Эконометрика. Тихомиров

Гипотеза о равенстве дисперсий рассмотренных совокупностей принимается, если для z удовлетворяется соотношение (6.32).

Сериальные критерии стационарности.

Для проверки гипотезы о стационарном характере процесса (имеется в виду стационарность второго порядка) может быть использованы достаточно универсальные относительно закона распределения значений ряда уt, t=1,2,...,

Т непараметрические тесты, основанные на анализе закономерностей серий этих значений (сериальные критерии). Необходимым условием их применения является достаточно большой объем временного ряда, что позволяет с определенной обоснованностью считать обнаруженные закономерности устойчивыми (характерными для данного ряда). При этом серией называют последовательность значений, предшествующая или следующая за некоторым значением, характерный признак которого отличается от признака элементов, входящих в серию. В качестве такого признака часто рассматривается расположение элемента последовательности относительно ее медианы. В этом случае серии с положительным знаком образуют элементы по уровню выше медианы, и серии с отрицательным знаком – элементы, чей уровень не превосходит медианы. Здесь следует иметь в виду, что один элемент – это тоже серия.

Примером сериального критерия является критерий Вальда-Вольфовитца,

основанный на подсчете общего числа серий. Среднее значение числа серий определяется согласно следующему выражению:

а его дисперсия – согласно формуле

Применяется при экспоненциальном росте уt, t =1,2,..., Т;

в) расчет темпов прироста

а также некоторые другие.

Заметим, что преобразование (6.41) предоставляет исследователю несколько большие “удобства” в формировании исходной информации по сравнению с другими. Это связано с тем, что оно позволяет достаточно просто изменять временные серии исходных данных в связи, например, с

укрупнением временных интервалов. В самом деле, предположим, что возникла необходимость проанализировать временные ряды серии удвоенного временного интервала (t–1, t+1), т. е., например, у1, у3, у5,..., уt–1, уt

+1,... . Для такой серии преобразование (6.41) приводит к следующему временному ряду:

где хt+1, 2 – преобразованное значение показателя на удвоенном интервале.

Его величина представляет собой простую арифметическую сумму преобразованных значений показателей исходных интервалов, объединение которых привело к новой серии.

В то же время для преобразования (6.42) в этом случае получим более сложное выражение, определяющее для значения нового временного ряда:

Все множество стационарных процессов второго порядка в общем случае в зависимости от особенностей их автокорреляционных функций разбивается на несколько однородных групп, для каждой из которых можно подобрать и построить адекватную модель.

В общем случае можно выделить три группы таких моделей – модели авторегрессии (autoregressive), модели скользящего среднего (moving average)

и смешанные модели авторегрессии-скользящего среднего (autoregressivemoving average).

Рис. 6.1

Вопросы их построения рассмотрены в последующих разделах данной главы.

6.2. Модели авторегрессии

Использование моделей авторегрессии при моделировании закономерностей реального стационарного процесса второго порядка,

допускающего представление в виде дискретного временного ряда его значений, основано на предположении о том, что текущее значение такого

процесса может быть выражено в виде линейной комбинации некоторого количества предыдущих его значений и случайной ошибки, обладающей свойствами белого шума.

Общий вид модели авторегрессии k-го порядка – АР(k) может быть выражен следующим уравнением:

где уt, уt–i, i=1,2,... , k – значения переменной у в соответствующие моменты времени; k – порядок модели; 1,..., k – коэффициенты модели; t –

случайная ошибка с нулевым математическим ожиданием, конечной дисперсией и единичной автокорреляционной матрицей, свидетельствующей об отсутствии автокорреляционной связи между рядами ошибки t, t–1,..., t– i,..., т. е. t N(0, 2 ), Cov( )= 2 E.

Построение модели АР(k) типа (6.45), адекватной реальному временному ряду уt, t=1,2,..., Т, предполагает решение двух взаимосвязанных задач:

определения рационального порядка модели (величины k) и оценки значений ее коэффициентов. Рассмотрим сначала общие подходы к оценке параметров

модели типа (6.45).

Без ограничения общности будем предполагать, что математическое

1,..., k могут быть выражены через коэффициенты автокорреляции. Чтобы показать это, умножим выражение (6.36) под знаком математического ожидания на переменную уt–i, i=1,2,..., k. Получим

M [ yt yt i ] 1 M [ yt 1, yt i ] ... k M [ yt k , yt i ] M [ yt i , t ], (6.46)

где M[уt-i, уt--j] – математическое ожидание произведения двух центрированных переменных уt–i, уt–j, представляющих собой их ковариацию

r, на практике оцениваемую по формуле

где r=i–j , i j.

