ко возможно большой. Решением такой задачи служит путь по большому кругу, проходящему через P к Q, но обвивающийся вокруг сферы таким образом, чтобы пройти через точки, диаметрально противоположные P и Q, ровно n раз.

Эта минимаксная проблема является типичным примером для обширного класса вопросов из области вариационного исчисления, с полным успехом изученных в последнее время с помощью методов, предложенных Морсом и другими авторами.

§11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками

1.Введение. Обыкновенно бывает очень трудно, а иногда даже невозможно, решить вариационную проблему явно с помощью формул или геометрических построений, включающих простые, известные элементы. Вместо того часто удовлетворяются одним лишь доказательством существования решения при тех или иных условиях и затем исследуют его свойства. Во многих случаях, если доказательство существования оказывается более или менее затруднительным, бывает полезно реализовать математические условия проблемы посредством соответствующих физических приспособлений, рассматривая таким образом математическую проблему как эквивалентную некоторой физической задаче. Само физическое явление в таких случаях предоставляет решение математической проблемы. Само собой разумеется, что подобного рода процедуру следует трактовать не как полноценное математическое доказательство, а только как «наводящую» (эвристическую): в самом деле, при этом остается открытым вопрос о том, является ли математическая интерпретация строго адекватной физическому явлению или же дает лишь несовершенное отображение реальной действительности. Иногда относящиеся сюда эксперименты, хотя бы они были воображаемыми, бывают способны воздействовать убеждающе даже на математиков. В прошлом столетии ряд фундаментальных теорем из области теории функций был открыт Риманом на основе придумывания простейших экспериментов, касающихся потока электричества в металлических листах.

В дальнейшем мы имеем в виду рассмотреть — на экспериментальнодемонстративной основе — одну из более глубоких вариационных проблем. Речь идет о так называемой проблеме Плато. Плато (1801–1883), известный физик, по национальности бельгиец, занимался интересными опытами, имеющими ближайшее отношение к этой проблеме. Сама по себе проблема гораздо старше по возрасту и относится к эпохе возникновения вариационного исчисления. В простейшей формулировке содержание ее таково: найти поверхность наименьшей площади, ограничен-

ную данным замкнутым пространственным контуром. Мы рассмотрим также эксперименты, относящиеся к некоторым близким проблемам, и убедимся, что это позволит увидеть в новом свете как некоторые из приведенных выше экстремальных проблем, так и ряд экстремальных проблем нового типа.

2. Опыты с мыльными пленками. В математической постановке проблема Плато приводит к решению «дифференциального уравнения в частных производных» или же системы таких уравнений. Эйлер установил, что всякая «минимальная» поверхность, решающая эту проблему, если только не сводится к плоскости, непременно должна быть во всех своих точках «седлообразной» и что ее средняя кривизна всюду должна равняться нулю1. В течение последнего столетия решение было получено во множестве частных случаев, но существование решения в общем случае было доказано лишь недавно Дж. Дугласом и Т. Радо.

Опыты Плато непосредственно дают физические решения для самых разнообразных контуров. Если замкнутый контур, сделанный из проволоки, погрузить в жидкость со слабым поверхностным натяжением и затем вынуть оттуда, то увидим пленку, натянутую на контуре в форме минимальной поверхности с наименьшей площадью. (Предполагается, что можно пренебречь силой тяжести и другими силами, препятствующими стремлению пленки достигнуть устойчивого равновесия; последнее же наступает в том случае, если площадь пленки оказывается наименьшей, так как потенциальная энергия, возникающая вследствие поверхностного натяжения, при этом условии минимальна.) Вот хороший рецепт для получения такой жидкости: растворите 10 г чистого сухого олеата натрия в 500 г дистиллированной воды и затем смешайте 15 кубических единиц раствора с 11 кубическими единицами глицерина. Пленки, получаемые из указанной смеси на каркасах из латунной проволоки, сравнительно устойчивы. Сами каркасы не должны превышать 5–6 дюймов в диаметре.

