Бусыгин

421

Долевое финансирование с равновесием при голосовании простым большинством

Один из самых распространенных механизмов принятия общественных решений (процедур коллективного выбора) — это голосование.

При анализе голосования мы будем исходить из предпочтений потребителей на наборах общественных благ (при заданных рыночных ценах и структуре общественных расходов). Для этого рассмотрим следующие задачи:

где полезность максимизируется по x(2)i при заданной величине x(1). На основе этих задач предпочтения можно задать с помощью функции полезности u~i( ), сопоставляющей каждому набору общественных благ x(1) максимально достижимое значение полезности в данной задаче.

Одна из самых распространенных процедур — голосовании по правилу простого большинства.

Определение 6.

Пусть A — множество альтернатив и {}i}i — набор предпочтений i = 1, ..., m на A. Альтернатива -a A называется

шинства если не существует такой альтернативы a A, что она лучше a- по большинству предпочтений.

На основе этой процедуры можно предложить концепцию равновесия для экономики с общественными благами.

Определение 7.

Равновесие с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства есть набор (p-, x-, y-), такой что142

#(x-, y-) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

#для каждого потребителя x-(2)i является решением задачи (28) при ценах p, доходах

βi = p-ωi + Ûγij p-y-j + Si

j J

и объемах потребления общественных благ x(1) = x-(1);

#x-(1) — равновесие при голосовании по правилу простого большинства для альтернатив, заданных множеством наборов общественных благ X(1), и набора предпочтений, заданных функциями u~i( );

#каждая технология y-j является решением соответствующей задачи производителя (26) при ценах p-.

142 По-видимому, впервые голосование по поводу выбора объема общественного блага было проанализиро-

вано Говардом Боуэном в статье Howard R. Bowen, "The Interpretation of Voting in the Allocation of Economic Resources," Quarterly Journal of Economics, 58 (1943), 27-48

421

422

Выбор количества общественных благ с помощью голосования простым большинством сталкивается с двумя серьезными проблемами:

(1) Такое равновесие существует только при довольно ограничительных предположениях. Известный парадокс Кондорсе143 показывает, что, вообще говоря, при числе участников не менее трех (>3) равновесие при голосовании может не существовать даже при конечном числе альтернатив.

(2) Даже если равновесие существует, оно обычно не Парето-оптимально.

Существование равновесия при голосовании можно гарантировать в случае, когда предпочтения потребителей однопиковые.

Приведем определение понятия однопиковых предпочтений для частного случая, когда множество альтернатив A является подмножеством действительных чисел (этот случай соответствует экономике, в которой существует только одно общественное благо). Отношение предпочтения }i потребителя (на множестве альтернатив A) однопиковое, если вы-

полняются следующие условия:

(a)существует оптимальная с точки зрения потребителя i альтернатива a^i (альтернатива a^i такая, что a^i }i a для всех a A);

(b)если a1 <a2 < a^i, то a2 }i a1;

(c)если a1 >a2 > a^i, то a2 }i a1.

Проиллюстрируем сказанное на примере квазилинейной экономики. Пусть доля δi каждого потребителя в финансировании общественного блага постоянна и положительна. Тогда предпочтения потребителя i на множестве возможных вариантов потребления общественного блага задаются функцией

u~i(x) = vi(x) – δipx.

Будем считать, что для любого i функция u~i(x) достигает максимума на множестве неотрицательных чисел при любом положительном p. Обозначим это оптимальное с точки зрения потребителя i количество общественного блага x^i144. Тогда соответствующие предпочтения являются однопиковыми (при a^i = x^i) на множестве альтернатив A = [0, ∞).

Действительно, по построению величина x^i — максимум функции u~i(x) на множестве A.

Несложно также проверить, что, поскольку v′i(x), не убывает, эти предпочтения удовлетворяют условиям (b) и (c).

Заметим, что величину u~i(x^i) = vi(x^i) – δipx^i можно интерпретировать как потребительский излишек, соответствующий индивидуализированной цене общественного блага δip.

