4.4 Теорема Вариньона о моменте равнодействующей произвольной плоской системы сил. Условие равновесия рычага

Докажем следующую теорему Вариньона о моменте равнодействующей произвольной плоской системы сил: если произвольная плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно любой точки, лежащей в плоскости действия данных сил, равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.

Доказательство. На рисунке 57, б (§ 4.3) сила приложена в точкеА. Эта точка отстоит от произвольно выбранного центра приведения О на расстоянии

. (1)

Сила является равнодействующей произвольной плоской системы сил. Из рисунка 57,б и формулы (1) следует, что абсолютная величина момента равнодействующей относительно центра приведенияО равна

, (2)

где есть абсолютная величина главного момента рассматриваемой системы сил относительно выбранного центра приведенияО. Знак же момента равнодействующей относительно центра приведенияО также всегда совпадает со знаком главного момента , т. е. момента пары, как это видно из рисунке 57,а, б.

Поэтому вместо (2) будем иметь

. (3)

Но, согласно (5, § 4.2),

.

Подставляя это в формулу (3), приходим к равенству

, (4)

чем и доказывается теорема.

Примем центр приведения О за начало координат (рисунок 56, а), и мысленно разложим силу , приложенную к точкетела на два взаимно перпендикулярных направления — направления осей координат. Составляющие силы обозначим буквамии. Тогда согласно теореме Вариньона и рисунок 56,а момент рассматриваемой силы относительно начала координат определяется так:

.

Подставляя это равенство в формулу (4), получим

. (5)

Таким образом, если начало координат выбрано в центре приведения и известны проекции всех сил на оси координат и координаты точек приложения этих сил, то момент равнодействующей можно найти по формуле (5).

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей (4) дает простой метод нахождения условия равновесия рычага.

Пусть на рычаг первого рода (рисунок 60, а) или второго рода (рисунок 60, б) действует произвольная плоская система сил ,, …,иО – точка опоры. Предположим, что эта система сил приводится к равнодействующей . Отбросив связь (шарнирную опору), заменим ее действие на рычаг силой реакции связи. При этом рычаг можно рассматривать как свободное тело, к которому приложены только две силыи. Так как сила реакции связиприложена к точкеО , то для равновесия сил и(а следовательно, и для равновесия рычага) необходимо, чтобы и равнодействующая силатоже проходила через точкуО. Но в этом случае

.

Это условие равновесия рычага согласно теории Вариньона (4) можно записать в виде

,

т. е. для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно точки его опоры равнялась нулю.

Задача 9. На концы прямолинейного рычага АВ длиной l, закрепленного на шарнире О, действуют силы и, образующие с рычагом углыи. Найти расстояниеОА при равновесии рычага (рисунок 61).

Решение. Так как рычаг АВ находится в равновесии под действием сил и, то алгебраическая сумма моментов этих сил относительно опорыО равна нулю, т. е.

.

Но

, ,

где – плечо силыотносительно точкиО, а – плечо силыотносительно той же точкиО. Из треугольников инаходим

и

.

Следовательно,

; .

Уравнение равновесия рычага примет вид

,

отсюда

.