Бусыгин

311

14. Рассмотрите модель Эрроу—Дебре (с условно-случайными благами) в которой есть единственное физическое благо. Пусть количество состояний природы равно количеству потребителей, причем каждому потребителю соответствует одно состояние природы, в котором он владеет всем начальным запасом. Пусть, кроме того, начальные запасы не зависят от состояний природы и оценки вероятностей состояний природы у потребителей совпадают. Предположив, что элементарные функции полезности потребителей, ui( ), строго вогнутые и возрастающие, покажите, что...

1)в Парето-оптимальных состояниях потребление не зависит от состояния природы.

2)равновесия Эрроу—Дебре и Раднера единственны. Охарактеризуйте эти равновесия.

15.Рассмотрите следующую ситуацию (близкую по духу концепции справедливости Джона Роулза). Два индивидуума в первый период должны выбрать, как они будут жить во втором периоде. Во втором периоде каждый из них может быть либо бедным, либо богатым в зависимости от состояния мира. В состоянии мира 1 богатым будет 1-й индивидуум, а в состоянии мира 2 — 2-й. В первом периоде они не знают, кто кем будет («покров неведения»), и могут заключать между собой соглашения относительно перераспределения богатства во втором периоде. Дайте интерпретацию этой ситуации с точки зрения модели Эрроу—Дебре (или Раднера). При каких предположениях можно ожидать исхода, характеризующегося социальным равенством?

16.Вчера Анатолий вложил в банк Чара 100$ из своих сбережений в 1000$, ожидая получить через день +30% с вероятностью 0,8 или потерять вложение с вероятностью 0,2. Аналогично, Борис вложил в компанию МММ 100$ из своих сбережений в 1000$ ожидая получить через день +30% с вероятностью 0,8 или потерять вложение с вероятностью 0,2. Предпочтения обоих представляются функцией полезности Неймана—Моргенштерна.

(1)Сделайте, если можно, (или укажите, что нельзя) по этим данным выводы – - о склонности участников к риску…

- о совпадении их субъективных оценок вероятностей (оба актива доступны обоим)… - о статистической (не)зависимости выигрыша Чары и МММ.

(2)Предположим, что на следующий день А и Б обменялись информацией и имеют уже одинаковые субъективные вероятности выигрыша Чары= 0,5 и МММ= 0,5, считая их жестко отрицательно коррелированными, и могут заключать друг с другом любые условные контракты. Можно ли утверждать, что ненулевой обмен акций Чары на МММ произойдет,

или нужны дополнительные предположения на функции ua( ), ub( )? Можно ли предсказать, что 50 акций Чары обменяют на 50 акций МММ, или для этого нужны дополнительные предположения на функции ua( ), ub( )? Можно ли предсказать Парето-эффективность результата обмена?

(3)Как изменятся Ваши ответы на указанные вопросы, если считать акции жестко положительно коррелированными?

(4)Та же ситуация, что в пункте (2), но возможные контракты ограничены двумя типами: или за 1$ сегодня и 1 акцию МММ две акции Чары, или за 1$ сегодня и m акций Чары две

акции МММ. Записать задачу Анатолия в форме модели Раднера. Гарантирован ли Паре- то-эффективный результат торговли?

311

312

7. Налоги

Как будет показано в главе об экстерналиях, один из логически возможных способов коррекции работы рыночного механизма в ситуации с экстерналиями — различного рода налоги. Налоги используются также и для финансирования общественных благ в том случае, когда такие блага предоставляет государство. Однако, за исключением идеализированных ситуаций, такие способы коррекции фиаско рынка также приводят в неэффективному распределению ресурсов.

В этой главе мы проиллюстрируем тот факт, что фактически при любой системе неаккордных налогов рыночное равновесие, как правило, не является Парето-эффективным, так как ведет к искажению структуры рыночных цен.

Одна из целей этой главы (помимо того, что здесь вводятся понятия, используемые в последующих главах) — выявить и сопоставить характер подобных неэффективностей для различных типов налогов.

