5.7. Унитарная эволюция u 409

по U следующим образом:

(поскольку г2 = -1). Вообразим далее, что эти два луча сходятся на четвертом зеркале, на этот раз снова полупрозрачном (как показано на рис. 5.12; предполагается, что длины всех лучей одинаковы, благодаря чему коэффициент осцилляции, которым я по-прежнему пренебрегаю, не играет никакой роли и здесь). Состояние |D) эволюционирует при этом в комбинацию ,

где |С) представляет состояние прохождения, a |F) - состояние отражения. Аналогичным образом, |Е) эволюционирует в |F) + + , поскольку в этом случае |F) символизирует состояние прохождения, а - состояние отражения:

Нетрудно убедиться (ввиду линейности эволюции U), что совокупное состояние эволюционирует следующим образом:

(Коэффициент -2 физического смысла не имеет, поскольку, как уже упоминалось выше, при умножении совокупного физического состояния системы - в данном случае, |F) - на некоторое отличное от нуля комплексное число физическая ситуация остается прежней.) Таким образом, мы видим, что возможность |G) оказывается для фотона закрытой: после слияния двух лучей в один открытой остается единственно возможность |F). Этот любопытный результат обусловлен тем, что в физическом состоянии фотона в промежутке между его столкновениями с первым и последним зеркалом присутствуют оба луча одновременно. Мы говорим, что при этом происходит интерференция двух лучей. Как следствие, получается, что альтернативные "миры" фотона между упомянутыми столкновениями не отделены в действительности один от другого, но могут друг на друга влиять посредством этих самых феноменов интерференции.

410

Глава 5

'

Рис. 5.12. Две составляющие состояния фотона сводятся вместе посредством двух непрозрачных зеркал; в точке слияния двух лучей установлено еще одно полупрозрачное зеркало. Лучи интерферируют таким образом, что результирующий луч приобретает состояние (F), тогда как детектор в точке С фотона не регистрирует.

Важно помнить о том, что описанное свойство демонстрируют единичные фотоны. Следует понимать, что каждый отдельный фотон "пробует" оба открытых перед ним пути, оставаясь при этом все тем же одним фотоном. Он не расщепляется на два фотона на некоем промежуточном этапе, однако местоположение его определяется этаким странным комплексно-взвешенным сосуществованием альтернатив, что как раз и характерно для квантовой теории.

5.8. Редукция r вектора состояния

В рассмотренном выше примере суперпозиция состояний фотона переходит в конечном счете в одно-единственное состояние. Представим, что в точках, обозначенных на рис. 5.12 буквами F и G, размещены детекторы фотонов (фотоэлементы). Поскольку в данном конкретном примере фотон, миновав последнее зеркало, оказывается в состоянии |F) (точнее, пропорциональном |F)), а состояние никакого участия в его дальнейшей судьбе не принимает, детектор в точке F зарегистрирует фотон, а детектор в точке О не зарегистрирует ничего.

5.8. Редукция r вектора состояния 411

Что произойдет в более общем случае - например, если мы попытаемся подать на эти детекторы суперпозицию состояний вроде ? Детекторы выполнят измерение с целью определить, находится фотон в состоянии |F) или же в состоянии |G). Квантовое измерение равносильно разглядыванию квантового события через увеличительное стекло и переводит событие с квантового на классический уровень. На квантовом уровне, при непрерывном воздействии U-эволюции, линейные суперпозиции сохраняются. Однако как только мы вытягиваем процесс на классический уровень, на котором события уже можно рассматривать как нечто действительно произошедшее, выясняется, что объекты больше не находятся в прежних странных комплексно-взвешенных комбинациях состояний. Выясняется (в нашем примере), что фотон регистрируется либо детектором в точке F, либо детектором в точке G, причем эти альтернативные варианты реализуются с определенной вероятностью. Квантовое состояние таинственным образом "перескакивает" от суперпозиции к состоянию "либо ". Такой "скачок" в описании состояния системы (от суперпозиции состояний квантового уровня к состоянию, при котором реализуется лишь одна из возможных альтернатив классического уровня) называется редукцией вектора состояния, или коллапсом волновой функции; эту операцию я буду обозначать буквой R. Вопрос о том, следует ли рассматривать операцию R как реальный физический процесс либо как некую иллюзию или аппроксимацию, чрезвычайно для наших целей важен, и мы к нему еще обязательно вернемся. Тот факт, что нам приходится (во всяком случае, в математических описаниях) отбрасывать эволюцию U и заменять ее совершенно отличной от нее процедурой R, есть фундаментальная Х-загадка квантовой теории. На данном этапе, думаю, будет лучше, если мы не станем слишком углубляться в исследование этого парадокса, а будем (условно) рассматривать R как, в сущности, некий процесс, который просто сопутствует (в используемых нами математических описаниях, по крайней мере) процедуре "перемещения" события с квантового уровня на классический.

Как же вычисляются вероятности альтернативных результатов измерения на суперпозиции состояний? Для этого имеется одно весьма замечательное правило. Допустим, для измерения, определяющего окончательный выбор между альтернатив-

412 Глава 5

ными состояниями , как в приведенном выше примере,

мы используем детекторы в точках, соответственно, F и G. Согласно упомянутому правилу, в случае суперпозиции состояний

отношение вероятности того, что фотон будет зарегистрирован детектором F, к вероятности того, что фотон будет зарегистрирован детектором G, равно

)

т. е. отношению квадратов модулей комплексных чисел и z. Квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов его вещественной и мнимой частей; т. е. квадрат модуля числа

j где х и у - вещественные числа, равен

Число z (= х - iy) называется комплексным, сопряженным числа z\ аналогичная операция проделывается и с w. (В вышеприведенном рассуждении я неявно подразумеваю, что состояния, обозначенные мною через |F), |G) и т.д., должным образом нормированы. Смысл этого термина я объясню позднее, см. § 5.12; строго говоря, нормировка необходима для того, чтобы выполнялось правило вероятностей в указанной форме.)

Именно здесь, и только здесь, на квантовую сцену выходят кардановы вероятности. Мы видим, что на квантовом уровне комплексные весовые коэффициенты не играют сами по себе роли относительных вероятностей (да и не могут этого делать, поскольку они комплексные), а вот вполне вещественные квадраты модулей этих комплексных коэффициентов такие роли играют. Более того, только теперь, после выполнения измерений, приобретают смысл понятия неопределенности и вероятности. Измерение квантового состояния происходит, в сущности, тогда, когда имеет место значительное "увеличение" некоторого физического процесса, вытягивающее его с квантового на классический уровень. В случае фотоэлемента регистрация квантового события - в виде приема фотона - вызывает в конечном счете