Заметим, что если предельные издержки v′i( ) являются непрерывной функцией, то x^i удовлетворяет соотношениям

143 Жан Антуан Кондорсе (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat marquis de Condorcet), 1743-1794 — француз-

ский математик и социолог.

В примере Кондорсе рассматриваются 3 участника, выбирающие из 3 альтернатив. Парадокс возникает, когда предпочтения заданы следующим образом:

a1 }1 a2 }1 a3, a3 }2 a1 }2 a2, a2 }3 a3 }3 a1.

144 Условие v′i(xi) →0 при xi →∞ гарантирует существование такого количества.

422

423

v′i(x^i) < δip,

причем, если x^i > 0, то

v′i(x^i) = δip .

Эти уравнения задают равновесие.

Возможное поведение оценок u~i(xi) объемов общественного блага для случая, когда m = 3, приведено на диаграмме:

Заметим, что в случае, когда m — нечетное число (m = 2s + 1), равновесие при голосовании имеет особо простую структуру. В этом случае равновесной является медиана из объемов x^i, то есть (s + 1)-й по порядку возрастания объем. (Если все величины x^i разные, ровно s = (m – 1)/2 потребителей предпочитает увеличить потребление общественного блага, а другие s потребителей желали бы его уменьшить). В приведенном на диаграмме примере это альтернатива x^2. Таким образом, равновесие при голосовании определяется предпочтениями медианного потребителя. Обозначим индекс такого потребителя через i*. Заметим, что i*, вообще говоря, зависит от цены общественного блага p, поскольку от p зависят функции u~i(x).

Учитывая сказанное, (внутреннее) равновесие на рынке общественного блага в состоянии равновесия с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства характеризуется следующим образом. Если -y — равновесный объем, а p — равновесная цена общественного блага, то

p = c′(y-) и x^i* = -y,

где i* — медианный потребитель при цене p.

В общем случае при нахождении равновесия для нахождения медианного потребителя нужно знать равновесную цену, которая, в свою очередь, зависит от медианного потребителя (желаемого им объема потребления общественного блага).

Но если предельные издержки производства общественного блага постоянны, то (во внутреннем равновесии) равновесная цена известна заранее — она равна предельным издержкам и i* — медианный потребитель при этой цене.

В общем случае найти медианного потребителя при «правильной» цене можно на основе следующего приема.

Заметим сначала, что поскольку p = c′(x^i* ), то величина x^i* является решением одного из следующих m уравнений

v′i(xi) = δic′(xi).

Предположим, что x-i* — медиана из рассматриваемых величин {x-i} — решений таких уравнений. Тогда x-i* является предпочитаемым медианным потребителем объемом по-

423

424

требления общественного блага (то есть x^i* = x-i*), а величина -p = c′(x-i*) — равновесной ценой общественного блага.

Для доказательства этого факта достаточно показать, что при цене -p = c′(x-i*) потребитель i* является медианным потребителем. Покажем это. Для каждого потребителя i, такого, что x-i<x-i*, величина c′(x-i ) не превышает величину равновесной цены p-= c′(x-i*). Поэтому предпочитаемое при цене p потребителем i количество общественного блага x^i* — решение уравнения v′i(xi) = δi-p — не превышает величину x-i. Таким образом x^i < x^i*. Аналогич-

ным образом показывается, что если x-i >x-i*, то x^i >x^i*. А это и означает, что потребитель i* является медианным при ценах -p = c′(x-i* )145.

С другой стороны, если предельные полезности, деленные на доли, v′i(xi)/δi, упорядочены одинаково вне зависимости от уровня общественного блага, то медианный потребитель не зависит от цены.

Сравним оптимальное количество общественного блага и его объем в равновесии при голосовании с долевым участием.