Общее равновесие с налогами, не зависящими от деятельности

В предыдущей главе мы, фактически, уже рассмотрели равновесие с аккордными налогами,93 которые в том контексте называли трансфертами (точнее, аккордные трансферты — это аккордные налоги со знаком минус). Поскольку в нашем случае это налог на потребителя, то его можно назвать подушным налогом.94 Используя термин «аккордный» мы хотим подчеркнуть, что экономический субъект не может повлиять на величину налога (трансферта), считает ее фиксированной. Анализ равновесия с аккордными трансфертами позволил сделать вывод о его эффективности: при локальной ненасыщаемости рав-

новесие с аккордными налогами является Парето-оптимальным.

Таким образом, аккордные налоги являются в некотором смысле идеальными. Почему же они не используются? Одна из причин состоит в том, что характеристики экономических агентов, значения которых обуславливают величину налога, являются ненаблюдаемыми величинами, приватной информацией самих агентов, не заинтересованных, вообще говоря, в обнародовании этой информации. Еще одна причина — существующие представления экономических агентов о свойствах "хорошей", "справедливой" налоговой системы — считается, что богатые и платежеспособные должны платить больше). Но величина платежеспособности (в дополнению к тому, что является ненаблюдаемой), зависит от усилий экономических агентов, и поэтому требование социальной справедливости" несовместимо со свойством паушальных налогов — отсутствием влияния на усилия экономических агентов.

Например, аккордными в модели обмена являются налоги на начальные запасы, которые можно интерпретировать как налоги на ресурсы, выплачиваемые из ренты, ими порождаемой. Однако, не все типы начальных запасов достаточно хорошо измеримы с точки зрения их возможности приносить доход. Скажем, способность человека осуществлять ту или иною деятельность плохо измерима налоговыми органами. Это ограничивает реализацию данной идеи. Кроме того, некоторые начальные запасы, скажем, капитала или земли, являются запасами только в краткосрочном периоде (в статике), а в более широкой постановке нужно рассматривать влияние налогов на мотивацию их приобретения. Таким образом, обычно мы оказываемся в ситуациях, рассматриваемых ниже.

93Аккордный налог также называют паушальным. Соответствующий английский термин — lump-sum tax.

94Англ. poll tax.

312

313

Общее равновесие с налогами на потребление

Пусть tik — ставка налога на потребление блага k потребителем i. Мы рассмотрим здесь общий случай, когда ставки налога могут быть разными для разных потребителей. Также здесь не исключается случай, что tik могут быть отрицательными (случай трансфертов).

Задача i-го потребителя с учетом налогов на потребление модифицируется следующим образом:

Û(pk + tik)xik < βi,

k K

xi Xi.

Поскольку в этой главе нас, прежде всего, влияние интересует влияние налогов на экономическую деятельность, а не то, каким образом налоги используются, то мы будем предполагать, что собранная сумма налогов перераспределяется между потребителями посредством трансфертов95.

Таким образом, мы будем предполагать следующую структуру дохода потребителя:

βi = p ωi + Ûγij py-j + Si,

j J

а для экономики в целом будем требовать сбалансированность соответствующих платежей (налогов и трансфертов):

ÛÛtikxik = ÛSi. i Ik K i I

Заметим, что мы ввели в задачу потребителя налоги с единицы товара,96 ставка которых назначается в денежных единицах. Можно рассматривать и налог со стоимости товара (адвалорный),97 ставка которого имеет устанавливается в процентах от цены. В случае, когда все налоги на потребление адвалорные, задача потребителя выглядит как

Ûpk(1 + τik)xik < βi,

k K

xi Xi.

Очевидно, что эти два вида налогов фактически эквивалентны, если их ставки связаны соотношением tik = pkτik в том смысле, что для любой системы адвалорных налогов можно подобрать налоги с единицы, приводящие к тем же результатам, и наоборот. В дальнейшем речь пойдет о налоге с единицы, но все сказанное с соответствующими оговорками относится и к налогам со стоимости (адвалорным).98

Обозначим всю систему ставок налогов на потребление, существующих в экономике, через t= {tik}, и рассмотрим общее равновесие с такими налогами.

