Г Л А В А IV

Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии

§1. Введение

1.Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. В геометрии рассматриваются свойства фигур на плоскости и в пространстве. Эти свойства столь многочисленны и столь разнообразны, что необходим какой-то принцип классификации для того, чтобы внести порядок в обширное собрание накопленных знаний. Можно было бы, например, положить в основу классификации метод, применяемый при выводе получаемых утверждений. С этой точки зрения обыкновенно различаются «синтетические»

и«аналитические» процедуры. Синтетические доказательства существенно связаны с классическим аксиоматическим методом, идущим от Евклида: рассуждение строится на чисто геометрической основе, независимо от средств алгебры и концепции числового континуума, и все теоремы выводятся формально логическим путем, исходя из некоторого числа начальных положений, называемых аксиомами или постулатами. Другой метод подразумевает введение числовой координатной системы

ииспользует технический аппарат алгебры. Этот метод произвел глубокие изменения в самой математической науке, слив в одно органическое целое геометрию, анализ и алгебру.

В этой главе, однако, нас будет интересовать не столько классификация методов, сколько классификации содержания, т. е. сами по себе утверждения теорем, а не способы их доказательства. В элементарной геометрии плоскости резко различаются две группы теорем; в одних идет речь о равенстве фигур, об измерении отрезков и углов, в других — о подобии фигур, для которого существенно измерение углов, но не отрезков. Указанное различие не столь уж существенно, так как длины отрезков и величины углов довольно тесно связаны между собой и разделять их — несколько искусственно. (Изучение этой связи составляет главным образом предмет тригонометрии.) Отметим иную сторону дела. В элементарной геометрии мы имеем дело с величинами: отрезками, углами, площадями. Две фигуры там считаются эквивалент-

ными, если они конгруэнтны, т. е. могут быть переведены одна в другую посредством движения — преобразования, меняющего только положение фигуры, но не числовые значения величин, с ней связанных. Возникает вопрос: является ли значение величин — и вместе с тем конгруэнтность или подобие фигур — чем-то существенно неизменным в геометрии? Или же имеются иные, более глубоко лежащие свойства геометрических фигур, которые сохраняются также и при преобразованиях более общего типа, чем движения? Мы увидим, что такие свойства существуют.

Рис. 69. Сжатие окружности

Представим себе, что на прямоугольной доске, изготовленной из мягкого эластичного материала, нарисован круг с парой взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 69). Если мы положим эту доску в тиски и сожмем до половины ее первоначальной ширины, то окружность превратится в эллипс и углы между диаметрами уже не будут прямыми. Окружность обладает тем свойством, что все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от центра, но эллипс таким свойством не обладает. Могло бы показаться, что сжатие уничтожает все геометрические свойства первоначальной конфигурации. Но и это предположение далеко от истины: например, утверждение, что центр делит диаметры пополам, одинаково справедливо и для окружности, и для эллипса; в данном случае мы встречаемся с таким свойством фигуры, которое сохраняется при весьма резком изменении в размерах ее отдельных элементов. Сделанные замечания наводят на мысль о возможности классифицировать теоремы, относящиеся к той или иной геометрической фигуре, в зависимости от того, сохраняют ли они силу или теряют ее при равномерном сжатии (или растяжении). Можно поставить и более общий вопрос, исходя из некоторого данного класса преобразований фигуры (такого рода классы, например, порождаются совокупностью всех движений, или сжатий, или, скажем, круговых инверсий и т. д.); можно поинтересоваться тем, какие свойства фигуры остаются неизменными, когда фигура подвергается различным преобразованиям данного класса.

Система теорем, утверждающих такие свойства, составляет геометрию рассматриваемого класса преобразований. Идея классификации различных отраслей геометрии в соответствии с классами преобразований принадлежит Феликсу Клейну (1849–1925); она была высказана им в 1872 г. в его знаменитом выступлении, получившем широкую известность под названием «Эрлангенской программы». С тех пор эта идея оказала решающее влияние на направление многих геометрических исследований.

В главе V нам представится случай установить весьма удивительное обстоятельство, заключающееся в том, что некоторые свойства геометрических фигур заложены настолько глубоко, что не исчезают даже после совершенно произвольных деформаций: так, фигуры, нарисованные на куске резины, не потеряют кое-каких характеристических черт при самых разнообразных и самых резких деформациях. Но в настоящей главе мы займемся теми свойствами, которые сохраняются, «инвариантны» при некотором специальном классе преобразований, более широком, чем весьма ограниченный класс движений, но более узком, чем самый общий класс произвольных деформаций. Мы говорим о классе «проективных преобразований».

2. Проективные преобразования. Изучение относящихся сюда геометрических свойств было выдвинуто перед математиками в давнее время проблемами перспективы, которые изучались художниками, в том числе Леонардо да Винчи и Альбрехтом Дюрером. Изображение, создаваемое художником, следует рассматривать как проекцию оригинала на плоскость картины, причем центр проекции помещается в глазу художника. При проектировании — в зависимости от относительных положений различных изображаемых объектов — длины отрезков и углы неизбежно подвергаются искажениям. И тем не менее на картине обычно не представляет труда распознать геометрическую структуру оригинала. Как объяснить это обстоятельство? Нельзя объяснить иначе, как указав на наличие геометрических свойств, «инвариантных относительно проектирования»,— свойств, сохраняющихся на картине и делающих возможным узнавание нарисованного оригинала. Отыскание и анализ этих свойств составляют предмет проективной геометрии.

Совершенно ясно, что в этой отрасли геометрии не содержится положительных утверждений, относящихся к длинам отдельных отрезков или к величинам отдельных углов; не идет речь и о равенстве фигур. Некоторые изолированные факты, касающиеся проективных свойств, были известны уже в XVII в., а иногда, как в случае «теоремы Менелая», даже в древности. Но систематические исследования в области проективной геометрии развернулись впервые лишь к концу XVIII столетия,

´

когда знаменитая Ecole Polytechnique в Париже открыла новую страницу в истории математики, в частности геометрии. Эта школа, создан-