Эконометрика. Тихомиров

Установлено, что t не коррелированны и гомоскедастичны. Получены оценки a=0,3 и b=0,7.

Требуется:

1.Представить исходную модель в виде геометрической модели с распределенными лагами.

2.Определить реакцию дохода в году t0+3, если денежная масса в году t0

увеличилась на 1 единицу.

ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

6.1. Стационарные временные ряды

Широкий круг социально-экономических, технических и естественнонаучных процессов часто представляется набором последовательных значений показателя у1, у2,..., уt,..., уТ, зафиксированных в равноотстоящие друг от друга моменты времени t=1,2,... Т, так что интервал

(t, t+1) является постоянным. Этот набор значений уt, t=1,2,... обычно называется временным рядом (временной серией). Такой ряд представляет собой дискретный временной процесс.

Изменения значений уt во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием каких-либо причин, факторов. Однако в силу их многочисленности, сложности измерения, неразработанности теоретических предположений относительно взаимосвязей с переменной у и т. п. обосновать

ипостроить “подходящую” для описания процесса уt, t=1,2,...

многофакторную эконометрическую модель классического типа не всегда представляется возможным. В результате в отношении ряда уt часто выдвигается предположение, что совокупное влияние этих факторов формирует как бы внутренние закономерности в развитии процесса уt, что дает возможность применить для его описания эконометрическую модель из специфического класса моделей временных рядов.

Модели временных рядов активно применяются в исследованиях динамики значительного числа реальных процессов различной природы. Они часто используются в исследованиях динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, миграционных процессов в человеческом и биологических сообществах, в радиотехнике, анализе химических процессов, моделировании природных событий: динамики числа солнечных пятен, природных катастроф и многих других процессов.

Самое широкое применение модели временных рядов нашли в исследованиях финансовых рынков, в анализе динамики финансовых

показателей, прогнозировании цен на различные товары, курсов акций,

соотношений курсов валют и т. п.

Пожалуй, общим для всех моделей временных рядов является предположение о том, что текущее значение процесса yt в значительной степени предопределено его предысторией, т. е. величина показателя yt

генерируется значениями yt–1, yt–2,... согласно характерным для этого временного ряда закономерностям. Математически это допущение может быть выражено следующим общим уравнением:

где, как и ранее, t представляет собой ошибку модели в момент t.

Функция f как раз и выражает характер взаимосвязей, сложившихся в рассматриваемом временном ряду уt, t=1,2,... При удачном подборе этой функции правая “детерминированная” часть выражения (6.1) будет в некотором смысле “близка” к реальным значениям этого ряда. Как и ранее

“степень близости” обычно устанавливается по характеристикам и свойствам ряда ошибки t, t=1,2,... Здесь имеется в виду прежде всего минимальная дисперсия, соответствие белому шуму и т. п.

рядов и анализа их основных свойств и будут рассмотрены в данной главе.

Линейные модели временных рядов применяются, как правило, для описания стационарных процессов. При этом обычно имеются в виду стационарные процессы второго порядка. Напомним, что стационарный процесс п-го порядка характеризуется постоянными значениями всех своих моментов порядка п и ниже на всех временных отрезках, входящих в интервал t=1,2,..., Т. У строго стационарных процессов постоянными являются моменты всех порядков. Таким образом, для любых двух интервалов времени (Т1, Т2) и (Т3, Т4) для стационарного процесса второго

должны выполняться условия, характеризующие равенство на рассматриваемых интервалах математических ожиданий, дисперсий и однопорядковых коэффициентов автокорреляций исследуемого процесса. На практике это означает, что для соответствующих оценок перечисленных показателей должны иметь место следующие соотношения:

значение процесса (оценка математического ожидания) на интервале (1,Т);

D(y) – оценка дисперсии процесса на интервале (1,Т).

Заметим, что на практике равенства (6.2)–(6.4) рассматриваются в

в точности не выполняться. Однако гипотеза о постоянстве математического

удовлетворяют соответствующему статистическому критерию.

Для проверки соответствия реального временного ряда уt, t=1,2,...

стационарному процессу, т. е. для проверки выполнимости условий (6.2)– (6.4), обычно используются соответствующие тесты. При этом в некоторых случаях для одного и того же условия возникает необходимость применять несколько тестов, если по результатам одного теста нельзя вывести суждение о безусловной истинности или ложности выдвинутой гипотезы. Все

множество таких тестов разделяется на три основные группы:

непараметрические, полупараметрические и параметрические тесты.

Непараметрические тесты не выдвигают заранее каких-либо сведений о законе распределения тестируемого временного ряда, его параметрах. Они исследуют взаимосвязи между порядками следования образующих его значений, выявляют наличие или отсутствие закономерностей в продолжительности и (или) чередовании их серий, образованных, например,

последовательностями единиц совокупности с одинаковыми знаками, сменой знаков у этих единиц и т.п.

Полупараметрические тесты обычно используют относительно слабые предположения о характере распределения значений временного ряда. Они,

например, относятся к общим свойствам функции распределения приростов значений ряда –симметричности, расположения квантилей. Оценки параметров распределения в таких тестах определяются по порядковым статистикам: среднее по медиане, среднеквадратическое отклонение – по размаху (абсолютной разнице между наибольшим и наименьшим значениями ряда) и т. п.

Параметрические тесты применяются при относительно строгих предположениях относительно законов распределения временного ряда, его параметров. Они, как правило, оценивают меру близости между эмпирическими характеристиками распределения временного ряда и их теоретическими аналогами. На основании величины этой меры делается вывод о целесообразности принятия или отвержения гипотезы о соответствии свойств рассматриваемого ряда стационарному процессу.

Рассмотрим некоторые достаточно часто используемые на практике тесты на стационарность более подробно.

6.1.1. Параметрические тесты стационарности

Из определения стационарного процесса второго порядка,

формализованного с помощью выражений (6.2)–(6.4), непосредственно

2=Т1+Т2+...+Тn–п, то гипотеза о постоянстве математического ожидания временного ряда на всем интервале (1,Т) принимается с вероятностью р*. В

противном случае она отвергается.

Тестирование дисперсии.

Проверка гипотезы о постоянстве дисперсии временного ряда уt, t=1,2,...,Т

в случае разбиения исходного интервала на две части обычно осуществляется с использованием двухстороннего критерия Фишера. Обязательным условием при этом также является нормальный закон распределения значений уt .

Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей

формуле:

Если для заданного уровня доверительной вероятности р* оказывается, что значение F удовлетворяет неравенству

то гипотеза о постоянстве дисперсии временного ряда может быть принята, т.

вероятностью р*.

критерия Фишера для проверки гипотезы о постоянстве его дисперсии рекомендуется использовать стандартизованное нормальное распределение.

В первом случае, т. е. при средних выборках, принимается во внимание, что закону N(0,1) подчиняется случайная величина, определяемая как

Во втором случае (при больших выборках) расчетное значение стандартизованной случайной величины оценивается следующим образом:

В обоих случаях, если оказывается справедливым соотношение