Застосування визначеного інтеграла при розв¢язанні задач економічного змісту Розглянемо деякі задачі економічного змісту, що приводять до використання визначеного інтеграла.

1. Витрати, доход і прибуток

Нехай V(x) буде функцією загальних витрат на виробництво х одиниць продукції, - функція маргінальних витрат. Тоді визначений інтеграл

Дорівнює зміні загальних витрат при зростанні кількості виробленої продукції від a до b одиниць.

Звідси випливає важливий наслідок: зміна виробничих витрат при зростанні виробленої продукції від a до b одиниць дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції маргінальних витрат , відрізком [a,b] та прямими x=a та x=b.

Аналогічно, якщо та - функції маргінального доходу та прибутку, відповідно, то зміни доходу та прибутку при зростанні реалізації виробленої продукції від a до b одиниць обчислюється за формулами

2. Визначення об’єму виробленої продукції за умови відомої продуктивності праці

Нехай функція z=f(t) описує зміни продуктивності деякого виробництва з перебігом часу. Знайдемо об’єм продукції U, виробленої за проміжок часу [0, Т].

Відмітимо, що, якщо продуктивність праці не змінюється з перебігом часу (f(t)- стала функція), то об’єм продукції ΔU, вироблений за деякий проміжок часу [t, t+Δt], задається формулою ΔU=f(t)Δt. В загальному випадку має місце наближена рівність ΔU≈f(ξ)Δt, де ξ[ t, t+Δt], яка буде тим точніше, чим менше значення Δt.

Розіб’ємо відрізок [0, Т] на проміжки часу точками 0=t₀<t₁<t₂<…<t_n=T. Для величини об’єму продукції ΔU_i, виробленої за проміжок часу [ t_i-1, t_i], маємо

ΔU_i=f(ξ_i)Δt_i, де ξ_i[ t_i-1, t_i], Δt_i= t_i- t_i-1,

Тоді

Одержуємо

.

Таким чином, якщо f(t) - продуктивність праці в момент часу t, то - об’єм продукції, що виробляється за проміжок часу [0, т];

- об’єм продукції, що виробляється за проміжок часу [t₁, t₂].

3. Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.

Чисті інвестиції (капіталовкладення) – це загальні інвестиції, які виробляються протягом визначеного проміжку часу, за винятком інвестицій на відшкодування основних фондів (капіталу), які виходять з ладу. Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на суму чистих інвестицій.

Якщо капітал розглядати як функцію часу К(t), а чисті інвестиції відповідно як f(t), то сказане вище можна записати у вигляді

Часто виникає потреба знайти приріст капіталу за період з моменту часу t₁ до t₂, тобто величину

Ураховуючи, що K(t) є первісною для функції f(t), маємо

.

4. Визначення середнього часу, витраченого на виготовлення одного виробу, в період освоєння виробництва

Нехай відома функція t=t(x), яка описує зміни витрат часу t на виготовлення виробу в залежності від ступеня освоєння виробництва, де х – порядковий номер виробу в партії. Тоді середній час t_ср, витрачений на виготовлення одного виробу в період освоєння от х₁ до х₂ виробів, обчислюється за теоремою про середнє:

.

Що стосується функції зміни витрат часу на виготовлення виробів t=t(x), то часто вона має вигляд t=ax^-b, де а – витрати часу на перший виріб, b – показник виробничого процесу.

Невластиві інтеграли (означення, основні поняття, геометрична інтерпретація).

Нехай функція y=f(x) неперервна при будь-якому ха. Розглянемо інтеграл зі змінною верхньою межею:

.

Припустимо, що при функція I(b) має скінчену границю; тоді ця границя називається збіжним невластивим інтегралом від функції f(x) по проміжку [) і позначається так:

.

Якщо ця границя не існує або дорівнює нескінченності, то невластивий інтеграл називається розбіжним.

Геометрично невластивий інтеграл від невід’ємної функції виражає площу нескінченної криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y=f(x), ліворуч – відрізком прямої х=а, знизу – віссю 0х ; у випадку збіжного інтеграла ця площа є скінченою, у випадку розбіжного – нескінченною.

Якщо F(x) – первісна для f(x), то

де F() =.

Аналогічно визначається невластивий інтеграл з нескінченною нижньою межею

і невластивий інтеграл з обома нескінченними межами

де с– будь-яка точка з інтервалу ().