С помощью пленок очень легко «решить» проблему Плато: достаточно придать проволочному каркасу нужную форму. Красивые модели поверхностей получаются на полигональных каркасах, образованных из последовательностей ребер правильных многогранников. В частности, любопытно погрузить в наш раствор каркас куба весь целиком. То-

1Средняя кривизна поверхности в точке P определяется следующим образом. Вообразим перпендикуляр к поверхности в точке P и все плоскости, через него проходящие. Эти плоскости пересекаются с данной поверхностью по кривым, которые в точке P имеют, вообще говоря, различную кривизну. Рассмотрим, в частности, кривые, обладающие наибольшей и наименьшей кривизной (соответствующие секущие плоскости, как можно доказать, перпендикулярны между собой). Полусумма этих двух кривизн и есть средняя кривизна поверхности в точке P .

§ 11 ОПЫТЫ С МЫЛЬНЫМИ ПЛЕНКАМИ 415

гда получается система поверхностей, пересекающих друг друга под углом в 120◦. (Если куб вынимать из раствора очень осторожно, то мож-

ных поверхностей была изучена не только для одного ограничивающего контура, но

и для системы таких контуров; кроме того, было обращено внимание и на возможность образования минимальных поверхностей более сложной топологической структуры. Так, существуют односторонние

то вместо поверхности, топологически эквивалентной диску, получается односторонняя лента Мёбиуса. Обратно, можно производить

416 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII

деформацию, исходя из контура, изображенного на чертеже, с натянутой на него пленкой в виде ленты Мёбиуса. Для осуществления непрерывной деформации следует припаять к каркасу рукоятки (см. тот же рисунок). В процессе обратной деформации наступает момент, когда внезапно топологический характер пленки меняется и возникает снова поверхность типа диска (рис. 242). Опять, обращая деформацию, мы вернемся к поверхности Мёбиуса. Заме-

из них — обыкновенный круговой диск, плоскость которого параллельна плоскостям граничных окружностей (рис. 243). Уничтожая этот диск, мы получим, далее, классический катеноид (поверхность, образуемую вращением цепной линии, о которой шла речь на стр. 404, около прямой, перпендикулярной к оси симметрии). При раздвигании граничных контуров наступает момент, когда двусвязный катеноид лопается и превращается в два отдельных диска. Указанный процесс, конечно, необратим.

3. Еще один замечательный пример доставляется каркасом, изображенным на рис. 244–246; на этот каркас могут быть натянуты три различные минимальные поверхности. Одна из них (рис. 244) имеет род 1, тогда как две другие односвязны и в некотором смысле обладают свойством взаимной симметрии. Две последние поверхности имеют одну и ту же площадь, если только контур вполне симметричен. Но в противном случае только одна из поверхностей обеспечивает абсолютный минимум площади, тогда как другая — только относительный (мы предполагаем при этом, что минимум разыс-

также трансформировать одну из односвязных поверхностей в поверхность рода 1. Для этой цели нужно сблизить между собой те части

Рис. 247. Односторонняя минимальная поверхность более сложной топологической структуры, натянутая на простой замкнутый контур

более сложные модели в таком же роде и подвергнуть их экспериментальному исследованию.

Интересное явление — возникновение минимальных поверхностей, ограниченных двумя или большим числом взаимно зацепленных замкнутых контуров. В случае двух круговых контуров получается поверхность, изображенная на рис. 248. Если в этом примере плоскости кругов взаимно перпендикулярны и прямая их пересечения есть общий диаметр

двух кругов, то существуют две диаметрально противоположные формы минимальной поверхности с одинаковыми площадями. Представим себе теперь, что два круга постепенно изменяют свое взаимное положение; тогда и форма минимальной поверхности будет меняться непрерывно, хотя при каждом положении кругов только для одной из поверхностей осуществляется абсолютный минимум, для другой же — только относительный. При некоторых положениях поверхность относительного минимума вдруг разрывается и заменяется поверхностью абсолютного минимума. Обе минимальные поверхности в этом примере — одного и того же топологического типа (как и поверхности на рис. 245 и 246).

4. Экспериментальные решения других математических проблем. Благодаря действию поверхностного натяжения жидкая пленка только при том условии может находиться в состоянии устойчивого равновесия, если площадь образуемой поверхности минимальна. Это обстоятельство является неистощимым источником экспериментов

Мы можем использовать последнее отмеченное обстоятельство для наглядного решения проблемы Штейнера и ее обобщений (см. § 5). Пусть две параллельно расположенные стеклянные поверхности (или гладкие плитки) соединены тремя или б´ольшим числом перпендикулярно стоящих стержней. Если погрузить всю такого рода систему в мыльный раствор, затем вынуть, то пленка образует между плоскими поверхностями ряд вертикальных полос, связывающих между собой стержни. Проекция этих полос на горизонтальные плоскости есть не что иное, как решение проблемы Штейнера, рассмотренной на стр. 376–377.

