Решение

m = 80 г, = 100 г,

Рассмотрим силы, действующие на грузы и на блок. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести ии сила упругости (сила натяжения нити)Т₁ и Т₂ (см. рис. 11). Направим ось X для каждого груза в направлении его ускорения и запишем для них второй закон Ньютона (12Ф) в проекциях на эти оси

, (1)

X

. (2)

На блок действуют силы натяжения нитей и (см. рис. 11). Согласно третьему закону Ньютона (13Ф), с учетом невесомости нити, модули этих сил равны соответствующим модулям сил натяжения, действующим на грузы,

, (3)

Под действием моментов сил натяжения и относительно осиZ, перпендикулярной плоскости рисунка и направленной от нас (крестик на рисунке), блок приобретает угловое ускорение . Модуль этого ускорения (см. (10Ф)), гдетангенциальное ускорение точек блока, находящихся на расстоянииот его оси (радиус блока). При отсутствии проскальзывания нити по блоку₌ , и модуль углового ускорения

Запишем уравнение динамики твердого тела для блока (32Ф)

, (5)

где ,моменты сил натяжения нити относительно осиZ, рав-

ные проекциям соответствующих моментов иотносительно точки, лежащей на оси вращения, совпадающей с осьюZ; I – момент инерции блока относительно оси вращения; проекция углового ускорения. Уравнение (5) записано с учетом знаков проекций (правило правого винта). Поэтому проекции равны модулям соответствующих величин. Используем формулу модуля момента силыМ = Fd. У нас F – сила натяжения нитей и d – плечо силы, равное радиусу диска R. Тогда моменты, входящие в уравнение (5) запишутся:

; ;.(6)

С учетом формулы момента инерции блока (сплошного диска) I = mR²/2 и равенств (3), (4) и (6), уравнение (5) примет вид:

Выражая силы натяжения и из равенств (1) и (2) и, подставляя их в уравнение (7), получим искомое ускорение грузов:

Пример 13. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны и, а угловые скоростии. После падения верхнего диска на нижний оба диска, благодаря трению между ними, начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти:а) установившуюся угловую скорость вращения дисков; б) работу, которую совершили при этом силы трения.

, , , .

Решение

На диски действуют внешние моменты сил тяжести и реакции опор. Относительно вертикальной оси вращения Z сумма моментов этих сил равна нулю. Следовательно, к данной системе тел можно применить закон сохранения момента импульса. Сумма моментов импульса двух дисков + , вращающихся отдельно друг от друга равна моменту импульса дисков , вращающихся как единое целое

+ = . (1)

С учетом формулы момента импульса = и свойства аддитивности момента инерции I = I₁ + I₂, закон сохранения момента импульса (1) запишется:

+ = (+ ),

откуда искомая угловая скорость

Если диски в начальный момент времени вращались в одну сторону, то проекция угловой скорости на ось Z (см. рис.12)

если в разные стороны, то

Работа сил трения равна приращению кинетической энергии системы

. (3)

Кинетическая энергия системы до падения верхнего диска на ниж­ний и после палениясоответственно равны

С учетом свойства аддитивности = + и формулы (2), имеем:

Подставляя (4) и (6) в формулу (3), найдем работу сил трения:

Знак «минус» означает, что силы трения уменьшают кинетическую энергию дисков (диссипация энергии), т. е. работа сил трения отрицательная.

Пример 14. Найти кинематическое уравнение гармонических колебаний точки, если максимальное ускорение ₌ 50 см/, период колебаний= 2 с и смещение в начальный момент времени ₌ 5 см.