3.3 Les racines simples

Pour résoudre une équation du du second degré, choisissez la méthode la plus courte entre :

• Le calcul de et l’application des formules donnant les solutions.

• Le calcul direct donnant

• Si on voit tout de suite que 1 ou -1 est une solution, on en déduit sans

calcul que n’est pas négatif et on peut trouver l’autre solution très

simplement un utilisant l’une des relations suivantes :

Sialors 1 est une racine ; l’autre racine est

Si alors -1 est une racine ; l’autre racine est

Par exemple:

a) Résoudre l’équation

donc l’équation a pour racines 1 et

b) Résoudre l’équation

donc l’équation a pour racines -1 et

Exercices

187) Résoudre chacune des équations suivantes sans utiliser le discriminant.

188) Résoudre chacune des équations suivantes sans utiliser le discriminant.

189) Résoudre chacune des équations suivantes sans utiliser le discriminant. 190) Résoudre chacune des équations suivantes en utilisant les relations

191) Résoudre les équations suivantes sans utiliser le discriminant :

192) On considère l’équation suivante : Sans résoudre l’équations, trouver :

193) On considère l’équation suivante : Sans résoudre l’équations, trouver :

3.4 Révision

1) On considère l’expression suivante : .

a) Factoriser A. b) Résoudre l’equation A = 0.

2) On considère l’expression suivante :

a) Factoriser C. b) Résoudre l’equation C = 0.

3) Résoudre les équations suivantes :

4) Compléter avec deux nombres . Résoudre l’équation

5) Soit Factoriser H. Pour quelles valeurs de x le nombre H est-il nul ?

6) On considère l’expression suivante :

Factoriser A en un produit de deux facteurs. Pour quelles valeurs de x a-t-on A = 0 ?

7) Qu’appelle t-on discriminant de À quoi sert-il ? Comment peut-on résoudre une équation du second degré ?

8) Résoudre les équations :

9) On considère l’équation suivante : Quelle est la somme des racines ? Quel est le produit ? Trouver les racines.

10) Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles

11) Comment choisir le réel a pour que l’équation admette x = 2 pour racine ? Calculer l’autre racine.

12) Déterminer les dimensions d’un rectangle sachant que son périmètre mesure 90 m et son aire 476 m².

13) Résoudre les équations :

14) Résoudre les équations :

15) Quels sont les nombres qui sont éqaux à leur carré ?

4. Généralités sur les fonctions

4.1 Qu’est-ce qu’une fonction ?

Mots à retenir

une fonction(функция) un procédé(приём, способ)

un ensemble(множество)

une variable(переменная величина, аргумент функции)

une image(образ, значение функции)

antécédent(предшествующий, предыдущий)

l’ensemble de définition(область определения функции)

une représentation graphique (график функции) une courbe(кривая)

On utilise quotidiennement souvent l’expression « en fonction de... ». Nous allons ici donner un sens mathématique à cette notion.

Il existe plusieurs façons de définir une fonction numérique :

• une situation : à l’âge d’un enfant on associe sa taille ;

• par un graphique ;

• par une formule : par exemple, à un réel x quelconque on peut faire correspondre le nombre réel

Définitions

1) Une fonction f est un procédé qui permet d’associer à tout nombre x, élément d’un ensemble E, un nombre unique y.

2) x parcourt l’ensemble E, on dit alors que x est la variable.

3) y est l’image de x par fonction de f et x est un antécédent de y.

4) E est appilé l’ensemble de définition de f.

5) Un tableau de valeurs pour une fonction f montre la correspondance entre des valeurs de la variable x et les valeurs de son image f(x).

6) On appelle courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f l’ensemble des points M, de coordonnées où x parcourt l’ensemble E .

Par exemple:

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [-1 ; 5] par

Pour cette fonction f, l’ensemble de définition est [- 1 ; 5].

Le nombre 3 a pour image le nombre f(3) tel que

Un antécédent de 0 vérifie f(x) = 0, c’est-à-dire soit Le nombre 0 a donc deux antécédents, 0 et 4 (qui sont bien éléments de l’intervalle [-1 ; 5]).

On donne un tableau de valeurs de la fonction f, avec un « pas » de 1.

x	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	-5	0	3	4	3	0	-5

En utilisant les calculs du tableau, on peut

marquer sept points représentatifs de cette

fonction, mais on pourrait en marquer bien

plus.

La courbe obtenue en joignant ces points par

Une tracé continu est la représentation

graphique de la fonction f sur l’intervalle

[-1 ; 5].

Méthode 1 : déterminer image et antécédents à partir de l’expression d’une fonction f

• Calculer l’image d’un élément a de l’ensemble de définition revient à remplacer la variable x par a dans l’expression f(x) : c’est un calcul direct.

• Déterminer les antécédents éventuels de b revient à résoudre l’équation f(x) = b en ne gardant que les solutions qui sont dans l’ensemble de définition.

Par exemple: On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-2 ; 3] par Calculer l’image de -1,5 ; 0 ; Calculer les antécédents éventuels de 0.

a) -1,5 ; 0 ; sont bien dans l’ensemble de définition. Le calcul des images est direct :

b) Calculer les antécédents éventuels de 0 revient à résoudre l’équation Dont les solutions sont 2 et 0. Les deux solutions conviennent bien, puisqu’elles appartiennent toutes les deux à l’ensemble de définition de la fonction.

Méthode 2 : déterminer image et antécédents à partir de la représentation graphique d’une fonction

• Déterminer l’image d’un élément a de l’ensemble de définition revient à déterminer l’ordonnée de l’unique point de la courbe qui possède pour abscisse a.

• Déterminer les antécédents de b revient à déterminer les abscisses des points éventuels de la courbe qui ont pour ordonnée b.

Par exemple: On considère la courbe représentative de la fonction f, définie sur l’intervalle [-3 ; 4]. Déterminer l’image de 1 et rechercher les antécédents de 2.

a) On repère le point de l’axe (OX) qui a pour

l’abscisse 1. On trace la parallèle à l’axe (OY)

passant par ce point, puis on repère

l’ordonnée de l’unique point d’intersection de

cette droite avec la courbe : une valeur

approchée de l’image de 1 est 3.

b) On repère le point de l’axe (OY) qui a pour

ordonnée 2. On trace la droite parallèle à l’axe (OX) passant par ce point, puis on repère l’abscisse des points d’intersection de cette droite avec la courbe : 2 possède donc trois antécédents, dont des valeurs approchées sont -2, 2 et 4.

Méthode 3 : déterminer l’ensemble de définition d’une fonction

• Quand une fonction f est donnée par une représentation graphique, l’ensemble de définition de f est l’ensemble des abscisses des points de la courbe.

• La formule possède un dénominateur où figure la variable x. Il faut exclure les valeurs de x qui annulent le dénominateur (car on ne peut pas diviser par 0).

• La formule possède une racine carrée sous laquelle figure la variable x. Il faut exclure les valeurs de x qui rendent l’expression sous la racine strictement négative (car on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre strictement négatif ).

Par exemple: Quel est l’ensemble de définition de la fonction f définie par

La formule contient un dénominateur. Il doit être différent de 0 : c’est-à-dire L’ l’ensemble de définition de la fonction f est donc l’ensemble R privé de -1,5.