Эконометрика. Тихомиров
.pdf
удобны с точки зрения статистического анализа. В частности, усредненный за k периодов доход в этом случае рассчитывается как среднегеометрическое значение.
Вместе с тем, математическая статистика и эконометрика в большей степени оперирует среднеарифметическими показателями. Такую возможность представляет использование логарифмов доходов, которые называют “непрерывно составными доходами” (continuously compounded returns). Обозначим логарифмический доход в момент t через qt=ln(1+Rt)=ln
Qt. Легко видеть, что между его уровнем qt и исходными ценами существует достаточно простая взаимосвязь, выражаемая следующим соотношением
q ln |
Y t |
y |
|
y |
|
, |
(7.5) |
|
t |
t 1 |
|||||
t |
Y t 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
где уt = ln Yt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преимущества показателя qt |
перед |
Qt становятся |
очевидными при |
||||||
рассмотрении логарифмического дохода за k периодов |
|
|
|
||||||
q (k ) ln(1 |
R t |
(k )) ln[(1 |
) (1 |
) ... (1 |
R t |
)] |
|||
t |
|
|
|
R t k 1 |
R t k 2 |
|
|||
q |
q |
2 |
... q . |
|
|
|
(7.6) |
||
t k 1 |
t k |
|
|
t |
|
|
|
|
|
Из выражения (7.6) вытекает, что логарифмический доход за k периодов является арифметической суммой однопериодных логарифмических доходов.
Однако и логарифмические доходы имеют свои недостатки. Они неудобны при анализе финансовых “портфелей”, представляющих собой взвешенную
(в долях) сумму различных активов (акций, инвестиций и т.п.).
Если i-я позиция такого портфеля имеет вес (долю) i , тогда чистый доход от портфеля определяется как взвешенная сумма доходов различных активов
При |
=0 и =1 выражение (7.13) определяет стандартизованное Гауссово |
распределение.
Установить, что случайная величина хt распределена, например, по Гауссову, а не по нормальному закону достаточно просто. На это указывает значение эксцесса (коэффициента эксцесса), которое свидетельствует о мере
“размытости” распределения по оси ординат. Напомним, что на практике эксцесс рассчитывается согласно следующему выражению:
|
|
|
T |
(x t ) |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
||
K |
|
t 1 |
|
, |
(7.14) |
|
|
|
|||||
4 |
|
T |
||||
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
где – математическое ожидание и х – среднеквадратическое отклонение величины хt.
Известно, что у “нормального” распределения случайной величины К 3.
Большая “размытость “ Гауссова распределения приводит и к большему значению эксцесса, т. е. для Гауссова распределения с теми же параметрами,
что и нормальное эксцесс больше, чем 3 (К 3).
Вследствие этого коэффициент эксцесса, как и другие моменты высоких порядков, достаточно часто применяются при обосновании и построении относительно широкого класса моделей финансовой эконометрики. Здесь следует отметить, что модели финансовой эконометрики, описывающие динамические ряды финансовых показателей, разделяются на несколько классов в зависимости от тех свойств, которые присущи рассматриваемым процессам. В частности, рассмотренный в главе VI комплекс моделей авторегрессии-скользящего среднего (АРСС(k, т)) нашел широкое применение в исследованиях финансовых временных рядов, обладающих свойствами, характерными для стационарных процессов 2-го порядка.
Вследствие этого, материал главы VI без каких-либо ограничений может быть использован и в сфере финансового анализа.
Однако многие реальные финансовые процессы обладают другими,
отличными от “слабой” стационарности свойствами. В их отношении финансовая теория выдвигает соответственно и специфические для них предположения, гипотезы, которые легли в основу классов моделей финансовой эконометрики, отличных от моделей АРСС. Некоторые из этих гипотез рассматриваются в следующем разделе.
7.2. Гипотезы финансовой эконометрики
Различные классы моделей финансовой эконометрики базируются на тех или иных предположениях относительно корреляционных взаимосвязей,
характерных для наблюдаемого временного ряда определенного финансового показателя, в качестве которого могут выступать непосредственно цены,
доходы (чистые, валовые, логарифмические), а также их приросты, ошибки моделей и некоторые другие характеристики. Примером этих характеристик могут являться также и функциональные преобразования финансовых показателей, например, линейные и степенные функции от них.