В результате для i=1,2,..., k вместо (6.46) можно записать

Выражение (6.48) получено в предположении, что M[уt-i, t]=0 при i 0, так как t – случайная величина со свойствами “белого шума”, не имеющая корреляционной связи с предшествующими моменту t значениями рассматриваемого процесса уt. Разделив левую и правую части выражения

(6.48) на дисперсию процесса уt у2= 0, получим следующее выражение:

Подставив в (6.49) вместо истинных значений коэффициентов автокорреляции i процесса уt их выборочные оценки r1, r2,...,

последовательно для i=1,2,..., k, получим следующую систему линейных уравнений:

в которой известными являются оценки коэффициентов автокорреляции r1, r2,..., rk, а неизвестными – оценки коэффициентов модели АР(k) a1 , a2 ,..., ak.

авторегрессии АР(k) Юла-Уокера. Напомним, что эти оценки могут быть получены, например, с использованием определителей, либо на основе векторно-матричной формы записи системы (6.50).

На основе определителей оценки Юла-Уокера получают в следующем

виде:

i – определитель, получаемый из определителя путем замены его i-го столбца на столбец, состоящий из коэффициентов автокорреляции,

образующих левую часть системы (6.50) – r1, r2,..., rk.

В векторно-матричной форме записи систему (6.50) можно переписать в следующем виде:

где r – вектор-столбец известных оценок коэффициентов автокорреляции с первого по k-й включительно, r=(r1, r2, ..., rk) ; a – вектор-столбец неизвестных оценок параметров модели, a=(a1, a2,..., ak) ; R – матрица,

составленная из оценок коэффициентов автокорреляции, определитель которой выражен формулой (6.52).

Непосредственно из выражения (6.53) вытекает, что неизвестные оценки

Теоретически оценки Юла-Уокера должны обладать свойствами несмещенности и эффективности. Однако, на практике, в моделях авторегрессии большого порядка эти свойства могут не подтверждаться.

Особенно это относится к свойству несмещенности. Как и в моделях с лаговыми зависимыми переменными, смещенность в оценках коэффициентов моделей авторегрессии может быть обусловлена существующей зависимостью между сдвинутыми рядами рассматриваемой переменной уt–1,

уt–2 и ошибкой t. Этой возможной зависимостью при построении системы уравнений Юла-Уокера обычно пренебрегают, полагая t белым шумом.

Неэффективность оценок может быть вызвана плохой обусловленностью матрицы R, что, как правило, является свидетельством зависимости уже между рядами уt–1, уt–2,... .

Вместе с тем, при небольших порядках модели (k =1,2,3) оценки Юла-

Уокера обычно являются достаточно “хорошими”. В крайнем случае их можно рассматривать как первое приближение к “оптимальным” оценкам,

которые могут быть получены путем уточнения оценок Юла-Уокера на основе использования более мощных методов оценивания, например,

нелинейных.

Качество оценок Юла-Уокера может быть проверено путем исследования свойств ряда ошибки t, t=1,2,..., Т. Если ее свойства близки к характеристикам “белого шума”, то оценки Юла-Уокера можно считать

“достаточно хорошими”. Об этом, в частности, может свидетельствовать критерий Дарбина-Уотсона, значение которого должно лежать примерно в интервале от 1 до 3 (см. раздел 1.4).

Для этих целей могут использоваться и другие мощные критерии,

например, Бартлетта, Тейла.

Обоснование целесообразности применения моделей авторегрессии.

Целесообразность использования моделей авторегрессии в анализе закономерностей временного ряда обычно устанавливается на основе сопоставления двух дисперсий – дисперсии исходного процесса у2 и

дисперсии ошибки модели 2. Для того чтобы выявить взаимосвязь между двумя этими характеристиками положим, что в формуле (6.48) i=0. Тогда это выражение можно переписать в следующем виде:

где 0= у2, i – i-й коэффициент автоковариации.

Последнее слагаемое в правой части выражения (6.55) получено путем замены в выражении (6.46) в произведении M[yt t] переменной yt на ее модель (6.45). Поскольку ряды уt–1,..., уt–k и t являются независимыми, то это произведение оказывается равным 2. Далее, поскольку i = i 0, то

ошибки описывающей этот модели авторегрессии (белого шума) 2.