Решение

, , .

= ?

Выделим на кольце малый элемент . От этого элемента напряженностьсоставляет уголс осьюX (см. рис. 25). Из соображений симметрии следует, что сумма (интегральная) проекций от всех элементовdl кольца равна нулю (). Следовательно, результирующая напряженностьE направ-

лена по оси кольца и совпадает с осью Х (см. рис.). Модуль этой напряженности равен интегральной сумме проекций от всех элементов кольцаТак как зарядэлементакольца можно считать точечным, то напряженность поля этого заряда (см. (20Ф))

где – расстояние от элемента до точкиС, в которой находится напряженность . Проекция вектора на ось X равна (см. рис.). Учитывая (1), где зарядвыражается через линейную плотность(), получим:

Проинтегрируем это выражение, учитывая, что величины τ и являются постоянными для всех элементов кольца, и интегралыВ результате получим:

Из рис. 25 имеем

Подставляя эти выражения в (3) и учитывая плотность заряда , найдем модуль напряженности:

Из этой формулы видно, что при а >> R модуль напряженности , т. е. на больших расстояниях от заряженного кольца величинаЕ находится также, как от точечного заряда (см. (20Ф)). Напряженность поля Е направлена вдоль оси Х (см. рис. 25).

Пример 13.Бесконечно длинный цилиндр радиуса R = 15 см заряжен с поверхностной плотностью . Найти работу при перемещении зарядаq = 4,0 мкКл из точки 1 в точку 2, находящиеся от оси цилиндра, соответственно, на расстоянии r₁ = 30 см и r₂ = 15 см (см. рис. 26).

Решение

= , = , = Кл, = 0,30 м, 0,15 м.

А = ?

Работа электрического поля по перемещению заряда q (cм. (28Ф)) . (1)

Для нахождения разности потенциалов воспользуемся формулой (22Ф), где модуль линейной плотности (заряд единицы длины цилиндра)  τ = τ, т. к. в нашей задаче поверхностная плотность ϭ > 0

(2)

Заряд, находящийся на поверхности цилиндра высотой h, равен τh. Этот же заряд, записанный через поверхностную плотность ϭ равен 2Rhϭ. Откуда получается связь между τ и ϭ: τ = 2Rϭ. В результате формула (2) запишется:

Далее, воспользуемся формулой (26Ф)

Из (3) и (4) имеем

Интегрирование этого уравнения в пределах от додает приращение потенциала

Откуда разность потенциалов между начальной 1 и конечной 2 точками перемещения (см. рис. 26)

Подставляя это выражение в (1), получим работу по перемещению заряда из точки1 в точку 2

Работа электрического поля отрицательная, поскольку положительный заряд перемещается из точки 1 с меньшим потенциалом в точку 2 с большим потенциалом (см. рис. 26). Искомая работа (работа внешних сил) А = – А_э = 0, 16 Дж.

Пример 14.В схеме, изображенной на рисунке 27 электрические емкости конденсаторов ,,и напряжение между клеммамиA и B равно . Найти общую электроемкость системы, заряд и напряжение на каждом конденсаторе.

, , , = .

= ? =? U1, U2, U3 = ?

Решение

Система конденсаторов состоит из двух параллельных ветвей, напряжения на которых одинаковы и равны (см. рис. 27). Одна ветвь состоит из конденсатора емкостью, другая – из трех последовательно соединенных конденсаторов емкостьюи. Емкость системы последовательно соединенных конденсаторов С^ꞌ находится из формулы (см. (33Ф))

откуда

При параллельном соединении конденсаторов емкость системы (34Ф) Учитывая (1), получим:

Для нахождения зарядов конденсаторов используем формулу электроемкости конденсатора (30Ф)

Напряжение на конденсаторе емкостью равноU (см. рис.). Следовательно, заряд этого конденсатора (см. (2))

В результате электростатической индукции, заряды последовательно соединенных конденсаторов емкостью ,ибудут равны между собой и зарядусистемы или батареи этих конденсаторов:. Напряжение на батарее равно, следовательно, зарядможно найти из формулы (2), в которой. Используя (1), найдем заряд трех последовательно соединенных конденсаторов

Напряжение на конденсаторе емкостью равно100 ВНапряжение на конденсаторах емкостью,находится из формулы (2). Используя найденные заряды на этих конденсаторах, получим:

Очевидно, сумма напряжений на трех последовательно соединенных конденсаторах равна 100 ВИз полученных результатов (3) видно: + U₃ = 100 В, что соответствует условию задачи.

Таблица вариантов к контрольной работе №2

Таблица содержит варианты для специальностей, учебными планами которых предусмотрено четыре контрольных работы.

Вариант	Номера задач
	1	2	3	4	5	6
0	201	211	221	231	241	251
1	202	212	222	232	242	252
2	203	213	223	233	243	253
3	204	214	224	234	244	254
4	205	215	225	235	245	255
5	206	216	226	236	246	256
6	207	217	227	237	247	257
7	208	218	228	238	248	258
8	209	219	229	239	249	259
9	210	220	230	240	250	260