Бусыгин

461

правилу Байеса), ожидания имеют вид s~~ U[0; -s]. Поскольку концепция совершенного байесовского равновесия не предписывает никаких ограничений на формирование ожиданий в ситуации отклонения от равновесных стратегий, то ожидания покупателя в случае, если он наблюдал бы цену p ≠-p, могут быть любыми. Мы рассмотрим равновесие, в котором покупатель ожидает, что отклонение от равновесной стратегии p ≠-p не влечет за собой отклонение от равновесной стратегии «продавать при s U[0; -s]», т.е. его ожидания при цене p ≠-p имеют вид s~~ U[0; -s].

При данных ожиданиях покупатель должен действовать оптимальным образом: если ожидаемая полезность неотрицательна, то он покупает благо. (Математическое ожидание здесь следует считать по ожиданиям, что s~~ U[0; -s]. Плотность этого равномерного распределения равна 1/s-). Таким образом,

E ~<- E ~ ~<- ø-s 1 - ,

(u | s s) = (v(s) – px | s s) = v(s) -ds x – px = (V(s) – p)x

0 s

где мы ввели обозначение

1 s

V(s) = s ø0v(t) dt.

Если эта величина не меньше нуля, то благо покупается.

Продавцы максимизируя прибыль, назначат максимальную цену, при условии, что благо покупается, т.е. при условии, что

E(u(1) | s~<-s) = V(s-) – p >0.

Т.е. в равновесии

-p = V(s-).

Получаем систему уравнений, для равновесных параметров -p и -s:

-p = c(s-),

-p = V(s-).

Заметим, что такое равновесие существует тогда и только тогда, когда эта система уравнений имеет решение (p-, -s), такое что 0 < -s < 1.

3. Рассмотрим, наконец, равновесие, в котором товары любого качества не продаются. Тогда при любых ожиданиях покупателя его ожидаемая оценка блага не меньше, чем v(0), поскольку v( ) возрастает. Таким образом, производитель мог бы выставить товар на продажу по цене не ниже v(0), и такой что потребитель бы его купил. Если производитель этого не делает, то его издержки выше v(0). Поскольку мы рассматриваем равновесие, в котором товары любого качества не продаются, то, в частности, издержки при качестве s = 0 выше, чем v(0). Следовательно, если равновесие указанного типа существует, то

v(0) < c(0).

Наоборот, если условие v(0) < c(0) выполняется, то существует равновесие, в котором товар любого качества не продается. Для того, чтобы это показать, следует указать ожидания покупателей, поддерживающих это равновесие.

Один из возможных вариантов таких ожиданий состоит в том, что s~~ U[0; -s], где -s выбирается так что p = V(s-), если

1

V(1) = øv(s)ds <p,

0

461

462

и s~~ U[0; 1] в противном случае.

Равновесие может быть не единственным, причем разные равновесия могут отличаться с точки зрения объема продаж и ожидаемого уровня благосостояния.

Пусть, например, функции v( ) и c( ), таковы, что

v(0) < c(0), V(1) >c(1).

Тогда в модели имеется как минимум два вида равновесия: в одном из них товар не продается вне зависимости от качества, в другом — товар любого качества продается.

Задачи

4.Сформулируйте модель Акерлова с двумя градациями качества благ и условия, когда блага низшего качества вытесняют блага высшего качества.

5.Автомобили трех градаций качества встречаются с одинаковой вероятностью. Оценки продавцов для этих трех типов автомобилей равны 1, 3 и f, а оценки покупателей 2, 5 и 8 соответственно. Качество автомобилей известно только продавцам. Найдите максимальную величину f, при которой будет существовать равновесие, в котором продаются все три типа автомобилей.

6.Модель Акерлова для рынка «лимонов» с тремя градациями качества. Пусть резервные оценки продавцов для трех типов товара составляют $2000, $2300, $2600, а оценки поку-

пателей — $2000 + β, $2300 + β, $2600 + β соответственно. Пусть частота существования в природе первого типа товара — 1/3, второго — 1/3, третьего — 1/3. При каких параметрах β существует равновесие, в котором продаются (а) все типы, (б) только два худших типа, (в) только самые плохие?

7. Рассмотрите в рамках модели Акерлова рынок товара, имеющего 5 градаций качества. Цену назначает продавец (рынок продавца). Покупатели нейтральны к риску. Предпочтения продавцов и покупателей заданы следующей таблицей

При каком условии на вероятности πj на этом рынке может существовать равновесие, в котором будут продаваться только товары двух худших градаций качества?

8. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке

Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) совпадает с параметром качества s, а оценка товара покупателем равна αs (α> 1). При каких значениях параметра α будет происходить разрушение рынка лучших автомобилей (неблагоприят-

462

463

ный отбор)? Как ведет себя равновесная доля продаваемых автомобилей при возрастании

α?

9. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке [40; 50]. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) совпадает с параметром качества s, а оценка товара покупателем равна s + α. Найдите равновесие как функцию параметра α. Как ведет себя равновесная доля продаваемых автомобилей при возрастании α?

10.Рассмотрите модель Акерлова, в которой товар с вероятностью 1–s может иметь дефект, из-за которого он негоден (s — вероятность того, что товар годен). Все потребители ценят годный товар в 10 у.е. , а негодный — в 0 у.е. Тип продавца определяется величиной s. Тип s имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Издержки продавцов: c(s) = (s + 1) у.е. Найдите и опишите равновесие.

11.Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке [10; 100]. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) равна 2s, а оценка товара покупателем равна 3s. На рынке имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за

цену α> 0. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра α.

12. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке [β, 200], β> 0. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) равна 3s, а оценка товара покупателем равна 5s. На рынке имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за цену 100. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра β.

13. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке [3, 50]. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) равна 4s – γ, γ> 0, а оценка товара покупателем равна 5s. На рынке имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за цену 20. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра γ.

14. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке [1, 10]. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) равна 3s, а оценка товара покупателем равна 4s + δ, δ> 0. На рынке имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за цену 3. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра δ.

15. [Tirole] Рассмотрим рынок подержанных автомобилей с градациями качества s [s1, s2]. которые непрерывной случайной величиной, которая равномерно распределена на отрезке [s1, s2]. Продавец оценивает единицу товара качества s как s, а покупатель — как αs, где α — коэффициент разный для разных покупателей. Предполагаем, что α распределены равномерно на отрезке [α1, α2]. Покупатели нейтральны по отношению к риску

463

464

(т.е. покупатель купит автомобиль с ожидаемым качеством se тогда и только тогда, когда

αse > p.

(i)Найдите объем торговли в условиях полной информации.

(ii)Изобразите кривые спроса и предложения при асимметричной информации. Может ли быть так, что кривая спроса имеет положительный наклон?

(iii)Найдите конкурентное равновесие. Будет ли объем торговли больше или меньше Па- рето-оптимального?

(iv)Покажите, что на таком рынке равновесие может быть не единственным, и что равновесие с более высокой ценой доминирует по Парето равновесие с более низкой ценой.

(v)Государство вводит стандарт качества. Автомобили с качеством ниже s0 продавать запрещено. Может ли это увеличить общее благосостояние (с точки зрения суммарного излишка)?

16. Рассмотрите модель Акерлова в предположении, что переговорная сила принадлежит покупателю (можно интерпретировать такой рынок как рынок труда). Покажите, что если v(s) >c(s) s, то в одном из равновесий продавец назначает цену, равную предельным издержкам.

Приложение: Доказательство теоремы Майерсона— Саттертуэйта

Введем обозначение для ожидаемой платы с точки зрения продавца:

v2

Pc(c) = Ep-(c, v~) = ø -p(c, v)f(v) dv

v1

и с точки зрения покупателя:

c2

Pv(v) = E-p(c~, v) = ø-p(c, v)g(c) dc,

c1

а также ожидаемого объема торговли с точки зрения продавца:

v2

Xc(c) = Ex-(c, v~) = ø x-(c, v)f(v) dv

v1

и с точки зрения покупателя:

c2

Xv(v) = Ex-(c~, v) = ø x-(c, v)g(c) dc.

c1

В этих обозначениях

Uv`(v) = v`Xv(v) – Pv(v),

и

Uc`(c) = Pc(c) – c`Xc(c).

По условиям самовыявления для двух оценок покупателя, v и v`, мы можем записать следующие два неравенства:

Uv(v) >Uv(v`) и Uv`(v`) >Uv`(v).

Из этих неравенств следует, что

464

465

Uv(v) – Uv`(v) >Uv(v) – Uv`(v`) >Uv(v`) – Uv`(v`)

или

(v – v`) Xv(v) >Uv(v) – Uv`(v`) > (v – v`) Xv(v`).

Переходя к пределу в этих неравенствах (v`→v), получим, что

dUv(v) = Xv(v).

dv

Отсюда, беря интеграл161,

v

Uv(v) = Uv1(v1) + øXv(z) dz.

v1

Поскольку ожидаемый объем торговли Xv(z) неотрицателен, то коль скоро условие добровольности участия выполнено для покупателя с оценкой v1, то оно выполнено для всех покупателей:

Uv1(v1) >0 Uv(v) >0 v.

Применяя аналогичные рассуждения к поведению продавцов разных типов, получим, что

dU (c)

dcc = –Xc(c),

откуда

c2

Uc(c) = Uc2(c2) + øXc(z) dz.

c

Кроме того, коль скоро условие добровольности участия выполнено для продавца с издержками c2, то оно выполнено для всех продавцов.

Uc2(c2) >0 Uc(c) >0 c.

Вспомним, что

Uv(v) = v Xv(v) – Pv(v),

и

Uc(c) = Pc(c) – c Xc(c).

Отсюда

v

Pv(v) = v Xv(v) – Uv1(v1) – øXv(z) dz

v1

и

c2

Pc(c) = c Xc(c) + Uc2(c2) + øXc(z) dz.

c

Предположим теперь, что равновесие является оптимальным по Парето, т.е. объем торговли в этом равновесии должен удовлетворять условиям x-(c, v) = 1 при v > c и x-(c, v) = 0 при v < c.

Покажем, что справедливо следующее соотношение для ожидаемой платы в равновесии:

161 Из приведенных неравенств следует, что Xv(v) — неубывающая функция. Отсюда следует, что она интегрируема.

465

466

E[min{c2, v~} x-(c~, v~)] <Ep(c~, v~) <E[max{c~, v1} x-(c~, v~)].

Рассмотрим сначала покупателя и получим оценку сверху для ожидаемой платы в равно-

весии, т.е. Ep(c~, v~) <E[max{c~, v1} x-(c~, v~)].

Поскольку Uv1(v1) >0, то

v

Pv(v) < v Xv(v) – øXv(z) dz.

v1

c2

Подставляя Xv(v) = ø x-(c, v)g(c) dc, получим, что величина в правой части неравенства рав-

c1

на

v Xv(v) – øXv(z) dz = v ø x-(c, v)g(c) dc – ø ø x-(c, z)g(c) dc dz =

= øv x-(c, v)g(c) dc – ø ø x-(c, z)dz g(c) dc =

= ø[v x-(c, v) – ø x-(c, z)dz] g(c) dc =

c2

= ømax{c, v1} x-(c, v) g(c) dc.

c1

В последнем равенстве мы использовали, что в Парето-оптимальном равновесии выполнено

v

v x-(c, v) – ø x-(c, z)dz = max{c, v1} x-(c, v).

v1

Это равенство можно установить на основе перебора возможных случаев: Если c = v, то интеграл равен нулю и max{c, v1} = v.

Если c > v, то x-(c, z) = 0 при z <v, и таким образом, обе части доказываемого равенства равны нулю.

Если c < v и c <v1, то x-(c, z) = 1 при z (v1, v] и поэтому

v

ø x-(c, z)dz = v – v1 = (v – v1) x-(c, v).

v1

Если c < v и c >v1, то x-(c, z) = 1 при z (c, v] и поэтому

v

ø x-(c, z)dz = v – c = (v – c) x-(c, v).

v1

Учитывая это соотношение,

c2

Pv(v) < ømax{c, v1} x-(c, v) g(c) dc.

c1

Беря интеграл по v, получим оценку сверху для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:

v2

Ep(c~, v~) = EPv(v~) = ø Pv(v)f(v) dv <

v1

v2 c2

< ø ømax{c, v1} x-(c, v) g(c) dcf(v) dv

v1 c1

или

466

467

Ep(c~, v~) <E[max{c~, v1} x-(c~, v~)].

Для продавца рассуждения аналогичны. Из Uc2(c2) >0 следует

c2

Pc(c) >c Xc(c) + øXc(z) dz

c

или

v2

Pc(c) > ø min{c2, v} x-(c, v)f(v) dv.

v1

Отсюда получим оценку снизу для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:

c2

Ep(c~, v~) = EPc(c~) = øPc(c)g(c) dc >

c1

v2 c2

> ø ømin{c2, v} x-(c, v) g(c) dcf(v) dv

v1 c1

или

Ep(c~, v~) >E[min{c2, v~} x-(c~, v~)].