95Но мы могли бы остаться в рамках традиционной модели общего равновесия (в модели в явном виде не представлено государство; экономические агенты — это потребители и производители), представив государственный орган, выражающий общественную потребность в общественном благе и отвечающий за его приобретение в качестве одного из потребителей.

96Англ. unit tax.

97Лат. ad valorem.

98Ясно, что указанное соотношение не может выполняться при tik ≠0 и pk = 0, поэтому эквивалентность здесь не полная.

313

314

Определение 1.

Назовем (p, x-, y-) равновесием с налогами на потребление t и трансфертами S, если

1) x-i — решение задачи потребителя (3) при ценах p, доходах

βi = pωi + Ûγij py-j + Si,

j J

и налогах на потребление, соответствующих системе налогов t;

2)y-j — решение задачи производителя при ценах p;

3)(x-, y-) — допустимое состояние, т.е.

Û(x-ik – ωik) = Û-yjk k;

4)сумма налогов равняется сумме трансфертов

ÛÛtikx-ik = ÛSi.

Рассмотрим, как влияют налоги на равновесное состояние экономики. Нижеследующий пример показывает, что равновесие с налогами может быть неоптимальным.

Пример 1.

Рассмотрим экономику чистого обмена, в которой есть 2 потребителя и 2 блага. Функции полезности потребителей имеют вид

ui(xi1, xi2) = ln(xi1) + ln(xi2), i = 1, 2.

Пусть потребление облагается адвалорными налогами по ставкам τik. Равновесие с такими налогами характеризуется следующими уравнениями:

С другой стороны, Парето-оптимальные состояния в рассматриваемой экономике характеризуются уравнениями

Из сравнения этих двух соотношений видно, что для Парето-оптимальности равновесия необходимо, чтобы ставки налогов удовлетворяли условию

Поскольку x-11 + x-21 = ω11 + ω21 и x-12 + x-22 = ω12 + ω22, то несложно проверить, что эти условия будут также и достаточными для оптимальности.

Пусть приведенное условие не выполнено, например, потребление 1-м потребителем 1-го товара облагается по ставке 800%99, а остальные налоги равны нулю, т.е. τ11 = 8, τ12 = τ21 = τ22 = 0. При этом возможно следующее равновесие:

99 Такая большая ставка взята, чтобы сделать более наглядным рисунок.

314

315

p1 = 1/3, p2 = 1, x-11 = 0.5, x-12 = 1.5, x-21 = 1.5, x-22 = 0.5

(читатель может самостоятельно подобрать начальные запасы и трансферты, которые согласуются с этим равновесием). Очевидно, что такое равновесие не Парето-оптимально.

На Рис. 76 стрелкой показано направление возможного Парето-улучшения из точки равновесия. Из рисунка видно, что бюджетные прямые двух потребителей в отличие о классического случая не совпадают (показаны штрих-пунктирными линиями). Наклоны бюджетных прямых определяются отношением цен с учетом налогов, а эти отношения у потребителей разные. Поскольку отличаются отношения цен с учетом налогов, то отличаются и предельные нормы замещения. В Парето-оптимуме же предельные нормы замещения должны совпадать.

Рисунок 76. Неоптимальность неуниформных налогов на потребление

Найдем теперь условия, при которых равновесие оказывается оптимальным. Условия первого порядка для внутреннего решения x-i задачи (3) имеют вид

где νi — множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению. Получаем следующую дифференциальную характеристику (внутреннего) равновесия с налогами (для любых благ k и k0, pk0 + tik0 ≠0):

(отношение предельных полезностей равно отношению цен с учетом налогов).

Как показывает сравнение дифференциальных характеристик равновесия и Паретооптимума, равновесие с налогами на потребление обладает следующим свойством: оно Парето-оптимально тогда и только тогда, когда для всех экономических субъектов отношения цен с учетом налогов, т.е. индивидуальных цен ptik = pk + tik, одинаковы. Назовем

такие налоги неискажающими.

