6. Понятие функции, дифференцируемой в точке.

Опр. Функция у=f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в х₀ можно представить в виде ∆у=А∆х+α(∆х)∆х (*), где А – некоторое число, α(∆х) – функция от ∆х, являющаяся бесконечно малой при ∆х→0. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке устанавливает Теорема.

Теорема. Для того чтобы f(x) была дифференцируема в точке х_0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. 1.Необходимость. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в х_0. Тогда ее приращение можно представить в виде (*). Следовательно

Следовательно производная существует и равна А. 2.Достаточность. пусть существует конечная производная f ′ (х₀)=А. Тогда по определению производной, lim_∆х→0(∆у/∆х)=А. положим, что α(0)=0 и α(∆х)= (∆у/∆х) – А, если ∆х≠0. Определеннная так функция α(∆х) является бесконечно малой при ∆х→0. Действительно lim_∆х→0α (∆х)= lim_∆х→0((∆у/∆х) – А)=А – А=0. Кроме того , ∆у=А∆х+α(∆х)∆х. Тем самым доказано, что функция дифференцируема в х_0.

Замечание. Если функция дифференцируема в х₀, то из (*) следует, что ∆у→0, когда ∆х→0, т.е. функция непрерывна в данной точке. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке.

Пусть f(x) дифференцируема в х₀ ,следовательно, существует производная и коэффициент А из (*) совпадает с производной, как следует из доказательства теоремы. Тогда формулу (*) можно представить

f(x)=f(х₀)+ f ′ (х₀) ∆х +α(∆х)∆х. α(∆х) б.м. функция (∆х→0)

(**)

∆f(х₀)~ f ′ (х₀) ∆х (приращение функции эквивалентно произведению производной на приращение аргумента)

7. Дифференциал функции в точке

Опр. Диф-м функции в х₀ наз. линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

d f(х₀)= f ′ (х₀) ∆х; ∆х=dх; df(х₀)= f ′ (х₀) dх

Геометрический смысл. Уравнение касательной в х₀ эквивалентно уравнению

у=f(х₀)+ f ′ (х₀) ∆х (***)

сравнивая (**) и (***) видим, что расстояние от точки Р(х, f(x)) на графике до точки Q (x, f(х₀)+ f ′ (х₀) ∆х) на касательной равно α(∆х)∆х, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆х, когда ∆х→0.

Вывод: геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х₀ состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.

8. Приближенные вычисления.

f(x₀)f '(x₀) x

f(x₀₊x)- f(x₀)  f '(x₀) x x

f(x₀₊x) = f(x₀)+ f '(x₀) x

9. Эластичность функции и ее свойства.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется следующий предел

E_yx(x₀) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

^{Δx  0}

Говорят также, что Е_xy(x₀) – это коэффициент эластичности y по x.

(При достаточно малых Δx выполняется приближенное равенство

(Δy/y): (Δx/x)  Е_y  Δy/y  Е_y Δx/x.

Эластичность E_y – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

Е_yx(x₀) = lim ( (f(x₀ + Δx) – f(x₀))/f(x₀) : Δx/x₀ ) = (x₀/f(x₀))f’(x₀)

^Δx0

E_y = (x/y)y’.

Если y’/y представить как логарифмическую производную, то получается

E_y = x(lny)’

x = 1/(1/x) = 1/(lnx)’  E_y = (lny)’/(lnx)’

Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах будет браться по x)

1. Eky = Ey

Eky = x (ln (ky))’ = x (ln k + ln y)’ = x(ln y)’ = Ey

2. Euv = Eu + Ev

Euv = x (ln uv)’ = x (ln u + ln v)’ = x(ln u)’ + x(ln v)’ = Eu + Ev

3. E u/v = E u – Ev

4. y = y₁ + y₂; y₁, y₂ > 0

E_min  Ey  E_max

E_min = min {E(y₁), E(y₂)}

E_max = max {E(y₁), E(y₂)}

(Лемма a/b, c/d – дроби; a/b  c/d  a/b  (a+c)/(b+d)  c/d)

E(y) = y’x/y

E (y₁ + y₂) =( (y₁ + y₂)’/ (y₁ + y₂))•x = ( (y₁’ + y₂’)/ (y₁ + y₂))•x

E(y₁) = (y₁’/y₁)x; E(y₂) = (y₂’/y₂)x

Из леммы получаем: (y₁’/y₁)x  ( (y₁’ + y₂’)/ (y₁ + y₂))•x  (y₂’/y₂)x 

 E_min  Ey  E_max

5. Для функций y = f(x) и x = g(t) эластичность y по tв точке t₀ удовлетворяет следующему равенству:

E_yx(t₀) = E_yx(g(t₀))E_xt(t₀).

E_yt(t₀) = (ln y)’_t = (ln y)’_t (ln x)’_t = (ln y)’_x x_t’ E_xt(t₀) = E_yx(g(t₀))E_xt(t₀)

(ln t)’_t (ln x)’_t (ln t)’_t (ln x)’_x x_t’

6. Для функции y = f(x) эластичность обратной функции x = g(y) в точке x₀ удовлетворяет соотношению:

E_xy(y₀) = E ^–1_yx(g(y₀)).

Поскольку g (y) – обратная функция, то выполняется тождество

f(g(y)) = y

По свойству 5) получается E_yx(g(y₀))E_xy(y₀) = E_yy(y₀) = lim((Δy/y):(Δy/y)) = 1 

 E_yx(g(y₀))E_xy(y₀) = 1  E_xy(y₀) = E ^–1_yx(g(y₀))