В особой ситуации, когда доли расходов равны предельным полезностям, соответствующим его оптимальному количеству, т.е. δi = v′i(x^), для всех участников выполнено соотношение: x^i = x^, т.е. x^ предпочитается всеми потребителями (а не только более чем их половиной) любой другой альтернативе.

Но при определении «правильных» долей финансирования мы должны опираться на приватную информацию о предпочтениях потребителей, т.е. решить проблему выявления предпочтений, трудности решения которой мы уже обсуждали и будем обсуждать ниже.

В общем случае мы можем ожидать как недопроизводства общественного блага (x^i*, x^ )), так и его перепроизводство.

Пусть, например, потребители финансируют общественное благо поровну, т.е. δi = m1 , где

число потребителей m нечетное. Тогда в равновесии при голосовании объем потребления общественного блага x^i* будет таким, что

vi′*(x^i*) = m1 c′(x^i*).

С другой стороны, оптимальный (по Парето) объем потребления общественного блага есть величина x^, такая что

m1 Ûv′i(x^) = m1 c′(x^).

i I

Таким образом, объем производства общественного блага в равновесии при голосовании с равными долями финансирования x^i* является оптимальным тогда и только тогда, когда средняя предельная полезность для этого количества равна предельной полезности медианного потребителя.

145 Величина c(x-i*) представляет собой равновесие при голосовании для величин общественных расходов (с индуцированными на множестве общественных расходов предпочтениями v~(r) = vi(c–1(r)). Таким образом, медианные общественные расходы и общественные расходы в равновесии определяют одну и ту же величину общественного блага, хотя и разные расходы по его финансированию (так как величина

px-i* = c′(x-i* )x-i*,

вообще говоря, отлична от величины c(x-i*)).

424

425

Легко придумать такой набор функций vi(x), что для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность больше предельной полезности медианного потребителя. В этом случае (при убывающей отдаче) можно доказать, что x^ > x^i*. Если бы x^ <x^i*, то

m1 c′(x^) = m1 Ûv′i(x^) > v~i′*(x^) >v~i′*(x^i*) = m1 c′(x^i*).

i I

Наоборот, если для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность меньше предельной полезности медианного потребителя, то x^ < x^i*. Если бы x^ >x^i*, то

m1 c′(x^) = m1 Ûv′i(x^) < v~i′*(x^) <v~i′*(x^i*) = m1 c′(x^i*).

i I

Пример 4 (продолжение Примеров 2 и 3).

В рассмотренном выше примере, когда

vi(xi) = 2αi lnxi и c(y) = y2,

имеем x^i* = mαi* и x^ = mα- , где α- = Ûi αi/m. Поэтому x^ >x^i* тогда и только тогда, когда

α- >αi*.

Пусть, например, αi = i, и m нечетно. Тогда

α- = αi* = i* = m2+ 1,

и объем производства общественного блага в равновесии при голосовании совпадает с оптимальным.

Если αi = i2, то

Поскольку α- > αi* при m > 1, то x^i > x^i*.

Если αi = exp(γi), то α- > αi* и x^i > x^i* при γ > 0 и α- < αi* и x^i < x^i* при γ < 0.

Долевое финансирование: равновесие с нерыночным (политическим) механизмом коллективного выбора

В этом параграфе мы охарактеризуем общие свойства равновесий с различными механизмами принятия коллективных решений об объемах производства общественных благ (согласования предпочтений потребителей относительно этих количеств). Одним из примеров таких механизмов является рассмотренный выше механизм голосования по правилу простого большинства.

Мы будем использовать следующее (общее) представление механизма принятия коллективных решений об объемах производства общественных благ.

Потребители могут влиять на общественное решение путем выбора значений некоторых «политических» переменных. Поэтому каждый механизм характеризуется множеством возможных значений политических переменных Zi (произвольной природы, т.е. это не обязательно действительные числа), правилом выбора их значений zi Zi каждым по-

425

426

требителем, а также процедурой принятия коллективного решения G(z1, ..., zm) относительно объемов производства общественных благ. Объем производства общественных благ x(1) X(1) выбирается так, что

x(1) = G(z1, ..., zm).

