Основні означення та поняття розділу «Диференціальні рівняння»

1. Диференціальне рівняння – рівняння, яке містить крім невідомої функції також її похідні.( F (x, y, y, y…yⁿ) =0

2. Порядок диферен.рівняння – старший, більший порядок похідної, яка входить до рівняння.

3. Розвязок дифер.рівняня – функція,яка задовільняє це рівняння.

4. Загальний розвязок дифер.рівняння першого порядку – функція вигляду у=f( x;C), якщо при будь – якому значенні С вказана функція є розвязком рівняння.

5. Частинний розязок – отримується із загального розвязку шляхом наданням довільній сталій С певного фіксованого значення.

Диференціальне рівняння 1-го порядку з відокремленими змінними (вигляд, метод розв’язання)

y=f ( x) g (y) – диференціальне рівняння з відокремленими змінними. або

f₁( x) f₂ (y) dx = g₁( x) g₂ (y) dу

Лінійні рівняння 1-го порядку (вигляд, метод розв’язання)

y+a (x)y= b(x) – вигляд

Метод розвязання:

y= u v y= uv+ u v

Однорідні рівняння 1-го порядку (вигляд, метод розв’язання)

y=f ( x; y)

Права частина рівняння задовольняє умові:

f ( kx; ky) = f ( x; y)

Метод розвязання:

У = u х y= uх+ u

ЛОР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами.

y+a ₁(x) y+a₂(x)y = 0 –загальний вигляд

Загальний розвязок y=С₁ y₁+С₂ y₂

ЛОР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами:

y+a ₁y+a₂y = 0, характерестичне рівняння

ar²+br+c=0 (r²+a₁r+a²=0)

Випадки:

1.D>0 y=C₁e^r1x+C₂e^r2x

2.D=0 y=C₁e^r1x+C₂xe^r1x

3.D<0 y=e^ax(C₁cosbx+C₂sin x)

ЛНР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальний вигляд:

yⁿ+a ₁(x) y+a₂(x)y =f(x)

частинний розвязок:

y(x)=y₀(x)+y_r(x)

Основні поняття та початкові твердження розділу “Ряди” (означення числового ряду, збіжного та розбіжного ряду, суми ряду; властивості числових рядів).

Числовий ряд – вираз вигляд якого u₁+u₂+…+u_n=

Необхідна умова збіжності числового ряду.

Якщо ряд збіжний, то границя його загальною члена дорівнює нулю.

збіжний або розбіжний

розбіжний