Другими словами, налоги будут неискажающими, когда все вектора индивидуальных цен pti коллинеарны, т.е. для любой пары потребителей i1 и i2 существует множитель α, такой что

pti1 = αpit2.

В частности, неискажающую систему налогов можно получить, взяв ставки tik для всех благ k пропорциональными ценам pk (для каждого потребителя i). В терминах адвалорных

315

316

налогов это условие означает, что ставки τik для всех благ k одинаковы, т.е. τik = τis,k, s K. Будем называть такую систему налогов на потребление униформной.

Так, если рассмотреть экономику с производством, где предприятия не облагаются налогами, то для предприятий дифференциальная характеристика остается такой же, как в классической модели:

∂gj/∂yjk = pk . ∂gj/∂yjk0 pk0

Поэтому неискажающая система налогов должна быть такой, что индивидуальные цены потребителей pti пропорциональны рыночным ценам p. Очевидно, что такая система налогов окажется униформной.100

Следующую ниже теорему несложно сформулировать и для случая экономики с производством и налогами на производителей

Теорема 1.

Пусть (p, x-) — Парето-оптимальное равновесие с налогами на потребление t и трансфертами S, и

♦функции полезности, ui( ) дифференцируемы;

♦равновесие внутреннее в том смысле, что x-i int(Xi) i;

♦в равновесии градиенты всех функций полезности не равны нулю:

ui(x-i) ≠0, i I.

Тогда налоги t являются неискажающими101.

Доказательство.

Как и в случае классической модели, в задаче потребителя во внутреннем равновесии градиент его функции полезности коллинеарен вектору его индивидуальных цен pit. С другой стороны в Парето-оптимуме все градиенты функций полезности коллинеарны. Тем самым все pti коллинеарны, т.е. система налогов неискажающая.

*

В рассмотренной выше в Примере 1 экономике налоги не обязательно должны быть униформными по товарам, чтобы равновесие было оптимальным. Причина этого, заключается в том, что в данной экономике по сути дела ни один из потребителей не сталкивается с рыночными ценами p. Поэтому неправильно было бы выражать требование неискажающих налогов в терминах этих цен.

Чтобы избежать этой неоднозначности, ставки налога можно, например, нормировать таким образом, чтобы налоги на одного из потребителей были равны нулю. Тогда условие оптимальности будет выглядеть следующим образом:

100Если предприятия также облагаются налогами, то униформное налогообложение фактически эквивалентно налогу на прибыль. Неуниформное налогообложение тоже может быть неискажающим, но его пришлось бы реализовывать с помощью не только налогов, но и дотаций к ценам.

101Теорему несложно сформулировать и для случая экономики и доказать для случая экономики с производством и налогами на производителей

316

317

т.е. τ11 = τ12.

Заметим, что дифференцируемость функций полезности — существенное условие теоремы, так же как и условие внутренности равновесия. В иных случаях совпадение норм предельной замены любой пары благ в Парето-оптимуме не гарантировано, а оно является основой этой теоремы.

Докажем теперь, что для Парето-оптимальности равновесия достаточно, чтобы ставки налогов на потребление были неискажающими, Суть доказательства состоит в том, что при униформных ставках налогов на потребление эти налоги по сути эквивалентны аккордным налогам, и тем самым, аккордным трансфертам. А для экономики с трансфертами мы уже имеем доказательство оптимальности равновесия.

Теорема 2.

Пусть (p, x-) — равновесие с налогами на потребление, в котором налоги t являются неискажающими, и предпочтения потребителей локально ненасыщаемы. Тогда x- — Паре- то-оптимальное состояние экономики.

Доказательство.

Поскольку налоги являются неискажающими, то существует вектор p~, такой что он коллинеарен всем индивидуальным ценам: pit = αip~ (Например, в качестве p~ можно выбрать вектор индивидуальных цен первого потребителя). С учетом этого бюджетное ограничение i-го потребителя можно записать в виде

αi Ûp~kxik = αip~xi < βi k K

или

p~xi <βi/αi = (pωi + Si)/αi.

