Глава 34. Двойное векторное произведение

879

Доказать тождество .

880

Решить задачу 864, используя результаты задачи 879.

881

Даны вершины треугольника A(2; -1; -3), B(1; 2; -4), C(3; -1; -2). Вычислить координаты вектора h, коллинеарного с его высотой, опущенной из вершины А на противоположную сторону, при условии, что вектор образует с осью Оу тупой угол и что его модуль равен .

882

Считая, что каждый из векторов , , отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство .

883

Доказать тождества:

883.1

 ;

883.2

;

883.3

;

883.4

;

883.5

;

883.6

при условии, что векторы и взаимно перпендикулярны;

883.7

 ;

883.8

;

883.9

;

883.10

;

883.11

;

883.12

.

884

Три некомпланарных вектора , и приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору

885

Даны точки М₁(2; -3; 6), M₂(0; 7; 0), M₃(3; 2; -4), M₄(; 4; -5), M₅(1; -4; -4), M₆(2; 6; ). Установить, какие из них лежат на поверхности, определенной уравнением , и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным уравнением?

886

На поверхности найти точку, для которой: 1). Абсцисса равна , ордината рана 2; 2). Абсцисса равна 2, ордината равна 5, 3). Абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4). Ордината равна 2, апликата равна 4.

887

Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:

887.1

;

887.2

;

887.3

;

887.4

;

887.5

 ;

887.6

 ;

887.7

;

887.8

;

887.9

;

887.10

;

887.11

;

887.12

;

887.13

;

887.14

;

887.15

;

887.16

;

887.17

;

887.18

;

887.19

;

887.20

.

888

Даны две точки F₁(-c; 0; 0) и F₂(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии a>0, c>0; a>c.

Задача 0888

Даны две точки F₁(—с; 0; 0) и F₂(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а>0, с>0; а>с..

Р е ш е н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z — её координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у и z являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда

MF₁ + MF₂ = 2a (1)

Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим MF₁ и MF₂ — через текущие координаты точки М:

MF₁ = , MF₂ = .

Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдём уравнение

(2)

которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение данной поверхности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, её координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде.

Уединим в уравнении (2) первый радикал: возведём обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки; мы получим:

x² + 2cx+с²+y² + z² =4а² — 4а

или а

Снова, освобождаясь от радикала, найдём:

a²x² — 2a²cx + а²с² + a² y² + a² z² = a⁴ — 2а²сх + с²x²,

или

(а² — с²) х² + a²y² + a²2² = а² (а² — с²). (3)

Так как а > с, то а² — с² > 0; положительное число a² — с² обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид

b²x² + а²y + a²z² = a²b²

или

Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Урав­нение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.

889

Вывести уравнение сферы, центр которой находится в начале координат и радиус которой равен r.

890

Вывести уравнение сферы, центр которой C(, , ) и радиус которой равен r.

891

Из точки P(2; 6; -5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места их середин.

892

Из точки А(3; -5; 7) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxy. Составить уравнение геометрического места их середин.

893

Из точки С(-3; -5; 9) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oyz. Составить уравнение геометрического места их середин.

894

Вывести уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до точек F₁(2; 3; -5), F₂(2; -7; -5) есть величина постоянная, равная 13.

895

Вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух точек F₁(-a; 0; 0), F₂(a; 0; 0) равна постоянной величине .

896

Вершины куба суть точки A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная .

897

Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек M₁(1; 2; -3), M₂(3; 2; 1).

898

Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух даных точек F₁(0; 0; -4), F₂(0; 0; 4) есть величина постоянная, равная 10.

899

Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний от которых до двух данных точек F₁(0; -5; 0), F₂(0; 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

Глава 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей