Бусыгин

431

рые не участвуют в процедуре и включить этих потребителей в вычисление благосостояния, то оптимум в смысле Парето все же будет иметь место).

В некоторых случаях, однако, можно гарантировать, что налоги Кларка равны нулю. Для случая бесконечно делимого общественного блага эти ситуации характеризует следующая теорема.

Теорема 6.

Пусть

♦функции полезности и функция издержек дифференцируемы;

♦функции полезности вогнуты, а функция издержек выпукла;

♦доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления и равны

v′(x^) δi = Ûjiv′j(x^),

где x^ — Парето-оптимальный объем общественного блага;

♦ все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т.е.

ϕi(x) = vi(x) – δic(x).

Тогда налоги Кларка равны нулю.

Доказательство.

Покажем сначала, что максимум функций

достигается при x = x^. Действительно производная функции ϕi(x) в точке x = x^ равна нулю:

Поскольку ϕi( ) — вогнутая функция, c( ) — выпуклая функция, а доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления, то, значит, необходимые условия оптимальности здесь являются достаточными. Следовательно, при x = x^ функция достигает максимального значения, то есть

x^ argmax x ϕi(x).

Отсюда следует, что

x^ argmax x Ûϕi(x).

i I

Более того, несложно понять, что для любого x- argmax x Ûϕi(x) имеет место равенство

i I

ϕi(x^) = ϕi(x-)147, и поэтому

147 Читателю предлагается доказать этот факт самостоятельно.

431

432

V(i) = Ûϕj(x^) = Ûϕj(x-).

j ≠i j ≠i

Простое вычисление показывает, что τi= 0 i.

*

Имеет место и обратное утверждение о том, что если налоги Кларка оказались равными нулю, то это говорит о том, что доли финансирования были пропорциональны предельным полезностям.

Теорема 7.

Пусть функции полезности и функция издержек дифференцируемы;

доли финансирования общественного блага не зависят от объема; все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т.е.

ϕi(x) = vi(x) – δic(x);

был выбран уровень общественного блага x-, такой что

x- int(X(1));

налоги Кларка равны нулю. Тогда выполнено соотношение

v′(x-) δi = Ûjiv′j(x-).

Доказательство.

Равенство всех налогов Кларка нулю означает, что max x Ûϕj(x) = Ûϕj(x-) i.

Это означает, что

Ûϕ′j(x-) = 0 i.

j ≠i

С другой стороны, из того, что x- определяется из условия

x- argmax x Ûϕi(x)

i I

следует, что

Ûϕ′j(x-) = 0.

j I

Таким образом,

ϕ′i(x-) = 0 i.

т.е.

v′i(x-) = δic′(x-) i

432

433

или

v′i(x-)

δi = c′(x-) i.

А это означает, что

v′i(x-)

δi = Ûj v′j(x)- i.

*

В «достаточно большой» экономике влияние отдельного потребителя на результат работы механизма Гровса—Кларка незначителен, соответственно, можно ожидать, что в такой экономике размер налогов Кларка мал.

Проиллюстрируем это утверждение на примере, показав, что размер налогов Кларка убывает в «достаточно больших» экономиках, являющихся t-репликами исходной.

Чтобы исследовать влияние изменений только размера экономики на величину налога Кларка и элиминировать влияние изменений оценок общественного блага при росте числа потребителей, определим реплику следующим образом.

Будем называть экономику t-репликой исходной экономики, если в ней

— существует технология, позволяющая производить x единиц общественного блага, затратив tc(x) единиц частного;

— имеется t – 1 «двойник» для каждого потребителя исходной экономики и таким образом t потребителей каждого типа. Соответственно, доля каждого из них в финансировании общественного блага равна δi/t. Поэтому чистая полезность x единиц общественного блага у каждого такого потребителя есть величина

ϕi(x) = vi(x) – δi(x)c(x)

Пример 5.

Пусть опять

vi(x) = 2αi ln x, c(y) = y2,

и потребители финансируют общественное благо поровну, т.е. δi = 1/m. В данном случае истинная оценка i-го потребителя равна

vi(x) – c(x)/m = 2αi ln x – x2/m.

