi(xi, Ûaj) – Ûcj(yj, aj) → max x,y,a

i j j

xi >0,

yj >0, aj Aj

Другими словами, верна следующая теорема:

Теорема 9.

386

387

Пусть (p, pa, (x-, z-), (y-, r-, a-), a~) — равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями. Тогда (x-, y-, a~) является решением задачи (WC).

Доказательство.

Пусть (x′, y′, a′) — допустимое решение задачи (WC).

Поскольку x-i — решение задачи потребителя, то набор x′i не может дать потребителю более высокую полезность при тех же ценах, т.е.

С другой стороны (y-j, a-j) — решение задачи производителя, поэтому (y′j, a′j) не может дать производителю более высокую прибыль при тех же ценах, т.е.

py-j – cj(y-j, a-j) + pa( a~j – a-j) >py′j – cj(y′j, a′j) + pa( a~j – a′j). (**)

Суммируя неравенства (*) и (**) получим, с учетом балансов по обычным благам и огра-

ничения Ûaj = Ûa~j, что

j j

Ûvi(x-i, Ûa~j) – Ûcj(y-j, a-j) >Ûvi(x′i, Ûa~j) – Ûcj(y′j, a^j).

Это означает, что W(x-, y-, a-) > W(x′, y′, a′), т.е. (x-, y-, a-) является решением задачи (WC).

*

Укажем на два следствия этой теоремы.

Теорема 10.

Пусть (p-, (x-, z-), (y-, r-, a-), a~) — равновесие с квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями, а (p`, p`a, (x`, z`), (y`, r`, a`), a~) — равновесие с торговлей квотами в той же экономике. Тогда W(x-, y-, a-) <W(x`, y`, a`).

Если, кроме того, a-j int(Aj), и хотя бы для двух производителей выполнено

Доказательство.

Нестрогое неравенство W(x`, y`, a`) > W(x-, y-, a-) является прямым следствием предыдущей теоремы.

Если выполнены дополнительные условия (♣), то, как было показано ранее, для равновесия с квотами существует Парето-улучшение, при котором суммарный объем экстерналий не меняется. Как известно, в квазилинейной экономике Парето-улучшение приводит к росту индекса благосостояния W(x, y, a). Таким образом, равенство W(x`, y`, a`) = W(x-, y-,

a-) невозможно, поскольку (x`, y`, a`) — решение задачи (WC), а указанное Паретоулучшение приводит к допустимому решению задачи (WC). Значит, неравенство строгое.

*

387

388

Мы показали, что, даже если торговля квотами не приводит к Парето-оптимальному состоянию, то по крайней мере, она приводит к росту общественного благосостояния. Следующая теорема говорит о том, что при правильном выборе общего размера квот на экстерналии торговля квотами обеспечивает достижение Парето-оптимального состояния.

Теорема 11 («теорема Мида»)124

Пусть (p, pa, (x-, z-), (y-, r-, a-), a~) — равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями, а ((x^, z^), (y^, r^, a^)) — некоторый Парето-оптимум этой экономики.

Если

Ûa~j = Ûa^j,

j j

то ((x-, z-), (y-, r-, a-)) — Парето-оптимальное состояние экономики.

Доказательство.

Состояние (x-, y-, a-) является решением задачи (WC), а (x^, y^, a^) — допустимое решение этой же задачи. Поэтому

W(x^, y^, a^) <W(x-, y-, a-).

С другой стороны, поскольку ((x^, z^), (y^, r^, a^)) — Парето-оптимум, то

W(x^, y^, a^) >W(x-, y-, a-).

Значит, (x-, y-, a-), как и (x^, y^, a^), является решением задачи (W), и, следовательно, ((x-, z-), (y-, r-, a-)) — Парето-оптимальное состояние экономики.

*

Замечание.

Если ( p, pa, (x-, z-), (y-, r-, a-), a~) — Парето-оптимальное равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями. Тогда если налоги на экстерналии tj для всех производителей выбрать равными pa, то (p, (x-, z-), (y-, r-, a-), {tj}) — равновесие с налогами. Верно и обратное утверждение:

Предположим, что (p, (x-, z-), (y-, r-, a-), {tj}) — равновесие с налогами Пигу, причем, tj = t0., т.е. ставки налога одинаковы для всех производителей.125 Тогда ( p, t0, (x-, z-), (y-, r-, a-),

a~) — равновесие с торговлей квотами при любых квотах a~, таких что.

Ûa~j = Ûa-j.

j j

Аналогичная связь существует и между равновесием с торговлей квотами и равновесием с торговлей экстерналиями. Читателю предлагается самостоятельно сформулировать соответствующие утверждения.