Окончательно получаем

E[min{c2, v~} x-(c~, v~)] <Ep(c~, v~) <E[max{c~, v1} x-(c~, v~)].

Для любой оценки покупателя v [v1, v2] и любых издержках продавца c [c1, c2], таких что v > c, выполнено min{c2, v} > max{c, v1}, поскольку v1 < c2. Кроме того, поскольку c1 < v2, то вероятность того, что v~> c~, т.е. того, что x-(c~, v~) = 1, не равна нулю. Отсюда следует

E[max{c~, v1} x-(c~, v~)] < E[min{c2, v~} x-(c~, v~)].

Тем самым, получено противоречие, что и доказывает несовместимость трех условий: участия, самовыявления и эффективности.

Есть вариант этой теоремы для модели, в которой сумма, выплаченная покупателем, не обязательно равняется сумме, полученной продавцом. Данная модель позволяет рассматривать и такие механизмы торга, которые требуют издержек для своего осуществления, а также такие, которые предусматривают субсидии третьих лиц. Этот вариант теоремы Майерсона—Саттертуэйта утверждает, что несовместимы четыре условия. Четвертым условием является сбалансированность платежей: ожидаемая сумма, выплаченная покупателем, не меньше ожидаемой суммы, полученной продавцом. Это условие можно интерпретировать как отсутствие субсидий со стороны. Заметим, что имеются в виду субсидии не для каждой реализации типов (c~, v~), а в среднем. (Т.е., неявно предполагается возможность воспользоваться услугами нейтрального к риску стороннего страховщика. Ясно, что это довольно слабое требование).

Действительно, если в приведенном доказательстве рассмотреть плату, которая может не совпадать для продавца и покупателя, т.е. pc(c, v) и pv(c, v), то, по аналогии с приведенным выше доказательством, можно получить неравенство

Epc(c~, v~) >E[min{c2, v~} x-(c~, v~)] > E[max{c~, v1} x-(c~, v~)] >Epv(c~, v~).

Таким образом, в такой модели двусторонней монополии Парето-оптимальность равновесия может иметь место только в играх торга с недобровольным участием или же с субсидиями.

467

468

11. Монополия

Как показывают теоремы благосостояния, мир совершенной конкуренции достаточно просто и хорошо устроен: каждое равновесие оказывается (при естественных предположениях) Парето-оптимальным и каждое оптимальное по Парето состояние экономики можно реализовать (при подходящем перераспределении начальных запасов, прав собственности, налогах и т.д.) как равновесие. Предположения совершенной конкуренции, однако, не всегда достаточно удовлетворительно описывают ситуации на существующих рынках. Так, с гипотезой рационального поведения несовместима предположение о том, что производитель рассматривает цену как «данную» в ситуации, когда у него нет конкурентов или их немного. В этой главе мы изучим, чем принципиально рынки, где отсутствуют условия совершенной конкуренции (так называемые несовершенные рынки), отличаются от совершенных рынков.

Анализ естественно начать с наиболее простого для анализа случая несовершенного рынка, когда имеется всего один производитель рассматриваемого продукта.

Модель обычной монополии

Монополией называют фирму, которая является единственным производителем некоторого блага. Напомним классическую (статическую) модель поведения монополиста.

Предположим, что существует «много» потребителей данного блага, и поэтому условия совершенной конкуренции выполняются «на стороне потребителей». Мы предполагаем, таким образом, что потребители рассматривают условия покупки, предлагаемые монополистом, как данные.162 Монополист предлагает всем потребителям производимое благо по одной и той же цене p. Исходя из этой цены, каждый потребитель предъявляет свой спрос на благо. Сумму индивидуальных функций спроса (функцию совокупного спроса) мы обозначим через D(p). Будем считать также, что рассматриваемое благо — нормальное, т.е. функция спроса D(p) не возрастает.

Предположим далее, что функция издержек монополиста равна c(y). Обычно предполагается, что цель монополиста состоит в максимизации прибыли. Таким образом, объем производства монополиста yM находится как решение следующей задачи:163

Π(y) = p(y) y – c(y) → max,

y>0

где p(y) = D–1(y) — обратная функция спроса. Этот объем производства yM и соответствующий ему вектор цен pM = p(yM) называется равновесием при монополии164.

Существование равновесия при монополии

Заметим, что множество допустимых решений задачи монополиста (y > 0) неограниченно, и поэтому мы можем гарантировать существование равновесия лишь при некоторых

162Заметим, что модель монополии можно рассматривать как двухэтапную игру с почти совершенной информацией. На первом этапе монополия выбирает цену. На втором этапе потребители одновременно выбирают количества блага, которые они хотели бы приобрести при данной цене. Модель монополии является при такой интерпретации редуцированной игрой первого этапа для описанной динамической игры.

