6. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.
Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(х) – первообразная для f(х).Тогда
(*)
Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно,
подставляя х=b, получим
а подставляя х=а, получим
поэтому
Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С. Имеем
F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)
ч
то
завершает доказательство формулы
(*). Разность F(b)-F(a)
часто
записывают в виде
и
формула Ньютона-Лейбница в этом случае
принимает следующий вид:
(**)
Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/
Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.
7. Несобственые интегралы с бесконечными пределами.
Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞], интегрируема на любом [a;b] (b>a). Сущ-т ∫ab f(x)dx для любого b>a. Обозначим ∫ab f(x)dx = Ф(b).
Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от ф-и y=f(x) мы назовем предел вида ∫a∞ f(x)dx=lim Ф(b) при b→+∞. Этот инт-л наз. Сходящимся, если предел ф-и lim Ф(b) при b→+∞ сущ-т и конечен. В противном случае он наз расходящимся.
Аналогично определяем несобственный инт-л с бесконечным нижним пределом. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке (-∞;в], интегрируема на любом [a;b] (a<b). Сущ-т ∫ab f(x)dx для любого a<b, Обозначим ∫ab f(x)dx = Ф(a), ∫-∞b f(x)dx = lim Ф(a) при а→–∞. Этот инт-л наз сходящимся, если предел сущ-т и конечен, в противном случае – расходящимся.
Несобственный инт-л с бесконечными нижним и верхним пределами. ∫-∞∞ f(x)dx
y=f(x) опред-на и непрерывна на (–∞;∞) и интегрируема для любого [а;b]. Возьмем произвольную точку с на (–∞;∞). Имеем: ∫-∞∞ f(x)dx = ∫-∞с f(x)dx + + ∫с∞ f(x)dx (1)
Если сущ-т несобственные интеграл с бесконеч. Верхним пределом и несоб. Инт-л с бесконечным нижним пределом, и они оба сходятся, то сходится и несобственный интеграл с бесконечным верхним и нижним пределом. В этом случае сумма (1) не зависит от выбора точки с.
Геометрич. смысл несобственного интеграла.
Пусть y=f(x) неотрицат. Непрерывная на [a;b). Для каждого b>a определенный инт-л ∫ab f(x)dx = S aABb. Мысленно перемещая Bb вправо, получим ∫a∞ f(x)dx=SaA∞.
A
B
a b
8. Несобственные интегралы от неограниченных ф-й.
Если сущ-т интеграл ∫ab f(x)dx, то y=f(x) ограничена (но обратно это не обязательно).
1).Опр. Точка х=в наз. Особой точкой ф-и y=f(x), если в любой окрестности этой точки ф-я не ограничена, но ограничена на любом отрезке [a;в-ε], ε>0.
Опр. Пусть ф-я y=f(x) не ограничена на [а;в], но интегрируема на любом меньшем отрезке [a;в-ε], ε>0, тогда если сущ-т конечный предел lim ∫ab - ε f(x)dx при ε→0+0, то его принимают за несобственный интеграл ∫ab f(x)dx от неограниченной ф-и f(x). Если предел сущ-т и конечен, то инт-л сходится, в противном случае он расходится.
2).Аналогично,
Если точка а – особая: ∫ab f(x)dx = lim ∫a+ε b f(x)dx, при ε→0+0
3). Пусть с –единственная внутренняя особая точка на [а;в]. Если сходятся ∫aс f(x)dx и ∫сb f(x)dx, то получим несобственный интеграл ∫ab f(x)dx= ∫aс f(x)dx + ∫сb f(x)dx (2)
Если особых точек на отрезке [а;в] несколько, то отрезок разбивают, чтобы в каждом получившемся отрезке было не более одной особой точки и используют (2).
Пусть F(x) – первообразная для y=f(x), F(a+0)=lim F(a+ε),ε→0+0, F(b-0)=lim F(b-ε),ε→0+0 (если эти пределы сущ-т). Тогда:
∫ab f(x)dx= F(b-0)- F(a+0)
Если y=f(x) непрерывна, то ∫ab f(x)dx= F(b)- F(a)