§5. Применения

тивного класса, так как по самому определению проективные свойства сохраняются при проектировании. Таким образом, любая проективная теорема (т. е. теорема, говорящая только о проективных свойствах), которая верна для фигуры F , будет также верна для любого «представителя» проективного класса этой фигуры, и обратно. Поэтому, чтобы доказать такую теорему для F , достаточно доказать ее для некоторого «представителя» проективного класса F . Мы можем воспользоваться указанным обстоятельством и выбрать такого «представителя», для которого доказательство проще, чем для самой фигуры F . Например, произвольные две точки A, B плоскости p могут быть спроектированы в бесконечность из данного центра O, если проектировать на плоскость, параллельную плоскости, проходящей через точки O, A, B; прямые, проходящие через A или через B, при этом превратятся в семейства параллельных прямых. Именно такое предварительное преобразование мы выполним при доказательстве проективных теорем, которыми займемся в этом параграфе.

B

B

C D

O

A

D A C O

Рис. 86. Подобие треугольников, образованных параллельными прямыми

В дальнейшем нам придется воспользоваться следующим обстоятельством, относящимся к параллельным прямым. Пусть две прямые, проходящие через точку O, пересекаются прямыми l1 и l2 в точках A, B, C, D, как показано на рис. 86. Если прямые l1 и l2 параллельны, то

OCOA = ODOB ; и обратно, если выполнено последнее соотношение, то пря-

мые l1 и l2 параллельны. Доказательство, вытекающее из элементарных свойств подобных треугольников, предоставляется читателю.

2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. Докажем теперь, не прибегая к пространственному проектированию, что если два треугольника ABC и A0B0C0 расположены на плоскости так, как изображено на рис. 72, т. е. если прямые, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в одной и той же точке, то точки пересечения соответствующих сторон P , Q, R лежат на одной прямой. Для этого прежде всего спроектируем чертеж таким образом, чтобы точки Q и R ушли в бесконечность. После такого проектирования прямая A0B0 станет параллельна прямой AB, а прямая A0C0 — прямой AC (рис. 87).

Как было отмечено в пункте 1 настоящего параграфа, чтобы доказать теорему Дезарга в общем случае, достаточно доказать ее только для

случая рассматриваемой здесь частной конфигурации. Именно, достаточно показать, что точка P пересечения сторон BC и B0C0 также уйдет в бесконечность, т. е. что прямая B0C0 параллельна прямой BC: тогда точки P , Q, R будут коллинеарны (так как все три будут лежать на бесконечно удаленной прямой). Обратим внимание на то, что

Поэтому uv = xy , а отсюда следует BC k B0C0, что и требовалось доказать.

Следует отметить, что приведенное доказательство теоремы Дезарга опирается на математическое понятие длины отрезка. Таким образом, проективная теорема доказана в данном случае метрическими средствами. Другое заслуживающее внимания обстоятельство заключается в следующем. Мы указывали раньше (стр. 198), что понятию проективного преобразования может быть дано «внутреннее» определение («проективное преобразование плоскости — такое, которое оставляет инвариантными все двойные отношения»): отсюда вытекает, что теорема Дезарга способна быть сформулирована и доказана без выхода в пространство, т. е. без использования трехмерных представлений и построений.

Упражнение. Докажите подобным же образом теорему, обратную дезарговой: если треугольники ABC и A0B0C0 таковы, что P , Q, R коллинеарны, то прямые AA0, BB0, CC0 конкуррентны.

1На стр. 230 будет рассмотрена более общая теорема этого же типа. Настоящий частный случай связывается также с именем Паппа Александрийского (III столетие до нашей эры).