Если все потребители сообщат свои истинные оценки, то выбранный уровень общественного блага окажется равным

x-= argmax Ûϕi(x) = argmax Û(2αi ln x – x2/m),

откуда

433

= (mα- – αi)ln(mα-) – (m – 1)α-,

то налог Кларка для i-го потребителя равен

τi = V(i) – Ûϕj(x-) =

j ≠i

= (mα- – αi)(ln(m – αi/α-) – ln(m – 1)) + αi – α-.

Покажем, что если реплицировать эту экономику, то налоги Кларка в ней стремятся к нулю. В t-й реплике будет mt потребителей, которых удобно нумеровать двумя индексами

— i и t, где индекс i означает, что этот потребитель совпадает с i-м потребителем исходной экономики, т.е. αit = αi. Функция издержек в t-й реплике будет иметь вид

c[t](y) = tc(y) = ty2.

Пусть опять потребители сообщают истинные оценки, равные

ϕit(x) = vit(x) – c[t](x)/(mt) = 2αi ln x – x2/m.

Сумма этих оценок равна

ÛÛϕit(x) = ÛÛ(2αi ln x – x2/m) = t(2Ûαi ln x – x2).

то есть выбираемый уровень общественного блага остается таким же, как в исходной экономике. С другой стороны, для потребителя is

V(is) = max (ÛÛϕjt(x) – Ûϕis(x)) =

= (tmα- – αi)(ln(1 – αi/(α-tm)) – ln(1 – 1/tm)) + αi – α-.

434

435

Переходя к пределу при t →∞ получим τi →0. Для этого надо воспользоваться тем, что n ln(1 + 1/n) →1 при n →∞.

Рассмотрим частный случай, когда x принимает два значения, 0 и 1 и доли δi постоянны. Считаем, что vi(0) = 0 i I и c(0) = 0. Величина vi = vi(1) – vi(0) = vi(1) представляет собой резервную цену — максимальную цену, которую потребитель i готов заплатить за данное благо, c = c(1) — издержки на производство общественного блага. Чистая полезность для i-го потребителя при x = 1 равна

vi(1) – δic(1) = vi – δic, а при x = 0 равна нулю (vi(0) – δic(0) = 0).

Обозначим через ϕi объявленные чистые полезности ϕi(1) (считая, что действует ограничение ϕi(0) = 0).

Согласно механизму Гровса—Кларка -y = 1, если Ûi ϕi(1) > Ûi ϕi(0), т.е. если Ûi ϕi > 0, и -y = 0, если Ûi ϕi < 0. Заметим, что в случае, когда Ûi ϕi = 0, потребителям безразлично, производить ли общественное благо. Для определенности будем считать, что в этом случае -y = 1.

Если -y = 1, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 0, то V(i) = 0 и налог Кларка равен

τi = Ûϕj(0) – Ûϕj(1) = V(i) – Ûϕj = – Ûϕj.

j ≠i j ≠i j ≠i j ≠i

Выигрыш i-го потребителя равен

vi – δic – τi,

если будет принято решение о покупке телевизора и 0 в противном случае.

В Таблице 3 представлены возможные варианты равновесия с точки зрения s-го потребителя.

Таблица 3.

435

436

Пример 6 (расчет налога Кларка).

Покупка телевизора ценой 6000 руб. тремя соседями по комнате при равных долях финансирования, δi = 1/3.

Для рассматриваемой экономики с дискретным общественным благом можно формально доказать, что при реплицировании экономики налоги Кларка становятся равными нулю.

Теорема 8.

Рассмотрим механизм Гровса—Кларка в случае дискретного общественного блага (x принимает два значения, 0 и 1). Предположим, что потребители называют свои истинные

чистые полезности, и что Ûvi ≠c. Тогда каковы бы ни были доли δi, найдется номер реп-

i I

лики t^ такой, что для всех репликах t >t^, налоги Кларка равны нулю.

Доказательство.

Пусть потребитель s платит налог Кларка. Тогда выполняется одно из условий:

(1) Ûϕi >0 и Ûϕi < 0

где ϕi = vi – δic. Рассмотрим первый случай (анализ второго оставляем читателю). Посколь-

ку по предположению Ûϕi = Ûvi – c ≠0, это означает, что Ûϕi > 0 и величина ϕs отрица-

i I i I i I

тельная. Поэтому найдется ts такое, что tsÛϕi – ϕs > 0. Это означает, что налог Кларка для

i I

любого потребителя типа i в реплике t > ts равен нулю. Справедливость утверждения следует тогда из того факта, что число потребителей в исходной экономике конечно.