На выбор потребителя в данных моделях, в свою очередь, влияет размер бремени финансирования общественного блага. Будем, как и выше, рассматривать долевое финансирование, с априорно устанавливаемыми долями потребителей в финансировании общественного блага δik(xk).

Будем предполагать, что выбор каждого определяется из решения следующей задачи

xi Xi, zi Zi.

Функция τi(z1, ..., zm) отражает расходы потребителя связанные с политической деятельностью. Например, это могут быть расходы на подкуп должностных лиц, взносы в фонды политических партий.146

Определение 8.

Равновесие с долевым финансированием и процедурой принятия коллективного реше-

ния G(z1, ..., zm) есть набор (p-, x-, y-, z-), такой что

#(x-, y-) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

#для каждого потребителя пара x-i и -zi является решением соответствующей задачи потребителя (29) при ценах p- и доходах

βi = p-ωi + Ûγij p-y-j + Si;

j J

#каждая технология y-j является решением соответствующей задачи производителя (26) при ценах p-;

#сумма расходов на политику равна сумме трансфертов:

ÛSi = Ûτi(z1, ..., zm).

i I i I

Пример подобной конструкции можно построить на основе равновесия с голосованием простым большинством, рассмотренного в предыдущем параграфе. В таком равновесии переменными zi могут служить функции u~i( ). При этом следует предположить, что потребители не обязательно правдиво сообщают эти функции.

Простейший политический механизм может состоять в том, что участники высказывают свои заявки zi Ê+ на общественное благо, выраженные непосредственно в единицах этого блага, и действует какая-то схема «усреднения» этих заявок G(z1, ..., zm), удовлетворяющая естественному требованию, состоящему в том, что если бы все подали одинаковые заявки, то был бы выбран соответствующий объем общественного блага:

146 Для упрощения изложения мы не учитываем здесь другие формы влияния политических переменных на поведение и благосостояние потребителей. Можно было, например, ввести зависимость полезности потребителей от z.

426

427

G(z-, ..., -z) = -z.

Например, возможны такие схемы:

V1) среднее арифметическое: G(z) = Ûzi/m,

i I

V2) минимум: G(z) = min i zi , V3) максимум: G(z) = max i zi,

V4) медиана: G(z) = med(z1, ..., zm), где функция med( ) принимает значение среднего из упорядоченных по возрастанию чисел z1,...,zm, если же m четно, то среднего арифметического из двух средних. Это правило, как мы уже видели выше, практически тождественно в данном случае голосованию простым большинством.

Заметим, что для первых трех из этих схем при τi(z) = 0 z естественно ожидать равновесия, в котором один из потребителей обеспечивает себе желаемый уровень общественного блага. Так, При схеме V1 в типичном равновесии все потребители называют zi = 0, а один (тот, кто в сравнительно большей степени «любит» общественное благо) — zi = mxi, где xi — желательный для него объем общественного блага.

Задачи

24. Функции полезности двух потребителей равны u1 = G + x1 и u2 = 2 G + x2, где G и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Имеющаяся технология позволяет производить единицу общественного блага из 2 единиц частного. Первый потребитель несет долю δ расходов на общественное благо, а второй — 1 – δ.

(A) Вычислите долю δ, при которой достигается консенсус (по возможности, проиллюстрируйте на графике). Найдите соответствующее равновесие.

(B) Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу G = min(g1, g2), где gi >0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие в зависимости от параметра δ.

(C) Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.

25. Функции полезности двух потребителей равны u1 = ln G + x1 и u2 = 2 ln G + x2, где G и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Имеющаяся технология позволяет производить единицу общественного блага из единицы частного. Первый потребитель несет долю δ расходов на общественное благо, а второй — 1 – δ.

(A) Вычислите долю δ, при которой достигается консенсус (по возможности, проиллюстрируйте на графике). Найдите соответствующее равновесие.

