2.5 Révision
1) Compléter, si possible, les phrases suivantes suivant le modèle de la première.
a)
est
le nombre positif dont le carré est 9.
b)
est
le nombre ... .
c) ... est le nombre positif dont le carré est égal à 18.
d)
est
le nombre ... .
e) ... est le nombre positif dont le carré est égal à 52.
f)
est
le nombre ... .
2)
Calculer :
3)
Calculer :
4) Dans quels cas l’équation x2 = a a-t-elle 2 solutions ? 1 solution ? 0 solution ? Donner un exemple dans chaque cas.
5)
Résoudre les équations suivantes :
6) L’aire d’un disque est 78,5 cm2. Calculer la valeur exacte de son rayon puis sa valeur arrondie au mm.
7)
Calculer
les expressions suivantes :
8)
Écrire
les expressions suivantes sous la forme
(b
est un nombre positif, le plus petit possible) :
9)
Écrire
les expressions suivantes sous la forme
où
a est un nombre positif :
10)
Calculer :
11)
Réduire
les expressions suivantes :
12)
Développer
et réduire :
13) Soit
les nombres
et
Montrer en développant que ces deux nombres sont égaux.
14)
Démontrer
que
est
l’inverse de
15)
Calculer
les expressions suivantes pour
et
16)
Compléter les égalités suivantes un appliquant le
théorème de Pythagore aux triangles de la figure.
Donner toutes les solutions possibles.
a)AC2 = ... ; b)BC2 = ... ; c)BD2 = ... ; d)DC2 = ... .
17) Les triangles suivants sont-ils rectangles ? Si oui, citer les côtés perpendiculaires.
a) AB = 63mm ; AC = 1 984 mm ; BC = 1 985 mm.
b) ZR = 5,5cm ; ZE = 4,5cm ; ER = 3,5cm.
c) FG = 975mm ; TG = 2 225m ; FT = 2 000 m.
18) Tracer un triangle RTF rectangle en F tel que RT = 7,4cm et FR= 2,4cm. Calculer TF et vérifier la vraisemblance du résultat sur le dessin.
19) ABCD étant un carré de côté a. Exprimer AC en fonction de a.
20) Calculer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent : a) 7cm et 3cm ; b) 5,7cm et 2,5cm. Donner la valeur exacte puis l’arrondi au centième de centimètre.
3. Équations du second degré
3.1 Équations du second degré particulières
Mots à retenir
une équation du second degré (квадратное уравнение)
un nombre réel (действительное число)
Définitions
1) Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2 + bx + c = 0 , où a, b et c sont des réels donnés, avec a ≠ 0.
2) Une équation du second degré est incomplète si b = 0 ou bien c = 0 ou bien b = 0 et c = 0.
Par exemple:
a)
ici
a = 3, b = -7, c = 2.
b)
ici
a = 2, b=0, c = -9.
c)
ici
a = -1, b = 2, c=0.
d)
ici
a = 2, b = 0, c = 0.
Propriété
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0.
Cette propriété , admise, permet de résoudre les équations-produits.
Par exemple: résoudre
l’équation
donc
=
0 ou
=
0. Les solutions sont donc 1,5 et -2.
Pour les
équations de la forme
se reporter au chapitre Racines carrées.
Méthode : résoudre une équation du second degré particulière
Si l’inconnue est au carré, on peut regrouper tous les termes dans le même membre, factoriser l’expression obtenue et appliquer la proprieté : « Si
ab = 0 alors a = 0 ou b = 0. »
Par exemple:
a) Résoudre
l’équation
En
factorisant on a
Donc
x = 0 ou
Les racines
sont 0 et
b) Résoudre
l’équation
On
reconnaît au premier membre le développement de
Donc
L’équation
a une solution : -3.
c) Résoudre
l’équation
L’équation
s’écrit successivement :
Les solutions de cette équation sont les solutions de chacune des équations :
d’où
x = 0,5 ;
d’où x = -1,5.
Les racines sont 0,5 et -1,5.