*

436

437

Заметим, что если предположение Ûvi ≠c не выполняется, это утверждение оказывается

i I

неверным. Действительно, в этом случае потребитель s, для которого выполняется соот-

ношение Ûϕi = 0 и Ûϕi < 0 (и любой его двойник) в любой реплике платит налог, равный

Рассмотрим теперь механизм Гровса—Кларка в контексте модели общего равновесия.

Если общественное благо приобретается на рынке в условиях совершенной конкуренции, то в процедуре Гровса—Кларка надо c(x) заменить на px. Будем предполагать, в отличие от рассмотренного выше подхода, что налоги Кларка собираются в денежном выражении, и что в равновесии налог Кларка перераспределяется между потребителями посредством трансфертов. При этом трансферты фиксированы априорно и решения потребителей не влияют на их величину (точнее, потребители не учитывают это влияние).

Если G({ϕi( )}i) — функция коллективного выбора, соответствующая механизму Гров- са—Кларка, то спрос на общественное благо определяется на основе задач потребителя, которые в данном случае имеют следующий вид:

Данная задача, фактически, является частным случаем задачи потребителя (29). Отличие заключается только в том, что мы, пользуясь квазилинейностью функции полезности, подставили бюджетное ограничение в целевую функцию.

Предложение общественного блага определяется на основе задачи производителя:

Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса—Кларка — это равновесие с долевым финансированием и коллективным выбором на основе механизма G({ϕi( )}i). Конкретизируем это определение для рассматриваемого случая.

Определение 9.

Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса—Кларка есть набор (p-, x-, y-, {ϕi( )}i), такой что

#x-= y-;

#объем потребления общественного блага x- и оценка ϕi( ) являются решениями задачи потребителя (30);

#объем производства общественного блага -y является решением задачи производителя (31) при цене p-.

Для этого типа равновесия мы можем доказать аналог второй теоремы благосостояния.

Теорема 9.

Предположим, что в квазилинейной экономике с общественными благами функция издержек дифференцируема, и предельные издержки не убывают.

Пусть x^ — Парето-оптимальный объем общественного блага, и ϕi(x) = vi(x) – δi(x)px.

Тогда (c′(x^), x^, x^, {ϕi( )}i) — равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса—Кларка.

437

438

Доказательство.

Очевидно, что x^ и ϕi( ) — решение задачи потребителя. Доказательство, практически совпадает с доказательством Теоремы 4. Кроме того, поскольку c′(y) не убывает, то x^ — решение задачи производителя при p = c′(x^).

*

Мы не можем гарантировать справедливость первой теоремы благосостояния для любого такого равновесия. Однако можно выделить класс равновесий, для которых этот результат имеет место. Это равновесия, в которых оценка ϕi( ) любого потребителя i максимизирует его полезность при любых оценках, сообщаемых другими потребителями, то есть является аналогом равновесия в доминирующих стратегиях. Выполнение условий предыдущей теоремы гарантирует существование таких равновесий.

Задачи

26. Отметьте верные из нижеприведенных утверждений, и заполните пробел. Если предпочтения потребителей ………………………, тогда механизм Гровса—Кларка приводит

1)к Парето-оптимальному состоянию экономики;

2)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если начальные запасы всех потребителями строго положительны;

3)к Парето-оптимальному состоянию экономики при отсутствии ключевых участников;

4)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;

5)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;

6)к тому, что участники объявляют истинные предпочтения.

7)Все вышеприведенные утверждения неверны.

27.В процедуре Гровса—Кларка налоги Кларка...

а) идут на финансирование общественного блага; б) распределяются пропорционально между участниками;

в) передаются участникам, пострадавшим от выбора того, с кого взят налог; г) не передаются ни кому из участников.