(B) Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу M = max(g1, g2), где gi >0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие в зависимости от параметра δ.

(C) Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.

Механизм Гровса—Кларка

В этом параграфе мы продолжим анализировать долевое финансирование общественного блага и механизмы коллективного выбора уровня общественного блага.

427

428

Оказывается, что в частном случае, когда целевые функции квазилинейны, можно построить процедуру, корректно выявляющую предпочтения и функцию спроса на обществен-

ное благо. Это механизм Гровса—Кларка.

Вначале мы предложим традиционный анализ механизма Гровса—Кларка, отступив от равновесного подхода, которого мы последовательно придерживались до сих пор. А именно, будем предполагать, что рассматриваемое сообщество непосредственно контролирует производство общественного блага. Потребители, соответственно, принимая решение о потреблении общественного блага в объеме x, должны, в соответствие с используемой технологией, затратить c(x) единиц частного блага, а не величину px — его рыночную цену.

Позже мы вернемся к предположению о конкурентном производстве общественных благ и покажем, как можно вписать процедуру Гровса—Кларка в рамки равновесной модели, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Механизм Гровса—Кларка

(0) Априорно устанавливаются доли финансирования общественного блага δi(x) для каж-

дого возможного объема потребления общественного блага x (Ûδi(x) = 1 x X).

i I

(1) Потребители сообщают функции ϕi( ) Φi — их оценки общественного блага. Здесь Φi — множество возможных функций вида ϕi( ): X &Ê.

По замыслу процедуры функции ϕi( ) должны отражать чистые полезности при данной схеме финансирования от каждого уровня общественного блага, т.е.

ϕi(x) = vi(x) – δi(x)c(x),

но, вообще говоря, могут не совпадать с ними. Потребители в принципе могут манипулировать этими оценками с целью увеличения своего благосостояния; задача предлагаемого механизма как раз и состоит в том, чтобы побуждать потребителей сообщать истинные оценки.

Предполагается, конечно, что vi(x) – δi(x)c(x) Φi.

(2) Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную полезность:

x- argmax x Ûϕi(x),

i I

а также вычисляется максимальное значение суммарной чистой объявленной полезности, которая получается без учета мнения i-го потребителя:

V(i) = max x Ûϕj(x).

j ≠i

(3) Определяется налог Кларка на каждого потребителя за изменение коллективного выбора, равный убыткам остальных потребителей, рассчитанный на основе функций ϕi( ):

τi = V(i) – Ûϕj(x-).

j ≠i

Очевидно, что этот налог неотрицателен. Этот налог должен быть изъят из данной экономики.

В результате данной процедуры полезность i-го потребителя с точностью до константы определяется величиной

428

429

vi(x-) – δi(x-)c(x-) – τi.

В данной модели предполагается, что каждый потребитель максимизирует эту величину, выбирая сообщаемую функцию ϕi( ). При этом потребитель учитывает влияние этого выбора на выбранный объем общественного блага x- и на величину налога Кларка τi, которую он должен в результате выплатить. Однако предполагается, что потребитель не учитывает влияние выбора ϕi( ) на величину трансфертов, распределяющих налог Кларка. Мы будем предполагать, что это происходит по той причине, что таких трансфертов обратно рассматриваемым потребителям попросту не существует: налог Кларка выплачивается в частном благе и не перераспределяется, а должен быть изъят из данной экономики.

Можно заметить, что приведенное описание механизма Гровса—Кларка не является полным. Это, прежде всего, относится, к выбору уровня общественного блага. Во-первых,

поскольку не задано никаких ограничений на функции ϕi( ), то величины argmax x Ûϕi(x),

i I

V(i), значение которых фигурирует в спецификации механизма Гровса—Кларка, не обязательно существуют. Во-вторых, величина x- не задана однозначно (максимум не обязательно достигается в единственной точке), поэтому истинные чистые полезности потребителей не заданы однозначно.