163Здесь и далее, если не оговорено противное, мы не накладываем ограничение на положительность прибыли. Предполагается, что производитель не может свернуть производство и уйти из отрасли.

164Равновесие при монополии можно рассматривать как исход, соответствующий совершенному в подыграх равновесию в описанной выше двухэтапной игре с почти совершенной информацией.

468

469

предположениях относительно поведения функций спроса и издержек. Приведенная ниже теорема существования указывает на такие условия.

Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество «возможных» монопольных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существовании экстремумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса задача максимизации прибыли монополиста на y > 0, эквивалентна задаче максимизации на некотором отрезке действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих двух задач совпадают). А для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка ниже, чем в какой-либо точке, принадлежащей этому отрезку.

Теорема 1.

Пусть выполнены следующие условия:

1)функция издержек, c(y), дифференцируема на [0, ∞),

2)обратная функция спроса p(y) дифференцируема165 и p′(y) < 0 при [0, ∞),

3)существует y~ > 0 такой, что p(y) < c′(y) при y > y~.

Тогда равновесие при монополии существует.

Доказательство.

Докажем, что при сделанных предположениях Π(y) < Π(y~) при y > y~. Действительно, при y > y~

Π′(y) = p(y) – c′(y) + p′(y) y < 0.

Это неравенство следует из убывания обратной функции спроса и предположения 3) теоремы. Таким образом, прибыль в точке y~ выше, чем в любой большей точке y > y~, поэтому

задача максимизации прибыли при y > 0 сводится к задаче максимизации прибыли на отрезке [0, y~].

Из предположений теоремы следует, что функция прибыли Π(y) непрерывна. Непрерывная функция прибыли по теореме Вейерштрасса должна достигать максимума на компактном множестве [0, y~], откуда следует существование точки yM, которая максимизирует

прибыль при ограничении y > 0. *

Заметим, что предположения теоремы можно ослабить, сделав предположения относительно поведения совокупного излишка, а не относительно его производной p(y) – c′(y) (предположение 3) теоремы). Под совокупным излишком мы будем понимать

y

GS(y) = øp(t)dt – [c(y) – c(0)].

0

При этом, если функция издержек дифференцируема, то

y

GS(y) = ø[p(t) – c′(t)]dt.

0

165 Данное условие предполагает, в числе прочего, что функция p(y) определена при y = 0, что, безусловно, является слишком ограничительным предположением. Так, оно не выполнено для функции p(y) = 1/ y . Тем не менее несложно доказать аналог данного утверждения для этой функции и ей подобных.

469

470

Другими словами, совокупный излишек равен площади фигуры заключенной между кривой спроса, кривой предельных издержек, осью ординат и параллельной ей прямой, проходящей через точку (y, 0).

Нам достаточно предположить, что существует объем производства y~ > 0 такой, что GS(y) < GS(y~) при y > y~. Поскольку совокупный излишек используется как показатель благосостояния, указанное условие означает, что нельзя увеличивать благосостояние простым увеличением выпуска одного блага.

Теорема 2.

Пусть выполнены следующие условия:

1)функция издержек, c(y), непрерывна на [0, ∞),

2)обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает на [0, ∞),

3)существует y~ > 0 такой, что GS(y) < GS(y~) при y > y~.

Тогда равновесие при монополии существует.

Доказательство.

Представим функцию прибыли в следующем виде:

y

Π(y) = p(y) y – c(y) = p(y) y – øp(t)dt + GS(y) – c(0).

0

Достаточно доказать, что при сделанных предположениях Π(y) < Π(y~) при y > y~. Разность прибылей равна

y

Π(y) – Π(y~) = p(y) y – p(y~) y~ – øp(t)dt + GS(y) – GS(y~).

y~

Поскольку p(y) убывает, то p(y) < p(t) при t < y, и поэтому

y

øp(t)dt > p(y)(y – y~).

y~

Воспользовавшись этой оценкой интеграла имеем:

Π(y) – Π(y~) < [p(y) – p(y~)]y~ + GS(y) – GS(y~) < 0.

Дальнейшие рассуждения совпадают с соответствующей частью доказательства Теоремы

1. *

p

p(y~)

MR(y~) D

MR

y

y~

470