28.Укажите, какие из свойств функций полезности (вогнутость, квазилинейность, непрерывность, дифференцируемость, локальная ненасыщаемость) и другие дополнительные характеристики механизма Гровса—Кларка являются достаточными и/или необходимыми для того, чтобы этот механизм

1)был применим: …

2)корректно выявлял предпочтения: …

3)обеспечивал эффективный уровень общественного блага: …

4)обеспечивал Парето-эффективное для голосующих состояние: …

438

439

29. Три соседа по дому решают, приобрести ли в складчину спутниковую антенну. В продаже имеются антенны двух типов — дорогие (ценой 3000 руб.) и дешевые (ценой 1200 руб.). Каждый из соседей определил лично для себя ценность антенны. Денежные выражения этих ценностей помещены в таблице:

Чтобы каждый из соседей правдиво сообщил свою оценку, используется механизм Гров- са—Кларка, с равными долями финансирования. Какой из вариантов будет выбран: не покупать антенну, купить дешевую, купить дорогую? Укажите численные значения результирующих налогов Кларка. Какой вариант будет выбран при голосовании по правилу простого большинства? Какой выбор является Парето-оптимальным?

Задачи к главе

30. Экономика состоит из трех соседей, потребляющих коллективное благо y — внешний вид их общего двора. Каждый может затрачивать труд hi по уходу за двором, причем y = h1 + h2 + h3. Каждый имеет неограниченный запас труда. Функции полезности имеют следующий вид:

ui = –h2i + iy.

(а) Найдите нерегулируемое равновесие в данной экономике.

(б) Найдите равновесие с равно-долевым финансированием и голосованием по правилу простого большинства.

(в) Найдите равновесие Линдаля.

31. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех потребителей имеют вид ui = –(i + 1 – x)2 + zi, а функция издержек имеет вид c(y) = 12y.

1)Найдите Парето-границу.

2)Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.

3)Найдите равновесие при финансировании равными долями и голосовании простым большинством.

4)Найдите доли финансирования, при которых налоги Кларка в процедуре Гровса— Кларка равны нулю.

32. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех потребителей имеют вид ui = –(i + 4 – x)2 + zi, а функция издержек имеет вид c(y) = 12y.

1)Найдите Парето-границу.

2)Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.

3)Найдите условия на доли финансирования, которые гарантируют Парето-оптимальный исход голосования простым большинством.

439

440

33. Пусть три соседа по даче хотели ли бы подвести к имеющейся общей емкости водопровод с мощностью подачи X тонн/сутки, стоимостью 4 рубля за тонну/сутки, выбирая размер мощности. Функции полезности имеют вид

ui(X, zi) = (i + 2) ln X + zi.

(1)Охарактеризуйте Парето-оптимум.

(2)Для каждого соседа определите, какую из трех возможных процедур общественного выбора он бы предпочел:

-равновесие с добровольным финансированием;

-равновесие Линдаля;

-долевое финансирование с равными долями и голосованием простым большинством;

-механизм Гровса—Кларка с долями 1/4, 2/3, 5/12.

Аргументируйте ответ.

34. Рассмотрим долевое финансирование с голосованием по правилу простого большинства (при стандартных гипотезах) в экономике с квазилинейными функциями полезности с одним общественным и одним частным благом. Отметьте верные из нижеприведенных утверждений. Этот механизм обязательно приводит

1)к Парето-оптимальному состоянию экономики;

2)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если начальные запасы всех участников строго положительны;

3)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если предпочитаемый медианным потребителем уровень общественного блага совпал с Парето-оптимальным;

4)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если все участники удовлетворены выбранным уровнем общественного блага (не желают его изменения при данных ценах и долях);

5)к такому же состоянию равновесия, как и механизм добровольного финансирования.

6)Все вышеприведенные утверждения, вообще говоря, неверны.

35. Рассмотрим долевое финансирование с голосованием по правилу усреднения заявок (при стандартных гипотезах). Отметьте верные из нижеприведенных утверждений. Этот механизм обязательно приводит

1)к Парето-оптимальному состоянию экономики;

2)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если все участники проголосовали за одинаковый положительный уровень общественного блага;

3)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если доли финансирования пропорциональны предельным нормам замещения общественного блага на частное;

4)к Парето-оптимальному состоянию экономики, если участники предложили уровни общественного блага, пропорциональные предельным нормам замещения общественного блага на частное;

5)к такому же состоянию равновесия, как и механизм Линдаля.

6)Все вышеприведенные утверждения, вообще говоря, неверны.

440