Поэтому специфицируем механизм Гровса—Кларка более детально, указав формальное представление данного механизма в виде класса игр. Чтобы задать механизм Гровса— Кларка как игру, нам следует указать соответствующие множество игроков, множество их стратегий и функции выигрышей.

1.Множество игроков игры, соответствующей данному механизму, совпадает с множеством потребителей

2.Стратегии каждого игрока — это сообщаемые им оценки ϕi( ). В случае, когда множество возможных вариантов производства общественного блага не является конечным,

множества возможных стратегий Φi должны удовлетворять ограничениям, гарантирующим существование максимума суммы оценок, фигурирующих в описании механизма Гровса—Кларка. Например, в ситуации, когда x Ê+, достаточно потребовать, чтобы эти оценки были непрерывными функциями, которые могут принимать положительное значение лишь на компактном множестве [0, M], причем ϕi(0) = 0 i.

3. Поскольку условие x- argmax x Ûϕi(x) неоднозначно определяет объем общественного

i I

блага, а, следовательно, и возможные выигрыши участников, то для полноты спецификации игры мы должны указать правило выбора объема общественного блага x-= G({ϕi( )}i), такое, что

G({ϕi( )}i) argmax x Ûϕi(x).

i I

Выигрыш i-го потребителя тогда рассчитывается по указанным выше формулам при x-

= G({ϕi( )}i).

Теорема 4.

Истинная функция чистой полезности

ϕi(x) = vi(x) – δi(x)c(x) —

доминирующая стратегия для каждого потребителя в любой из игр, соответствующих механизму Гровса—Кларка.

429

430

Доказательство.

Пусть x- — уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит истинную чистую полезность, т.е. назовет ϕi(x) = vi(x) – δi(x)c(x), а x~ — уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит некоторую другую возможную функцию ϕ~i( ) Φi.

В первом случае его выигрыш будет равен

vi(x-) – δi(x-)c(x-) – V(i) + Ûϕj(x-),

j ≠i

во втором случае —

vi(x~) – δi(x~)c(x~) – V(i) + Ûϕj(x~).

j ≠i

Заметим, что значение V(i) не зависит от выбора потребителя i и в обоих случаях одинаково.

Первая величина не может быть меньше второй, поскольку по определению величины x- она выбирается так, что для любого x выполнено

ϕi(x-) + Ûϕj(x-) >ϕi(x) + Ûϕj(x),

j ≠i j ≠i

где ϕi(x) = vi(x) – δi(x)c(x), в том числе, это выполнено для x = x~.

*

Заметим, что равновесие в доминирующих стратегиях является также равновесием в смысле Нэша.

Таким образом, механизм Гровса—Кларка оказывается неманипулируемым в том смысле, что потребители не заинтересованы искажать объявляемые оценки с целью повлиять на выбор объема общественного блага в благоприятном для себя направлении. Заметим, что тот же механизм без налогов Кларка является манипулируемым. Это происходит потому, что (как и в любой ситуации с экстерналиями), каждый потребитель не учитывает влияния своих решений на благосостояние других потребителей.

Теорема 5.

Если все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т.е.

ϕi(x) = vi(x) – δi(x) c(x).

то уровень потребления общественного блага, определенный посредством механизма Гровса—Кларка, Парето-оптимален, то есть максимизирует общественное благосостоя-

ние W(y) = Ûi vi(y) – c(y).

Доказательство этого факта очевидно. Достаточно заметить, что если все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, то W(y) = Ûi ϕi(y).

Итак, естественно ожидать, что при использовании этой процедуры будет выбран оптимальный уровень общественного блага. Однако состояние такой экономики окажется неоптимальным в случае, когда хотя бы один потребитель выплачивает налог Кларка, поскольку такие налоги — чистые потери для данной экономики частного блага в размере, равной сумме налогов Кларка. При этом мы следуем интерпретации, что налоги изымаются, но не перераспределяются. (Если предположить, что налоги идут потребителям, кото-

430