4.4 Рост уровня урбанизации с жилищным строительством

Мы рассматриваем изолированную систему. Население однородно. Домохозяйства достигают одинакового уровня полезности независимо от их месторасположения. Все рынки конкурентные. Система географически линейна и состоит из двух частей – ЦБР (СBD) и жилой район. Изолированный участок состоит из конечной полосы земли, которая простирается в ЦБР (центральном бизнес районе), с постоянной шириной блока. Вся экономическая деятельность сосредоточена в ЦБР. Домохозяйства занимают жилой район. ЦБР находится на левом конце линейной территории, как это показано на рисунке 4.4.1. Мы можем сделать подобные выводы, если размещаем ЦБР в центре линейной системы, специальное местоположение не повлияет существенно на наши рассуждения.

Система состоит из двух, промышленного и домостроительного секторов. Промышленное производство такое же, как в ОМР. Строительство жилья похоже на модель строительства Мут (Muth). Жилищный сектор сочетает в себе капитал и землю. Мы выберем промышленное благо, которое будем использовать в качестве масштаба цен. Для описания промышленного сектора, введем

Мы предполагаем, что промышленное производство осуществляется сочетание капитала и рабочей силы в форме

где и - параметры. Предельные условия для максимизации получения прибыли задаются следующим образом:

Домохозяйство производится с земельными и неземельными затратами. Обозначим жилищных услуг, полученных от домохозяйств в месте Мы укажем производственную функцию домашних услуг

где - уровень расхода капитала на душу населения домохозяйства в месте Предельные условия берутся из

Согласно определениям и мы имеем

Отношение между и задается как

Чтобы определить чистый доход, укажем теперь собственность на землю. Для простоты мы будем учитывать государственную собственность, что означает, что доходы от земли распределяются между населением в равной степени. Общий земельный доход задается как

Доход от земли на одно домохозяйство задается как

Текущий доход семьи по месту жительства состоит из трех частей: уровень заработной платы, доходы от собственности на землю и выплаты процентов на капитал домохозяйства. То есть

Валовой располагаемый доход

Многие предыдущие модели теорий местоположения были разработаны с учетом теории аренды, со времен плодотворной работы Алонсо. При таком подходе теория местоположения была смоделирована на базе функции полезности. Выбор места тесно связан с существованием и качеством таких экологических (окружающих) атрибутов, как открытое пространство и шумовое загрязнение, а также социальные качества окружающей среды. То есть, следуя этому подходу, мы предполагаем, что уровень полезности домохозяйства в месте зависит от временного уровня потребления , свободного времени , удобства и экономии (сбережений) как

где и задаются в виде

Функция подразумевает, что уровень удобства по местонахождению определяется плотность жизни на месте. Функция значит, что свободное время равно общему доступному времени , минус время путешествий из ЦБР в жилище. Так как население является однородным, мы имеем

Бюджетное ограничение задается как

где - скорость амортизации капитала. Максимизация подлежит бюджетному ограничению и дает

где

По определению , накопление капитала для домохозяйств в месте задается как

Подставляя в уравнение (4.4.10), получаем

где

Поскольку государство является изолированным, общее население распределяется по всей городской территории. Ограничение населения задается как

Кроме того, ограничение потребления задается

Также мы имеем

где

Предположим, что капитал всегда полностью используется и определяется по формулам

Таким образом, мы построили динамическую модель роста с эндогенным пространственным распределением богатства, потребления и населения, накопления капитала и жилищным распределением. Система имеет 13 пространственных переменных, зависящих от времени, и и 10, зависящих от времени, переменных и Система содержит 23 независимых уравнения.

Прежде чем рассмотреть динамические свойства системы, мы покажем, что динамика может быть описана движением одной переменной Умножая уравнение (4.4.11) на и затем интегрируя полученное уравнение от 0 до , учитывая , получаем:

где

Теперь мы покажем, что может быть выражена как Умножая все уравнения (4.4.10) на и затем интегрируя полученное уравнение от 0 до , учитывая , получаем

где мы используем в уравнениях (4.4.4). Подставляя и из уравнений (4.4.4) в уравнение (4.4.14), получаем

Из и мы имеем

Подставляя

,

полученное из уравнения (4.4.19) в верхнее уравнение, получаем

где мы используем и

Сейчас мы покажем, что для любого

имеет единственное решение при Так как и мы видим, что имеет единственно решение как функция от . Представим это уникальное отношение как: Из уравнения (4.4.20) мы имеем

То есть увеличение основного капитала всегда будет увеличивать основной фонд, занятый в промышленном производстве. Из и мы видим, что основной фонд, и работающие в промышленном и жилищном секторах, однозначно определяются в зависимости от общего основного фонда в любой момент времени. Из и уравнения (4.4.21), мы имеем влияние изменений в на откуда следует

где мы используем и

Из - единственная функция от . Подставляя

в уравнение (4.4.17), получаем

где

В любой момент времени динамическое уравнение (4.4.22) определяет значение совокупного капитала запасов . Мы можем показать, что любые другие переменные однозначно определяются, как функция от и в любой момент времени.

Предложение 4.4.1