124Meade, J. "External Economies and Diseconomies in a Competitive Situation," Economic Journal, 62 (1952), 54-

125В ситуации, когда равновесие с налогами Пигу внутреннее по объемам экстерналий и функции издержек дифференцируемы, налоги Пигу у всех производителей должны совпадать.

388

389

Задачи

24. Рассмотрим квазилинейную экономику с двумя благами и однородными экстерналиями. Первое благо производится из второго по технологиям, описываемым функциями издержек вида

cj(yj, aj) = y2j + aj – j2n+ n 2 (j = 1, ..., n),

где yj — объем производства первого блага, aj — объем производства экстерналий. Функция полезности репрезентативного потребителя имеет вид

u(x, Ûaj) = ln(x) – Ûaj + z,

где x — объем потребления первого блага, z — объем потребления второго блага.

(1)Найдите равновесие без регулирования.

(2)Найдите Парето-оптимум.

(3)Пусть на объемы производства экстерналий установлены одинаковые квоты a~. При каких квотах благосостояние будет максимальным?

(4)Найдите равновесие с торговлей квотами в зависимости от квот a~. При каких квотах будет достигаться Парето-оптимум?

Задачи к главе

25.Какие из понятий не имеют прямого отношения к теории экстерналий? а) налоги Рамсея б) налоги Кларка в) налоги Пигу г) теорема Коуза

26.[MWG] Рассмотрим экстерналии, затрагивающие двух потребителей. Функции полезности потребителей имеют вид ui = vi(h) + zi (i = 1, 2), где h — уровень экстерналии, zi —

количество денег, расходуемое на другие блага. Функции vi( ) дважды дифференцируемы,

причем v″i ( ) < 0 (i = 1, 2), v1′( ) > 0, v2′( ) < 0. Первый потребитель обладает неограниченным правом производить экстерналии.

(1)Охарактеризуйте результат свободного действия рынка. Покажите, что он будет неоптимальным.

(2)Каким должен быть оптимальный налог Пигу на 1-го потребителя?

(3)Допустим, 2-й потребитель может ослабить влияние экстерналий, затратив некоторые

усилия e. При этом его функция полезности имеет вид u2 = v2(h, e) + m2, и ∂2v2/∂h∂e > 0 (чем больше уровень усилий, тем меньше предельная «вредность» экстерналий). Нужно ли облагать налогами или субсидировать усилия, чтобы достичь оптимального равновесия?

27. [MWG] Производитель имеет дифференцируемую строго выпуклую функцию издержек c(y, h), где y — объем выпуска (p — рыночная цена выпускаемого блага), h — уровень (отрицательных) экстерналий. Экстерналии влияют на потребителя, чья функция полезности имеет вид u = v(h) + z, где z — количество денег, расходуемое на другие блага.

389

390

(1)Найдите условия первого порядка для задачи фирмы.

(2)Найдите условия первого порядка Парето-оптимума.

(3)Покажите, что налог на экстерналии может привести к оптимальности, а налог на производство в общем случае — нет.

(4)При какой форме функции издержек налог на производство все же приводит к оптимальности?

28. [Laffont] Рассмотрим квазилинейную экономику с двумя благами, m потребителями и одним производителем, с функцией издержек c(y) = y2. Производитель оказывает отрицательное внешнее влияние на потребителей:

ui = ln xi + zi – 0,5 ln y

Каждый потребитель располагает начальным запасом в виде четырех единиц квазилинейного блага. Предполагается, что каждый потребитель пренебрегает своим влиянием (через предъявляемый им спрос) на величину производства и, тем самым, на свою полезность.

(1)Найдите конкурентное равновесие и вычислите величину благосостояния.

(2)Охарактеризуйте Парето-оптимальные состояния этой экономики. Покажите, что равновесие не может принадлежать границе Парето. Вычислите чистые потери благосостояния в равновесии.

(3)Найдите налоги Пигу и соответствующее равновесие (предполагается, что налоги распределяются между потребителями с помощью фиксированных трансфертов). Объясните, почему того же результата можно добиться, облагая потребление. Какая при этом должна быть ставка налога?

(4)Покажите, что «национализация» производства, при которой предприятию разрешено выбирать только планы производства, дающие нулевую прибыль, еще менее предпочтительна, чем свободное функционирование рынка. Объясните, почему.

(5)Пусть в ситуации предыдущего пункта потребление xi облагается налогом. Определите оптимальный уровень ставки налога (максимизирующий благосостояние). Почему данное состояние будет Парето-оптимальным? Объясните, почему налоговые сборы здесь будут больше, чем от оптимальных налогов в конкурентном равновесии.

(6)Предположим, что национализированное предприятие устанавливает цену по правилу

(цена) = (предельные издержки) (1 + µ),

Как ведет себя благосостояние в зависимости от маржи µ? Может ли при таком ценообразовании достигаться оптимум?

390