Рассматриваемому равновесию с налогами на потребление соответствует общее равновесие в классической модели с ценами p~ и трансфертами T~i, такими что

(pωi + Si)/αi = p~ωi + S~i.

Ясно, что при этом новое бюджетное ограничение i-го потребителя допускает приобретение тех же потребительских наборов, что и бюджетное ограничение в исходном равновесии с налогами. Для доказательства того, что (p~, x-) является равновесием в классической

модели, остается показать, что сумма трансфертов S~i равна нулю. Действительно, мы определили S~i так, что

S~i = (pωi + Si)/αi – p~ωi.

В равновесии с налогами бюджетное ограничение выполнено как равенство, поэтому

Si = pitx-i – pωi = αip~x-i – pωi.

отсюда

S~i = (pωi + αip~x-i – pωi)/αi – p~ωi = p~(x-i – ωi).

Сумма Ûi(xi – ωi) равна нулю по условиям равновесия, поэтому

ÛS~i=0

i I

317

318

По первой теореме благосостояния для классической модели x- является Паретооптимумом.

*

Задачи

1. Приведите пример оптимального равновесия с искажающими налогами на потребление. (Подсказка: рассмотрите потребителя с недифференцируемой функцией полезности).

Общее равновесие с налогами на покупку (продажу)

Вывод о преимуществах неискажающих налогов на потребление трудно применить на практике. Во-первых, здесь имеются те же сложности, что и с аккордными налогами, но в меньшей степени, поскольку бюджетные ограничения сжимаются пропорционально. Вовторых, невозможно наблюдать потребление некоторых благ, а следовательно и облагать налогом все блага, все сферы деятельности. Налоговые службы умеют облагать налогами покупаемые товары, но не изготовленные самими потребителями102, работу, но не досуг. Эти «перекосы» налогообложения приводят к неоптимальности.

Предположим, что в экономике производство отсутствует (т.е. будем рассматривать экономику обмена с трансфертами), и имеются только налоги на покупку благ и трансферты. (Ситуация, когда есть только налоги на продажу благ анализируется аналогично).

Если xik > ωik, то потребитель i покупает благо k, а если xik < ωik, то продает его.

Бюджетное ограничение потребителя в такой экономике можно записать следующим образом:

Û((pk + tik)[xik – ωik]+ + pk[xik – ωik]–) <Si,

k K

где мы использовали следующие обозначения:

[z]+ = z, z >0,

<

0, z 0,

[z]– = –z, z <0,

>

0, z 0.

При наличии производства доходы потребителя возросли бы на величину прибыли. Эту величину в приведенном ограничении следует прибавить к трансфертам.

Рис. 77 иллюстрирует это бюджетное ограничение в случае двух благ. На рисунке видно, что в рассматриваемой ситуации бюджетная линия имеет изгибы. Если нет трансфертов рассматриваемому потребителю, то изгиб один и совпадает с точкой начальных запасов (Рис. 77а). Слева от точки изгиба наклон бюджетной линии определяется отношением p1/(p2 + ti2), а справа — отношением (p1 + ti1)/p2. Решение задачи потребителя (при локальной ненасыщаемости) попадает либо на левую часть бюджетной линии (потребитель продает 1-е благо и покупает 2-е), либо на правую часть бюджетной линии (потребитель продает 2-е благо и покупает 1-е), либо на точку изгиба (нет торговли — потребитель остается с начальными запасами).

102 Если потребители могут сами производить какие-то блага, то модель потребителя следует дополнить производственной функцией.

