Метод інтегрування заміною змінних.

Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл зводиться до нового інтегралу, який є табличним або таким, що до нього зводиться (у випадку “вдалої” підстановки).

Нехай треба обчислити інтеграл . Зробимо підстановку де - функція, яка має неперервну похідну. Тоді , звідки одержуємо формулу заміни змінної у невизначеному інтегралі

.

Вкажемо окремі важливі випадки використання цієї формули.

1. Невизначені інтеграли вигляду , вилученням повного квадрату у квадратному тричлені і введенням нової змінної зводяться до одного з табличних інтегралів.

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Оскільки 3х²+6х+4=3(х²+2х+1)-3+4=3(х+1)²+1=3((х+1)²+1/3), при х+1= u одержимо

2. Якщо підінтегральна функція є добутком двох множників, один з яких залежить від деякої функції φ(х), а другий є похідною φ(х), (з точністю до сталого множника), то доцільно зробити заміну змінної за формулою φ(х)=t.

Приклади

1) Знайти інтеграл .

Розв’язання. Перепишемо даний інтеграл у вигляді .

Оскільки похідна виразу дорівнює 2/х, а другий множник 1/х відрізняється від цієї похідної тільки сталим коефіцієнтом 2, то треба застосувати підстановку =t. Тоді . Отже,

.

Метод інтегрування частинами.

Якщо u=u(x), v=v(x) – диференційовні функції від х, то з формули для диференціала добутку двох функцій d(uv)=udv+vdu одержимо формулу інтегрування частинами

Ця формула застосовується у випадку, коли підінтегральна функція є добутком алгебраїчної та трансцендентної функцій. В якості u, як правило, обирається функція, яка спрощується диференціюванням, в якості dv – частина підінтегрального виразу, що залишилася, яка містить dx та з якої можна визначити v шляхом інтегрування.

В деяких випадках формула застосовується декілька разів. Іноді шуканий інтеграл визначається з алгебраїчного рівняння, що одержане в результаті застосування формули інтегрування частинами.

Приклади

1) Обчислити

Розв’язання. Покладемо тоді , звідки

.

2) Обчислити .

Розв’язання. Покладемо , тоді , звідки

.

Означення визначеного інтеграла.

Нехай на відрізку задано функцію . Розіб’ємо відрізок на довільних частин точками (). На кожному відрізку () оберемо довільну точку () і утворимо суму , де . Ця сума називається інтегральною сумою функції .

Означення. Якщо існує границя , що не залежить від способу розбиття відрізка на частини та від способу обрання точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається .

Число називається нижньою межею інтегрування, число — верхньою межею, називається підінтегральною функцією, проміжок ― проміжком інтегрування, ― змінною інтегрування. Вираз називається підінтегральним виразом.

Якщо визначений інтеграл існує, то функція називається інтегровною на відрізку .

Зауваження. Будь-яка неперервна на функція інтегровна на цьому відрізку.