1. Природа термического расширения

При температуре абсолютного нуля - 0 К, когда атомы в кристаллической решетке неподвижны (отсутствуют их тепловые колебания), два ближайших атома располагаются на расстоянии r_o друг от друга, при котором их потенциальная энергия минимальна, а силы притяжения и отталкивания равны. Характер изменения потенциальной энергии (потенциала взаимодействия) двух ближайших атомов U(r), отражающий сам факт существования кристаллического твердого тела (наличие минимума энергияи на расстоянии r_o между атомами), отражен на рис. 7.1.

Рисунок 7.1 - Потенциальная энергия U(r) и сила взаимодействия F(r) двух ближайших атомов в зависимости от расстояния между ними r.

За начало отсчета потенциальной энергии (U=0) принята энергия двух изолированных (не взаимодействующих) атомов, один из которых расположен в начале координат, а другой - удален от первого на бесконечное расстояние. Таким образом, глубина потенциальной ямы U_o характеризует теплоту испарения (сублимации) атомов. Точка "а" (точка перегиба) отвечает уровню тепловой энергии kT_s, при которой решетка перестает быть устойчивой (сила взаимодействия F здесь достигает максимальной величины и уменьшается с дальнейшим ростом r), т.е., другими словами, наступает плавление (T_s - температура плавления).

Важным свойством потенциала U(r) является его асимметричность. Левая ветвь кривой U(r) при r<r_o отражает резкое возрастание силы отталкивания при сближении атомов (атомы не могут «совпасть», т.к. r0) энергия U); правая ветвь при r>r_o отражает то обстоятельство, что при удалении атомов на расстояние, большее r_o, между ними преимущественно действуют силы притяжения, которые слабее зависят от расстояния r (при r энергия U0), чем при сближении атомов.

Для аналитического описания потенциала удобно ввести в рассмотрение величину смещения атомов из положения равновесия x (x=r-r₀). В этом случае потенциал взаимодействия можно описать степенным рядом:

(7.4)

где f и g - константы материала, физический смысл которых описан ниже.

В дальнейшем члены более высоких степеней будем опускать. График функции U(x), описанной уравнением (7.4), показан на рис. 7.2, а, а на рис. 7.2, б - зависимость силы взаимодействия F от x:

(7.5)

Слагаемое fx²/2 в (7.4) определяет функцию U(x) при гармонических (синусоидальных) колебаниях атомов, когда силы притяжения и отталкивания при колебании атомов изменяются одинаково. В этом случае график функции U(x) имеет симметричный вид (штрих-пунктирные кривые на рис. 7.2), а тепловое расширение будет отсутствовать, так как среднее расстояние между атомами r_o не изменяется. Такая ситуация характерна при малых смещениях атомов, т.е. при очень низких температурах, a также для некоторых сплавов (инваров), о которых речь будет идти ниже. Отсюда можно определить физический смысл константы материала f.

а

б

Рисунок 7.2 - Потенциальная энергия (а) и сила взаимодействия (б) двух атомов в зависимости от смещения их из положения равновесия

Константа f, называемая квазиупругим коэффициентом и равная

,

представляет собой силу, действующую на атом при его смещении на единичное расстояние при гармонических колебаниях, и является первичной характеристикой сил связи в кристаллической решетке при малых смещениях атомов.

Асимметричность графика функции U(x) описывается слагаемым gx³/3 c нечетной степенью по x. Именно наличие этого слагаемого приводит к несинусоидальный колебаниям атомов относительно их начального положения, т.е. к явлению ангармонизма колебаний атомов. Это явление определяет существование термического расширения. Роль ангармонизма велика при больших смещениях атомов (при больших температурах).

Константа g, называемая коэффициентом ангармонизма, характеризует асимметричность потенциала U(x) или, другими словами, степень выраженности ангармонизма колебаний атомов и соответственно термического расширения.

Таким образом, термическое расширение как явление обусловлено ангармонизмом колебаний атомов. Ангармонизм, в свою очередь, является следствием того, что силы отталкивания и притяжения пo-разному зависят от величины смещения атомов из начального положения равновесия, а следовательно от температуры (при отклонении атома на одно и то же расстояние от положения равновесия r_o силы отталкивания при сближении атомов растут интенсивнее, чем силы притяжения при их удалении).

Рисунок 7.3 - Cxемa колебания атома при нагреве от 0 К до температуры плавления (к механизму термического расширения)

Рассмотрим качественно физическую модель теплового расширения, вытекающую из проведенного анализа (рис. 7.3). Каждому значению потенциальной энергии колебаний, т.е. каждой температуре (например, температуре T₁) соответствует максимально - (r_max) и минимально - (r_min) возможные расстояния между атомами. Поскольку из-за асимметрии потенциальной ямы справедливо неравенство , то среднее во времени расстояние между атомами

оказывается больше, чем r_о. Это, в свою очередь, означает, что среднее за период колебаний смещение атома из начального положения равновесия не равно нулю, а при температуре T₁ расстояние между атомами составляет величину, равную . Тогда средний коэффициент линейного расширения, по определению, будет равен

Ясно, что в случае гармонических колебаний величина , равна нулю и термическое расширение будет отсутствовать. Другими словами, термическое расширение - это изменение расстояния между атомами при увеличении температуры, обусловленное ангармонизмом колебаний атомов. Из рисунка видно, что при низких температурах, когда асимметрия потенциальной ямы почти не проявляется, термическое расширение близко к нулю, но сильно увеличивается с ростом температуры. Пунктирная линия на рис. 7.3 характеризует изменение расстояния между атомами с увеличением температуры от 0 К до температуры плавления Т_s. Точка перегиба a (рис. 7.3) соответствует температуре плавления твердого тела. Причем и величина теряет смысл расстояния между атомами в кристалле (в модели двух атомов при колеблющийся атом уходит на бесконечное расстояние).^*