6.3. Зависимость между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно точки, лежащей на этой оси

Пусть на тело действует приложенная в точке А сила (рисунок 93). Момент этой силы относительно точки О определится, как мы знаем, вектором , перпендикулярным к плоскости треугольника ОАВ и по модулю равному удвоенной его площади, т. е.

. (1)

Проведя через взятую на оси z точку О плоскость ху, перпендикулярную к этой оси, и проектируя на плоскость xy силу , найдем момент силы относительно точки О:

. (2)

Но треугольник представляет собой проекцию треугольникаОАВ на плоскость ху. По известной из геометрии теореме площадь проекции равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями треугольников ОАВ и равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е. углу между вектором момента и осью z.

Поэтому получим, что

.

Подставляя это равенство в формулу (2), находим

. (3)

Проекция вектора-момента на ось z выразится так:

.

Подставляя в это равенство формулу (1), найдем

.

Сравнивая это равенство с формулой (3), получим

, (4)

т. е. моментом силы относительно оси z равен проекции на эту ось вектора-момента силы относительно произвольной точки О, лежащей на этой оси.

6.4 Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей

Момент данной силы относительно точкиО(рисунок 93) определяется, как мы уже знаем, но формуле

(1)

где – радиус-вектор точкиАприложения силы.

Формула разложения вектора по координатным осямх, yиzбудет иметь вид

, (2) где,,– единичные векторы координатных осейОх, ОуиОz.

Как известно из векторной алгебры, векторное произведение можно представить символически через определитель:

, гдех, у, z– координаты точкиАприложения силы, или проекции радиус-вектораточкиАна оси координатОх, Оу, Оz, аX, У, Z. – проекции силына те же оси координат.

Таким образом, получим для вектора-момента силы относительно точкиО, принимаемой нами за начало координат, следующее выражение:

.

Разлагая детерминант по элементам первой строки, получим разложение вектора покоординатным осям в несколько ином виде:

.

Сравнивая это равенство с формулой (2), получим проекции вектора на оси координат:

;

;

.

Но согласно формуле (4, §33) можно получить следующее аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей:

(3)

С помощью этих формул момент силы относительно оси можно вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.

Задача18.Силарасположена в плоскостиАВСD, параллельной координатной плоскостиОхz, и наклонена к горизонту под углом α; при этом,(рисунок 94). Определить момент силыотносительно каждой оси координат.

Решение. Найдем моментсилыотносительно осиx.Для вычисленияпроектируем силуна плоскостьОyz; получаем

.

Плечо силы относительно точкиОравноb, а поворот ее с конца осихвиден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно

.

Момент силыотносительно осихможно вычислить аналитически по формуле

, (4) где подуиzбудем понимать координаты точкиВ, для которой,

(так как х, у, zв формулах (3) являются координатами любой точки на |линии действия силы(точку приложенияАсилыможно переносить вдоль линии действия силы), то для удобства вычислений следует выбирать точку (х, у, z) так, чтобы одна или несколько координат ее обращались в нуль).

Проекции силы на осиzиубудут

;.

Подставляя эти значения в формулу (4), получим тот же результат:

но только при этом знак момента получается в результате применения формулы (4).

Найдем теперь момент силыотносительно осиу. Так как силалежит в плоскости, перпендикулярной к осиу, то

, где– плечо силы. Знак "минус" стоит потому, что поворот силыс конца осиувиден происходящим по ходу часовой стрелки.

Вычислим теперь аналитически по формуле

, (5) гдеzиx– координаты точкиВ, для которой,.

Проекции силы на осихиzбудут

; .

Подставляя эти значения в формулу (5), получим тот же результат

, при этом знак момента получается в результате применения формулы (5).

Наконец, найдем момент силыотносительно осиz. Проекция силына плоскостьхуравна

, а ее плечо относительно точкиОравноb. Поворот силыс конца осиzвиден происходящим по ходу часовой стрелки, следовательно:

.

Вычислим теперь аналитически по формуле

, (6) где подхиубудем понимать координаты точкиD, для которой. Проекции силына осиОхиОубудут

;.

Подставляя эти значения в формулу (6), получим тот же результат

,при этом знак момента также получается в результате применения формулы (6).