4.3 Односекторная модель роста с функцией общей полезности

Простой способ обобщить функцию полезности Кобба-Дугласа – выразить в общей форме

где и - переменные, которые решили потребители, а - заданные параметры, которые могут повлиять на полезность.

В верхней формуле, например, мы используем , чтобы выразить возраст потребителя. Возраст потребителя – ключевой фактор влияния потребителя в теории жизненного цикла. Когда мы изучаем специальную индивидуальную или определенную возрастную группу, этот параметр имеет большое значение для изучения модели поведения.

Потребитель выбирает себе наиболее предпочтительный пакет потребления и сбережения, исходя из его бюджетных ограничений. Полезность, максимизирующая проблему в любое время, определяется как

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.3.1 Пусть - функция класса , которая удовлетворяет предположению монотонности, которое гласит, что и для каждых , удовлетворяющих множеству ограничений в уравнении (4.3.1). Предположим, что максимизирует на ограниченном множестве. Тогда существует скаляр , такой, что

Мы имеем: , если и , при Если и и то

Бюджетное ограничение является обязательным

Обратно, предположим, что - функция класса , которая удовлетворяет предположению монотонности и что удовлетворяет набору бюджета и условиям первого порядка

Если - функция класса и если

тогда - строгое локальное решение задачи максимизации полезности. Если - квазивогнута и для всех тогда - глобальное решение проблемы.

Доказательство этого предложения и другие общие свойства проблемы можно найти в передовых учебниках по микроэкономике.

Теперь определим некоторые свойства , чтобы получить явные выводы. Мы требуем, чтобы функция была класса , и удовлетворяла для любых Построим по Лагранжу

Условие первого порядка для максимизации –

Гессенское окаймление проблемы – это

Условие второго порядка говорит о том, что, учитывая стационарное понятие условие первого порядка, положительного достаточно для того, чтобы установить его в качестве максимального . Известно, что границы Гессена совпадают с эндогенной переменной Якобиана. Следовательно, если не равно нулю, мы можем непосредственно применить теорему о неявной функции к нашей проблеме. То есть, условие первого порядка имеет решение, как функция класса располагаемого дохода Взяв производные уравнения (4.3.2), учитывая , мы имеем

Решим эти функции:

Мы видим, что и в случае, если , по условию максимизации второго порядка. Обозначим оптимальное решение как функцию располагаемого дохода

Вектор , известный как функция спроса по Вальрасу (обычная или рыночная), когда она однозначна для всего положительного располагаемого дохода.

Уравнение накопления капитала для функции общей полезности берется как

Подставляя

в уравнение (4.3.3), получаем

где

В стационарном состоянии

Покажем, что это уравнение имеет единственное решение. Обозначим

Где стремится к нулю, тоже стремится к нулю, и, следовательно, стремится к нулю. Так как и при

Когда стремится к +, стремится к +. Так как и при мы имеем

Возьмем производные уравнения (4.3.6) с учетом , получаем

Мы покажем, что при Чтобы доказать это, мы используем и неравенство (которое также гарантирует . Из уравнения (4.3.5) и определения мы имеем

где мы используем и , чтобы гарантировать правое неравенство. Таким образом, мы заключаем для Уравнение для имеет единственное решение по уравнениям (4.3.7), (4.3.8), и Сейчас мы покажем, что единственное стационарное состояние стабильно.

Для того, чтобы стационарное состояние было стабильным, должно выполняться следующее условие

Из условия равновесия и неравенства (4.3.7), мы имеем

Таким образом, неравенство (4.3.7) выполнено. Мы видим, что выводы для производственной функции и функции полезности Кобба-Дугласа также аналогичным образом предназначены для общих производственных функций и функций полезности. Подводя итоги обсуждения, мы получаем следующую теорему.

Теорема 4.3.1 Учитывая, что производственная функция является «неоклассической» и функция полезности принадлежит к классу и удовлетворяет для любых Пусть ограничение Гессена будет положительно для любых неотрицательных Тогда соотношение капитала и труда монотонно стремится к единственному положительному устойчивому состоянию. Единственное устойчивое состояние стабильно.

Стабильность, гарантируемая выше, локальна. Сейчас мы покажем, что если вогнуто по то система глобально стабильна. По причине

по уравнению

вогнутость подразумевает выпуклость Из условий первого порядка просто сделать вывод, что условия, при которых вогнуто, мы опускаем, потому что у нас нет четкой экономической интерпретации.

Асимптотическая стабильность может быть доказана с помощью применения теоремы Ляпунова. Определим функцию Ляпунова

где и - равновесные значения. Мы имеем и при Дифференцирование с учетом дает нам

где мы используем уравнение (4.3.3). По вогнутости ,

Согласно его определению, тоже вогнуто по Следовательно,

Так как мы имеем

Вогнутость определяется так:

Условие равновесия (4.3.4) переписывает верхнее неравенство так:

Из неравенства (4.3.9) мы заключаем , если и , если Таки образом, равновесие асимптотически стабильно.