Если две плоские поверхности не параллельны или стержни к ним не перпендикулярны, или сами поверхности не являются плоскими, то кривые, по которым пленки пересекаются с поверхностями, не будучи пря-

420 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII

мыми линиями, смогут иллюстрировать решение новых вариационных проблем.

Появление кривых, по которым смыкаются под углами в 120◦ различные минимальные поверхности, может рассматриваться как простран-

полученную (жестко укрепленную) систему в мыльный раствор. Предположим для определенности, что одна из трех кривых есть прямолинейный отрезок, две другие — взаимно конгруэнтные круговые дуги. То, что получается, изображено на рис. 251. Если плоскости дуг образуют между собой угол меньше 120◦, мы получим решение минимальной проблемы в виде трех поверхностей, смыкающихся под

Рис. 251. Три пересекающиеся под углом и 120◦ поверхности, натянутые на три проволоки, соединяющие две точки

270pt

Рис. 256–257. Демонстрация изопериметрических свойств фигур с помощью мыльных пленок

следующим условиям: найти треугольник, составленный из круговых дуг и имеющий данную площадь, по условию, чтобы сумма его периметра и трех отрезков, соединяющих вершины с тремя данными точками, была минимальной.

Помещая мыльный пузырь внутрь кубического проволочного каркаса, в случае если объем пузыря окажется больше, чем объем куба, мы получим поверхности постоянной средней кривизны с квадратными основаниями. Высасывая воздух из пузыря через соломинку, будем иметь целую цепь красивых структур, приводящих, в конце концов, к такой, какая изображена на рис. 258. Явления устойчивости и переход от одного состояния равновесия к другому порождают эксперименты, которые в математическом отношении нельзя не назвать весьма поучительными. Таким образом, возникает наглядная иллюстрация к теории стационарных значений; непрерывная цепь переходов от одного состояния равновесия к другому может быть выбрана таким образом, что в ее состав войдет состояние неустойчивого равновесия, все же являющееся «стационарным состоянием».

424 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII

Рассмотрим в качестве примера кубическую структуру на рис. 240. Мы видим здесь нарушение симметрии: в центре куба имеется вертикальная площадка, смыкающаяся с двенадцатью поверхностями, идущими от ребер куба. Но тогда, как нетрудно понять, должно существовать еще по меньшей мере два положения равновесия: одно с вертикальной (иначе расположенной) и другое с горизонтальной площадкой в центре. Чтобы на самом деле реализовать переход от одного положения равновесия к другому, нужно дуть через соломинку на ребра центральной

площадки: при этом удается центральную площадку превратить в точку — центр куба, но полученное таким образом состояние равновесия не бу-

дет устойчивым и немедлен-

но же перейдет в иное устой-

чивое состояние, причем цен-

тральная площадка снова воз-

никает, хотя и повернувшись

на 90◦.

Подобный же эксперимент можно произвести и с мыльной пленкой, демонстрирующей решение проблемы Штейнера для случая четырех точек, помещенных в вершинах

Рис. 258. Пленки на кубическом каркасе

квадрата (рис. 219, 220). Если бы мы пожелали по-

лучить решение только что рассмотренных проблем как предельный случай цепи изопериметрических проблем, например, если бы мы хотели получить рис. 240 из рис. 258, нужно было бы понемногу высасывать воздух из центрального пузыря. Структура, изображенная на рис. 258, строго симметрична, и в пределе, когда объем центрального «кубика» обращается в нуль, получается также строго симметричная структура из 12 плоских треугольников с общей вершиной в центре. Этого в самом деле можно добиться. Но возникающее предельное положение равновесия не является устойчивым: внезапно оно сменяется одним из трех положений, изображенных на рис. 240. Все явления можно наблюдать вполне отчетливо, если раствор сделать несколько более вязким, чем было указано в нашем рецепте. Перед нами возникает яркая картина, показывающая, что даже в проблемах из области физики решение не всегда находится в непрерывной зависимости от начальных данных: в самом деле, в предельном случае, когда объем воздуха, заключенного в «кубическом» пузыре, обращается в нуль, решение, изображенное на рис. 240,

не является предельным для цепи решений, изображенных на рис. 258, возникающих для различных объемов e, когда e стремится к нулю.