Примеры решения задач

Пример 1. В двух теплоизолированных сосудах объемами инаходится одинаковый идеальный газ при давленияхи температурах,. Сосуды соединяют трубкой. Какая температура установится в сосудах после смешивания газов?

Решение

Внутренняя энергия газов, находящихся в первом и втором сосудах до их смешивания, равна (см. (8Ф)):

где число степеней свободы молекул газа;, – число молей газов в первом и втором сосудах; R = 8,31 Дж/(моль^.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Используем уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) для газов в первом и втором сосудах

Сравнивая первые и вторые формулы в равенствах (1), (2), имеем:

Общая энергия газов в сосудах до их соединения или учитывая (3), получим:

После смешивания газов (соединение сосудов трубкой) установится искомая температура и внутренняя энергия газа (8Ф), или учитывая, получим:

Число молей инайдем из уравнений (2) и подставим их в (5). В результате получим

Сосуды теплоизолированные, поэтому (закон сохранения энергии), откуда с учетом (4) и (6), найдем искомую температуру:

Пример 2. Кислород массой находится при температуреи расширяется при постоянном давлении, при этом объем увеличивается в n = V₂/V₁ = 2,0 раза. Найти количество теплоты, сообщенной газу.

Решение

Используем первое начало термодинамики (9Ф)

Количество теплоты, сообщенной газу, идет на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работыпротив внешних сил. Приращение внутренней энергии= U₂ – U₁, или, учитывая (8Ф), получим:

где = 5 – число степеней свободы молекул двухатомного кислорода;

R = 8,31 Дж/(моль^.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы); – молярная масса кислорода (находится из таблицы); – приращение температуры. Работа газа при изобарном процессе (11Ф)

(3)

С учетом (2) и (3) количество теплоты (1) запишется

, (4)

где ΔТ = Т₂ – Т₁. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) для изобарного процесса, имеем: , откуда, с учетом условия задачи конечная температура после изобарного расширения

Тогда приращение температуры

Подставляя это выражение в (4), получим:

Учитывая условие задачи и табличные данные, найдем искомое количество теплоты:

Пример 3. Объем одного моля (= 1) идеального газа с числом степеней свободы молекул изменяется по законуV = а/Т, где – постоянная величина. Найти количество теплоты, полученной газом в этом процессе, если его температура испытала приращение.

Решение

Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

Q = ΔU + A. (1)

Приращение внутренней энергии одного моля газа = U₂ – U₁, или, учитывая (8Ф), имеем:

, (2)

где R = 8,31 Дж/(моль^.К) – универсальная газовая постоянная (берется из таблицы). Работа газа (10Ф)

Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона (2Ф) для одного моля газа (ν = 1)

откуда, учитывая условие задачи,

Продифференцируем условие задачи V = а/Т

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), найдем работу:

С учетом (2) и (6) количество теплоты (1) равно

Пример 4. Два моля идеального газа находятся при температуре и охлаждаются изохорно, в результате давление газа умень­шилось вn = P₁/P₂ = 2,0 раза. Затем газ изобарно расширяется так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество теплоты, сообщенной газу в данном процессе.