Эконометрика. Тихомиров

терминологии, по-прежнему, t будем называть ошибкой. Обычно при всех версиях ГСБ предполагается, что t N(0, 2), либо она распределена по стабильному закону с нулевым средним.

Для ГСБ-1 2=const, для ГСБ-2 2= t2, что означает изменчивость дисперсии во времени, но в то же время ряды t2, t–12, t–22,... являются статистически независимыми. При ГСБ-3 в отношении 2 могут быть выдвинуты различные предположения.

Рассмотрим некоторые общие закономерности динамики цены,

вытекающие из выражения (7.18).

Подставляя в (7.18) последовательно значения t=1,2,... получим

следующую последовательность значений цен:

В силу независимости ошибок 0, 1, 2,... и равенства нулю их математического ожидания из последовательности (7.19) непосредственно вытекает, что при m условное математическое ожидание цены в момент Т на ее значение Y0, зафиксированное в момент t=0, является линейной функцией от времени

M[YТ/Y0]=Y0+m Т. (7.20)

Аналогично, в силу независимости ошибок t, t=1, 2,...; несложно показать,

что условная дисперсия цены YT на ее значение Y0 определяется как сумма квадратов ошибки .

D(YТ/Y0)=M[Yt –M(Yt /Y0)]2=M[ 0+ 1+... Т–1 ]2=

Знание специфических свойств процесса изменения финансового показателя позволяет подобрать (построить) адекватную его закономерностям математическую модель, которая более точно описывает исходный ряд Yt, а, следовательно, и обладает лучшими предсказательными способностями в отношении его будущих значений Yt+1, Yt+2,... по сравнению с другими вариантами моделей.

Выявление этих свойств прежде всего предполагает умение соотносить свойства рассматриваемого процесса с какой-либо из версий ГСБ. Решение этой непростой проблемы обычно осуществляется с помощью специальных тестов, которым подвергается исходный ряд цен Yt, t=0, 1, ... или какие-либо его производные характеристики (доходы, логарифмы цен, их приросты и т.

п.).

7.3. Тестирование финансовых процессов

Для выявления соответствия свойств реального финансового процесса какой-либо из версий гипотезы случайного блуждания, каждая из которых в свою очередь характеризуется специфической формой ортогонального условия (7.15), обычно применяются специальные тесты. Поскольку финансовые процессы являются временными рядами, то в целом,

группировка таких тестов аналогична группировке, рассмотренной в главе

VI. Иными словами, все множество тестов разделяется на три группы:

параметрические, полупараметрические и непараметрические. Более того,

многие из рассмотренных в главе VI тестов могут быть использованы и в анализе финансовых процессов, разумеется с учетом их особенностей.

Основными из них являются большая продолжительность временного ряда,

что позволяет использовать асимптотические оценки; не обязательно нормальное распределение приростов (ошибки), что сужает возможности

применения параметрических тестов.

Как и для временных рядов в целом при тестировании финансовых

процессов достаточно широкое распространение получили

математическим ожиданием. Они могут быть как положительными, так и отрицательными (включим в последнее множество и нулевые значения ошибки). Обозначим через It случайную переменную, принимающую только значения 0 или 1 при следующих условиях:

Тест Коулса-Джонса основан на сопоставлении числа пар значений t, t+1

содинаковыми (положительными или отрицательными) знаками с

Несложно убедиться, что на каждой паре It и It+1 Аt принимает значение либо 0 (если It и It+1 имеют разные значения), либо 1 (если значения It и It+1

совпадают). Тогда для любой последовательности t, t=0,1,2,..., Т, число NS,

рассчитанное как

представляет собой количество пар значений ошибки t и t+1, имеющих одинаковый знак, а число Nr , определяемое как

количество смен знаков у ошибки.

Если ГСБ справедлива, то при =0 и дополнительном предположении о симметричности распределения ошибки, числа NS и Nr должны быть приблизительно равными, а, следовательно, и их отношение

будет достаточно близким к единице. При достаточно больших значениях Т этот вывод является следствием теоремы Чебышева, вытекающим из представления (7.31) в виде отношения частот S=NS/Т и r=Nr/Т, S=1– r,

которые при Т определяют вероятности последовательностей t и t+1 с

одинаковым знаком и смены знаков у этих значений ошибки соответственно

величины SR к ее математическому ожиданию, в данном случае равному единице.

Заметим, что NS является случайной переменной, сформированной как сумма Т случайных величин Аt, распределенных по закону Бернулли на множестве 1 и 0. Закон распределения Аt с ростом Т приближается к нормальному. Причем, поскольку для ошибки, определенной по формуле

является нормальным с математическим ожиданием, стремящимся к

Таким образом, проверка ГСБ с использованием теста Коулса-Джонса при небольших значениях Т состоит в установлении факта принадлежности расчетного значения NS /Nr следующему интервалу:

стандартизованное нормальное распределение, согласно которому ГСБ принимается, если выполняется следующее соотношение:

Тогда, очевидно, что соотношение этих двух вероятностей окажется больше единицы

Математическое ожидание случайной переменной NS, как и в предыдущем случае определяется согласно распределению Бернулли, т. е. М[NS ]=S Т.

Однако при определении дисперсии этой случайной величины следует учитывать, что в каждой паре переменные Аt и Аt+1 зависимы между собой. В

этом случае значение определяется следующим выражением

где ковариация двух последовательных случайных величин Аt и Аt+1

рассчитывается согласно следующей формуле (см. приложение 1 к главе

VII):

Коулс и Джонс показали, что случайная переменная SR из выражения

(7.42) при больших значениях Т распределена приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией,

определяемыми следующими выражениями соответственно (см. приложение

3 к главе VII):