Значительная часть таких взаимосвязей может быть определена общим выражением, означающим отсутствие автоковариационных связей между временными рядами, образованными различными функциональными преобразованиями рассматриваемого финансового показателя, следующего вида:
Cov(f(zt), g(zt–k))=0, k=1, 2,... |
(7.15) |
В выражении (7.15) в качестве аргумента z функций f и g выступает одна из перечисленных выше характеристик финансового показателя (цена, какая-
либо из ее производных, функция от цены или ее производной и т. п.),
рассматриваемая в моменты t и t–k соответственно.
Выражение (7.15) часто называют ортогональным условием. Различные сочетания входящих в него функций соответствуют вполне определенным
любые их функциональные преобразования независимы и удовлетворяют условию стационарности или иначе имеют идентичные условные распределения на уровни цен в прошедшие моменты времени. Таким образом, ГСБ-1 утверждает, что динамика приростов цены по своим свойствам соответствует процессу “строгого белого шума”. Как правило,
закон распределения приростов предполагается нормальным N (0, 2), в
специальных случаях – стабильным**.
С точки зрения выражения (7.15) это означает, что в качестве f(zt) и g(zt–k)
могут рассматриваться как линейные, так и степенные функции от приростов z (например, квадраты и более высокие степени).
Вместе с тем, результаты анализа динамики многих финансовых показателей, зафиксированных на мировых рынках, свидетельствуют, что продекларованное ГСБ-1 предположение об идентичности закона распределения их приростов часто не подтверждается, особенно на продолжительных (свыше года) периодах наблюдения. В значительной степени это относится к параметрам их закона распределения (обычно к дисперсии), хотя вид этого закона может и не изменяться. Например,
дисперсия не удовлетворяет условию гомоскедастичности и меняется во времени.
Процесс с независимыми, но неодинаково распределенными (имеются в виду условные распределения на уровни цены в прошлом) приращениями,
вообще говоря, не относится к разряду процессов “белого шума”, поскольку в данном случае он не является стационарным (точнее, не удовлетворяет условиям стационарности 2-го порядка). Вместе с тем , отказ от идентичности закона распределения приростов является логичным развитием ГСБ-1, “смягчающим” ее достаточно строгие ограничения в отношении свойств приростов цены.
2.Einstein, А. 1905. “Über die von der molekular-kinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von der in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen”, Annalen der Physik, 17; 549-560.
** ГСБ-1 с распределениями приростов, отличными от нормального, рассмотрена в работе Fama,E.F.(1965) “The behaviour of stock market prices”, Journal of Business, 38, pp.34-105.
Предположение о независимости приростов цены и неидентичности их условных распределений выражает сущность второй версии ГСБ – ГСБ-2.
Таким образом, ГСБ-2, как ГСБ-1, предполагает, что как сами приросты, так и любые их функции независимы между собой. С точки зрения (7.15) это означает, что функции f(zt ) и g(zt–k ) также не ограничены по форме. Они могут быть как линейными, так и степенными. ГСБ-2 была обоснована уже во второй половине ХХ века*.
Смягчение условия полной независимости процесса приращений цен приводит к третьей версии ГСБ – ГСБ-3, согласно которой автокорреляционные связи между приростами отсутствуют, однако автокорреляция между их степенями может иметь место. Например, Cov(zt2), g(zt–k2)) 0, для некоторых сдвигов k 0. Таким образом, с точки зрения выражения (7.15), функции f(zt) и g(zt–k ) являются по форме линейными от приростов z.
Формально, если при этом z2=const, то такой процесс остается стационарным. Его свойства эквивалентны свойствам “слабого белого шума”
– стационарного процесса с независимыми значениями. Такой процесс можно рассматривать как частный случай стационарного процесса второго порядка с нулевыми автокорреляциями.
Один из вариантов модели, соответствующей любой из рассмотренных
версий ГСБ, может быть записан в следующем виде:
Y t m Y t 1 t , |
(7.18) |
где m – ожидаемое постоянное изменение цены в период (t–1, t)**, t=1, 2,...; t
– случайный прирост цены в интервале (t–1, t), свойства которого удовлетворяют одной из версий ГСБ. С целью сохранения преемственности в
*Granger,C.W.J. and O. Morgenstern (1970). Predictability of Stock market Prices (Heath, Lexington, Massachusetts).
**В более общем случае m=mt и mt =f(a, z) – детерминированная составляющая процесса изменения цены, выраженная уравнением с коэффициентами a и аргументами, заданными вектором z.