3.4 Эквивалентность пар

Докажем следующую теорему: действие пары на тело не изменится, если эту пару заменить любой другой парой, лежащей в той оке плоскости и имеющей тот же момент.

Пусть в точках N и М твердого тела (рисунок 51) приложена пара сил с плечом . Докажем, что эту пару сил можно заменить любой другой парой сил, имеющей тот же момент. Для доказательства проведем через какие-нибудь точкиD и Е тела две параллельные прямые на произвольном расстоянии друг от друга и продолжим эти прямые до пересечения их с линиями действия сил и пары в точках А и В. Перенесем точку приложения силы вдоль ее линии действия в точку А, а силы — в точку В. Разложим теперь силу по направлениям ВА и AD на силы и, а силу – по направлениям АВ и BE на силы и. Так как силы и по модулю равны и параллельны друг другу, то очевидно, что и. Но силыидействуют вдоль одной и той же прямой и, как уравновешенные (аксиомаI), могут быть отброшены (аксиома II). Силы же иможно приложить в точкахD и E, лежащих на их линиях действия. В результате пара сил будет заменена парой сил с другим плечом и другими силами.

Докажем в заключении, что момент этих пар равны. Для этого проведем линии АК и АС, соединяющие точку А с концами векторов сил и. Очевидно, что

;

.

Но у треугольников АВК и АВС основание АВ общее, а высоты одинаковы, так как линия СК параллельна АВ. Следовательно, эти треугольники равновелики и . Таким образом, мы доказали, что пару сил , действующих на твердое тело, можно заменить любой другой парой сил , имеющей тот же момент.

Из доказанной теоремы вытекают следующие свойства пары сил:

1. Действие пары на тело не изменяется, если переместить пару в другое положение в плоскости ее действия.

(Заметим, что перенос пары в ее плоскости действия, так же как и перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия, безоговорочно применим только для абсолютно твердого тела).

2. Действие пары на тело не изменится, если одновременно изменить модуль сил пары и величину ее плеча, сохраняя при этом численное значение и знак момента пары.

Из доказанной теоремы и вытекающих из нее свойств пары сил следует что две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые по численному значению и по знаку моменты, эквивалентны, так как они могут быть преобразованы одна в другую. Эквивалентные пары могут различаться своим расположением в плоскости, модулем и направлением сил, длиной плеч, лишь бы только были одинаковы по численному значению и по знаку моменты этих пар.

Доказанная теорема позволяет решить задачу о сложении пар, расположенных в одной плоскости.

3.5 Сложение пар, расположенных в одной плоскости. Условие равновесия пар

Пара, действие которой на тело заменяет собой действие на него данной системы пар, расположенных в одной плоскости, называется равнодействующей парой, а пары данной системы пар — ее составляющими. Приведение данной системы пар, расположенных в одной плоскости, к одной эквивалентной паре, т. е. к равнодействующей паре, называется сложением пар. Так как действие пары на данное тело определяется ее моментом, то операция сложения системы пар, расположенных в одной плоскости, должна приводиться к алгебраическому сложению моментов всех пар этой системы.

Теорема. Всякую систему пар, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной равнодействующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов всех пар этой системы.

Пусть на твердое тело действуют три пары , и , расположенные в одной плоскости и направленные в разные стороны (рисунок 52). Обозначим моменты этих пар через , и . Тогда будем иметь:

(1)

где ,и– плечи данных пар.

На основании теоремы об эквивалентности пар заменим данные пары новыми парами , и , имеющими одно общее плечо AB=d (рисунок 52) и те же самые моменты:

(2)

Сложим три силы , и , приложенные к точке А, получим их равнодействующую , модуль которой

;

аналогично в точке В

,

причем очевидно, что (рисунок 52)

.

Следовательно, силы и образуют пару . Найдем момент m этой пары:

.

Принимая во внимание (1) и (2), получим

,

что и было необходимо доказать.

Если бы заданная система пар состояла из n пар, расположенных в одной плоскости, то мы получили бы для них равнодействующую пару с моментом

. (3)

Выведем теперь условие равновесие системы пар, расположенных в одной плоскости.

Любая система пар, расположенных в одной плоскости, как только что было доказано, может быть заменена равнодействующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар (3). Для того чтобы пары системы пар, расположенных в одной плоскости, уравновешивались, момент равнодействующей пары должен, очевидно, равняться нулю. Это условие не только необходимо, но и достаточно. В самом деле, из равенства

(4)

следует, что или силы равнодействующей пары равны нулю , или плечо равнодействующей пары равно нулю , т. е. равнодействующая пара образована в этом последнем случае двумя силами, равными по модулю и действующими по одной прямой в разные стороны. И в том и в другом случае имеет место равновесие системы пар, расположенных в одной плоскости.

Итак, из формул (3) и (4) следует, что для равновесия системы пар, расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех данных пар равнялась нулю, т. е.

(5)

Задача 5. На невесомую балку АВ длиной l, лежащую на двух опорах A и В, действует пара сил с заданным моментом М (рисунок 53, а). Определить опорные реакции и.

Решение. Рассмотрим равновесие балки, заменив действие наложенных на нее связей реакциями связей (рисунок 53, б). На балку действует пара сил с заданным моментом М, стремящаяся повернуть балку против часовой стрелки. Так как балка находится в равновесии, а пара может быть уравновешенна только парой, то реакция опор ии должны составлять пару, вращающую балку в противоположную сторону, т. е. по часовой стрелке. Момент этой реактивной пары. Согласно условию равновесия пар (5) имеем

,

откуда

.

Задача 6. К валу приложена пара с моментом, стремящимся повернуть вал по часовой стрелке, равным (рисунок 54). К тормозному колесу диаметром , которое заклинено на валу, прижаты тормозные колодки силами и , равными по величине. Найти величину этих сил, если известно, что между колодками и колесом возникают силы трения , где (коэффициент трения скольжения).

Решение. Рассмотрим равновесие вала. Силы и как взаимно уравновешенные можно отбросить. Тогда на вал будут действовать две пары и . Так как вал находится в равновесии, to пара должна быть уравновешена парой , стремящейся повернуть вал против часовой стрелки. Момент этой реактивной пары . Согласно условию равновесия пар (5)

,

откуда

кг.

Но по условию , поэтому кг.