318

Рисунок 77. Бюджетная линия потребителя, облагаемого налогами на покупки при разной величине трансфертов

Если трансферты потребителю не равны нулю, то бюджетная линия будет иметь две точки изгиба. В одной из точек изгиба xi1 = ωi1, в другой — xi2 = ωi2. Наклон левой и правой частей бюджетной линии определяются соотношениями p1/(p2 + ti2) и (p1 + ti1)/p2 соответственно. Наклон средней части бюджетной линии определяется соотношением p1/p2 при

Si < 0 и соотношением (p1 + ti1)/(p2 + ti2) при Si > 0.

Будем рассматривать экономику без производства (экономику обмена с трансфертами) и предполагать, что функции полезности дифференцируемы, в равновесии с налогами все цены и налоги положительны и равновесие внутреннее. Кроме того, будем предполагать, что в этом равновесии найдется некоторый потребитель i1, который покупает некоторое благо s и продает некоторое благо k.

Если один потребитель покупает некоторое благо, то найдется другой потребитель, который его продает (и наоборот). Поэтому найдется потребитель i2, который продает благо s.

Для потребителя i1 выполняется (без доказательства)

∂ui1/∂xi1s = ps + ti1s. ∂ui1/∂xi1k pk

С другой стороны, для потребителя i2, вообще говоря (без доказательства),

Из сопоставления дифференциальных характеристик для двух потребителей видим, что

∂ui1/∂xi1s > ∂ui2/∂xi2s. ∂ui1/∂xi1k ∂ui2/∂xi2k

Значит, это равновесие не оптимально по Парето.

Экономику с производством рассмотрим подробнее на частном примере.

Пример 2.

Пусть в экономике имеется 2 блага, один потребитель с функцией полезности u(x1, x2) и одна фирма с явной производственной функцией y1 = f(a), причем функции u( ) и f( ) дифференцируемы, и ∂u(x)/∂xk > 0 и f′(a) > 0. Второе благо — это время потребителя, которым он обладает в количестве ω и делит его между досугом x2 и трудом a = – y2 = ω–

319

320

x2. Запасы 1-го блага равны нулю, и оно только производится из 2-го. Предположим, что собранные налоги возвращаются потребителю, и он, кроме того, получает прибыль предприятия и заработную плату. Допустимые потребительские наборы задаются ограничениями x1 >0 и 0 <x2 <ω.

Рассмотрим равновесие с налогами на покупку. Поскольку покупается только первое благо, то только оно облагается налогом. Ставку этого налога обозначим t.

В данной модели возможны три типа равновесия: внутреннее равновесие (0 < x2 < ω) и два граничных равновесия: когда потребитель не работает (x2 = ω) и когда он не имеет досуга (x2 = 0). Случай x2 = 0 не будем анализировать как малоинтересный.

Предположим, что равновесие внутреннее. Тогда оно характеризуется следующими условиями:

∂u/∂x1 = p1 + t ∂u/∂x2 p2

и

1 p f′= p1.

2

Если t ≠0, то

∂u/∂x ≠ 1 ∂u/∂x1 f′,

2

и равновесие не оптимально по Парето. Это различие предельных норм замещения связано с тем, что отношения цен, с которыми сталкивается потребитель и фирма различаются.

Неоптимальность внутреннего равновесия иллюстрирует Рис. 78. В точке равновесия x- кивая безразличия I касается бюджетной линии B с наклоном (p1 + t)/p2. Заметим, что бюджетная линия обрывается при x2 = ω, и бюджетное множество имеет вид трапеции. В той же точке равновесия кривая производственных возможностей P имеет наклон p1/p2 (касательная показана штриховой линией B′). Стрелка показывает направление Паретоулучшения.

x2

ω a I

x-

B′

P

B

x1

Рисунок 78

Предположим теперь, что в равновесии потребитель не работает103. Тогда это равновесие характеризуется следующими условиями

103 Эта ситуация нереалистична при наличии всего одного потребителя, но позволяет продемонстрировать на простой модели эффекты, которые вполне возможны при наличии нескольких потребителей — часть потребителей может получать нетрудовые доходы. Во-первых, это могут быть государственные трансферты за счет налогов на других потребителей, во-вторых, это может быть прибыль принадлежащих им предприятий.

320